2.3 解二元一次方程组-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

数学。七年级下册 2.3解二元一次方程组(1) 巩固练习 典型例题 一、夯实基础 例1用代入法解方程组： x=5+y 1.用代人消元法解方程组 /3.x-y=2① 3x+4y=1 x+2y=1@代人消 点拨：直接将上面的式子代入下面的式子，化简整 元法正确的是 () 理即可. A.由①得y=3x+2,代入②，得3.x=11一 2(3.x+2) B由②得x=12义，代入①，得3.12 3 3 11-2y 变式练习用代入法解二元一次方程组： C由0得r-2号，代入②，得2y=1- /5.x-2y-4=0 D.由②得3.x=11-2y,代入①，得11-2y .x+y-5=0 y=2 2.用代入法解方程组 3.z+4y=2① 2.x-y=5② 使得代人后 化简比较容易的变形是 () A.由①得x=2二y 3 B由①得y=2-3 4 例2方程组 4x-3y=k 2.x+3y=5 的解x与y的值相等，则 C由②得x=y十5 2 k的值是 D.由②得y=2x-5 点拨：将x=y代入下面的方程，可得x,y的值，再 代入上面的方程可得k值. 3方程组=2 3x+y=15的解是 /4x-3y=k① /x= x=4 A. B. 2.x+3y=5② y=3 y=3 将x=y代入②得x=y=1,再代入①得k=1. C. x=4 D=3 例3解方程组：4x一y）一y=5 |x-y-1=0 y=8 y=6 4已知x+3y=0,则3y+2 点拨：用“整体代入”思想解方程组 3y-2云的值为 A司 C.3 D.-3 5已知r=2 =是二元一次方程 x+by=7 ar一4y=的解 则a一b的值为 A.-1B.1 C.2 D.3 3m-41=7① 6.解方程组 19m-10n+25=0② 的最好方法是 ( ) 数学七年级下册 A由①得m=7+加再代人@ 二、拓展提升 3 15.用代入法解下列方程组： B.由②得m 25+10m再代入0 9 (1)=2-3 3x+2y=8 C.由①得3m=4n+7再代入② D.由②得9m=10n一25再代人① 7.若13x+y+51+|2x-2y-2|=0,则-2x 3.xy的值是 () A.14 B.-4 C.-12 D.12 8.关于xy的方程y=kx十b,k比b大1，且当x =时y=一则长，6的值分别是 () A京号 B.2,1 (2)/3r+2y=5r+2 C.-2,1 D.-1.0 2(3.x+2y)=11x+7 9已知/r=一 y=4 和二都是方程y=a十6的解， y=1 则 1 A.a=2 a=是 B. b=5 b=3 ca-号 D. 2 b=-1 b=-1 10.如果二元一次方程组十y4的解是二元 x-y=4a 一次方程3.xr-5y-30=0的一个解，那么a 16.已知关于T,y的二元一次方程组 的值是 /x-ay=0① A.3 B.2 12x-3y=6 、,当a为何整数值时，方程组的 C.7 D.6 解均为整数？ 1山.方程组仁y+5 2x-y=5 的解满足方程x十y一a=0, 那么a的值是 12.若方程3x一13y=12的解也是x一3y=2的 解，则x y= 13.x,y满足方程组 3ax+4y=9 6ar+5y=27那么3ax+y 的值是 14.已知方程组 3.x-y=5 a.x-2y=4 的解也是方程组 4r一y=l的解.则a= 3r-by=5 ,b 35 数学。七年级下册 2.3解二元一次方程组(2) x=-5 D. x=-4 y=-1 y=-2 典型例题 3.用加减消元法解方程组 12y+3x=1① 3.x-5y=-4② 例已知a,b满足方程组 +26=6,则3a+6的 2a-b=2 ①-②得 () A.2y=1 B.5y=4 值为 ( C.7y=5 D.-3y=-3 A.8 B.4 C.-4 D.-8 4.用加减消元法解方程组 2.x-3y=5① x=3y+7② 确的方 点拨：方程组利用加减消元法求出解，得到a与b的 法是 () 值，即可确定出3a十b的值. A.①+②得2x=5 2a-b=2① B.①+②得3x=12 a+2b=6② C.①+②得3x+7=5 ①×2+②得：5a=10,即a-2, D.先将②变为x一3y=7③，再①一③得x= 将a=2代入①得：b=2, -2 则3a+b=6+2=8. |3x-5y=6 变式练习 5.方程组2x-3y=4 ②×3-①×2得() 1方程组 2r+y= 则a,b分 A.