专题拓展 垂直面面观-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

数学。七年级下册 专题拓展 垂直面面观 例3如图，马路！上有两城市B,C,马路外有城市 A,要在马路上修建货运站P,使P到三城市路程 典型例题 和最短，问货运站P应建在何处？ ●A 例1如图，木匠师傅在检测长方形木窗是否合格 时，通常使用角尺（角尺的两条边互相垂直），他应 当怎样检测所做的长方形木窗，才知道合不合格呢？ 点拨：由于货运站P修建在马路上，根据“两点之间 的所有连线中，线段最短”这一性质可知，点P应在 B、C两点的递线上（即在马路1上）：再根据“直线 外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最 短”的性质可知，需要过A点作直线1的垂线 点拨：因为角尺的两条边互相垂直，所以要检测长 方形的木窗是否合格，只要把角尺的直角顶点放在木 窗的顶点，如果角尺的两边与木窗的两边重合，根据 垂直定义“如果两条直线相交成直角，那么这两条直 线互相垂直”，则可确定这个角是直角，这个长方形木 窗是合格的：如果有一条边不重合，则不合格. 例2如图，一个人从A地到河边某处挑水，问这人 沿着什么方向走路最近？画图说明原因。 变式练习知识是用来为人类服务的，我们应该把