-3y=2 x-y=3 的解为口=5 y=b B.4y+1=0 别为 C.y=0 A.a=8,b=-2 B.a=8,b=2 D.7y=-8 C.a=12,b=2 D.a=18,b=8 2x-5y=-21 2.解方程组：4+3y=23· 6.已知ry=0 则xy的值是 ) x+2y=3 A.2 B.1 C.-1 D.2 7.方程组 |x十y=I 的解是 2r-y=5 A. /x=一1 B. x=-2 y=2 ly=3 x=2 C. x=2 y=1 D. y=-1 巩樹练习 8已知r=2 1是二元一次方程组 m.x十y=8 一my=1的 一、夯实基础 解，则2m一n的值是 () 5.x-3y=12 A.-4 B.4 1.已知方程组 3.x-2y=10② 在利用加减法消去 C.2 D.-2 y时最合理的方法是 ( ) 9.利用加减消元法解方程组 /2.x+5y=-10① A.①X5-②×3 B.①×3+②X5 5.x-3y=6② C.①×2-②×3 D.①×2+②×3 下列做法正确的是 x+y=6 A.要消去y,可以将①×5+②×2 2.二元一次方程组 x-3y=-2 的解是 B.要消去x,可以将①×3十②×（一5） x=5 y=1 B. x=4 C.要消去y,可以将①×5十②×3 y=2 D.要消去x,可以将①×（一5）+②×2 36 数学。七年级下册 10.已知51x十y-3|+2(x一y)=0,则() 二、拓展提升 A. x=1 B. x=2 15.阅读理解题： y=0 y=2 特殊的题有特殊的解法，阅读下面的解题过程， 3 我们从中可以得到启发： C. x=0 D. /253x+247y=777① 1y=0 y=2 解方程组：247x+253)=723② 解：由①+②得：500.x+500y=1500. 1 即x十y=3,③ 11.如果实数x,y满足方程组 x-y=一2，则 2.x+2y=5 由①-②得：6x-6y=54,即x-y=9,④ 由③十④得：2.x=12, ,y= 解得：x-6, 12.若二元一次方程组 物与=元-次方 又由③-④得：2y=-6, 程组/2十3y=4 解得：y=一3， -5y=6的解相同，则a 所以原方程组的解为仁=6， y=-3. 6= 13.用加减法解方程组： 归纳：对于大系数的二元一次方程组，当用代人 1)2+y=6 法和加减法解非常麻烦时，可以通过观察各项 2.x-y=9 系数的特点，寻求特殊解法。 根据上述例题的解题方法解下面的方程组： 2012x+2013y=8000① 2013.x+2012y=8100② 3.x-2y=-1 (②)x+3y=1 14.小亮在解方程组+2= cr-dy= 时，因把a看错而 得到/5 y=1而方程组正确的解是=3 y=一1求 a一c一d的值. 37 数学。七年级下册 2.3解二元一次方程组(3) 变式练习根据要求，解答下列问题： (1)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）. 典型例题 ①+2v=3 解为 2x+y=3 例1下面是按一定规律排列的方程组及其解的对 3.x+2y=10 应关系图： 2x+3y=10的解为 ①2rty=3.一x=2. ③ 2.x-y=4 的解为 x-2y=4. ly=-1. -x+2y=4 2x+y=5, x=4, ② (2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小 x-4y=16. y=-3. 关系为 ③/2+y=7, (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程 x-6y=36. y= 组，并直接写出它的解。 将方程组自上而下依次记为方程组①，方程组 ②，方程组③… (1)将方程组③的解填人上面的横线上： (2)请依据方程组和它的解的变化规律，写出 第n个方程组和它的解： (3)若方程组 x十y=a的解是，三一g.求 x-by=106 a,b的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律. 点拨：(1)利用代入消元法或加减消元法求解二元 一次方程组： (2)正确发现规律是解题的关键 例2若关于x,y的二元一次方程组 2二3加十2的解携足x+y=一2，求m的 x+2y=4. 值 点拨：本题考查二元一次方程组解的定义，以及整 体代换思想 数学。七年级下册 变式练习已知关于x,y的二元一次方程组 3x一5)=2a:则下列结论中正确的是 巩固练习 ( x-2y=a-5. ①当a=5时，方程组的解是 x=10 一、夯实基础 y=201 是二元一次方程组 r+y=8 的 ②当x,y的值互为相反数时，a=20: 1.已知=2 y=1 nr-my=1 ③不存在一个实数a使得x=y: 解，则m十n的值 ) ④若x=23时，a十y=15. A.4 B.2 C.5 D.3 A.①② B.①②③④ 2.若/a+b+5+|2a-b十1|=0则(b-a)7的 C.②③④ D.②③ 值为 () 例3阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： A.-1 B.1 C.5o16D.-504 21x+19y=29① 解方程组17x+15y=25 时，如果直接考 3.为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作 ② 能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或 虑消元，计算量较大，而采用下面的解法则简单 1m的彩绳，用米做手工编织，在不造成浪费的 得多. 前提下，你有几种不同的截法 () 解：①-②，得x+y=1③，将③×15得15r+ A.1种B.2种C.3种 D.4种 15y=15④.②一④得x=5,从而y=-4,.方程 的解是口=5 4.若关于x的方程组ar十3y=9 2x-y=1无解，则a的 y=-4 值为 (1)请你运用上述方法解方程组 A.-6 B.6 C.9 D.30 2017x+2016y=2018 2012.x+2011y=2013 5.以方程组=2十2 y=-x+1 的解为坐标的点(x,y)在 第 象限 6.若3x如+++5y-+=8是关于y的二元一 次方程，则a= ,b= 7.已知关于x,y的二元一次方程组 2.x+3y=k x+2y=-1 的解互为相反数，则k的值是 8.在解方程组 a.x+5y=10 4r-by=-4 时，由于粗心，甲看错 x=-3 (2)请求出关于x,y的二元一次方程组 了方程组中的a,得到的解为 6=-1乙看错了 px+(p+2)y=p+3 的解. 4x+(q+2)y=g+3 方程组中的b,得到的解为 x=5 y=4 (1)求出正确的a,b的值： (2)求原方程组的解， 39 度选 @ 数学。七年级下册 二、拓展提升 10.已知关于x,y的二元一次方程组 9.观察下表： ax+by的解为任-6， 序号1 azx+bay=c3 y=41 求关于m,n的方程组 yyy 6am-4)+4物，(n十ID=c的解. yy 6a2(m-4)+4b2(n+1)=c2 图形 r x yyy yy yy v r 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征 多项式，例如第1格的“特征多项式”为4.x十y 回答下列问题： (1)第3格的“特征多项式”为 ,第4格 的“特征多项式”为 ,第n格的“特 征多项式”为 (2)若第1格的“特征多项式"的值为一10，第2 格的“特征多项式”的值为一16.求x,y 的值 408,将k=8代人①得：8x=16,即x=2,将x=2代入 14.31 y=-x得：y=-2,则k=8,x=2,y=-2. |x=2 15.(1) (2)/=-3 19.解：将 /x=2 y=1 y=-2 代入方程组 y=1 16.解：由①得x=ay③，将③代人②，得2ay一 2x+(m-1)=2 4+m-1=2 可得： nz+y=1 2+1=1，解得： 6 3y=6,所以y=2a—3因为y为整数，所以2a-3 /m=-1 为6的约数.所以2a-3=士1，±2，士3，士6.当2a ,则m十n=-1十0=-1. n=0 3=1时，a=2:当2a-3=-1时，a=1:当2a-3=2 5 20.解：把 /x=1 代人方程组，得 时a=号：当2a-3=-2时，a=2:当2a-3=3 y=3 时，a=3:当2a-3=-3时，a=0;当2a-3=6时， 2a+b=-1① 由②得a=2,把a=2代入①，得b a+5-=7② 号当2a-3=-6时a=-2 =-5.故a2+(a+b)=4-27=-23. 因为a为整数，所以a为0,1,2,3. 3a-2b=2 21.解：根据题意得： -2a+26=2'解得 2.3解二元一次方程组(2) 6=5将x=3y=一2代人得：3c+14=8,解得： /a-4 典型例题 例A c=-2,则a+b-c=4+5+2=11. 变式练习1，C 2.3解二元一次方程组(1) 12x-5y=-21 2. ,①×3+②×5得：26x= 4x+3y=23② 典型例题 52,即x=2,把x=2代人①得：y=5,则方程组的解 |x=5+y① 例1解： |x=2 l3x+4y=1② 为 y=5 将①代入②得：3(5十y)+4y=1③，去括号，移 巩固练习 项，合并同类项，系数化为1，得：y=一2④，把④代入 1.C2.B3.C4.D5.C6.B7.D x=3 ①得：x=3,.原方程组的解为： 8.B9.D10.D y=-2 x=2 11是2器号 变式练习 y=3 13.)/=5 x=1 y=1 (2) 例21 y=2 x-y-1=0① 例3解：《 由①，得x一y=1③. 代入a.x+2y=7,得a=3. 4(x-y)-y=5② 4解把天 将③代入②，得4×1-y=5,解得y=-1.把y=-1 /x=5 (x=3 /x=0 把和y y=-1 分别代入cx一dy=4,得 代入③，得x=0.所以原方程组的解为 y=-1 5c-d=4 c= ,解这个方程组得 ,所以a-c一d= 巩固练习 3c+d=4 d= 1.D2.D3.D4.B5.A6.C7.B 3-1-1=1. 8.A9.B10.B 15.解：由①+②得：4025x+4025y=16100,即 11.-512.-2.5-1.513.18 x十y=4③，由②-①得：x一y=100④，由③十④得： ·8· 2x=104,解得x=52,由③一④得：2y=-96,解得 24 x=52 14x+y=-10 y=一48，则原方程组的解为 (2)依题意 解得 y=-48 9x+4y=-16 26 y 2.3解二元一次方程组(3) m=5 10. =0 典型例题 2x+y=2n+1 2.4二元一次方程组的应用(1) 例1(1)6一5(2)第n个方程组 它 x-2y=4n2 典型例题 x=2n 的解 例设农场去年计划生产玉米x吨，小麦y吨，根据 y=-(2m-1D x+y=200 /a=11 2x+y=11 题意可得 (3) ，此时方程组为 l1+5%)x+(1+15%y=25解得： b=101 x-10y=10 ,该方程 x=50 组符合(2)中的规律。 则50×(1+5%)=52.5（吨），150×(1+ y-150 x=1 、|x=2 变式练习(1)① 15%)=172.5(吨).答：农场去年实际生产玉米52.5 y=2 吨，小麦172.5吨. (2)x=y 变式练习设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种 5x+2y=64 (a/5-2=6 车每辆一次运土y立方米，由题意得， 3x+y=36 的解为 /x=2 (答案不唯一) 1-2x+5y=6 y=2 x=8 解得： 答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙 例2m=名 y=12 种车每辆一次运土12立方米. 变式练习C 巩固练习 (2)/-0.5 1.A2.B3.C4.A5.C6.B7.B y=1.5 8.B9.A10.A 巩固练习 1.C2.A3.C4.A5.二 3z+7y=10o0 11. 12.6013.15 (x+y=100 /4x+5y=435 x=一3 14. 8.解：(1)把代入4x-y=一4，得： x-y=3 y=-1 15.设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只 -12+b=-4,即6=8，把区=5代人a十5y=10. 脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九 y=4 (x十y=35 x=23 得：5a+20=10,即a=一2.(2)方程组为 十四足可得： ,解得： 2x+4y=9 y=12答：鸡有 -2x+5y=10① 23只，兔有12只. x-2y=-1@ ①+②×2得：y=8,把y=8 2.4二元一次方程组的应用(2) 代人②得：x=15,则方程组的解为任一15 y=8 典型例题 9.(1)16.x+9y25.x+16y(n+1)2x+n2y 例设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得 。9·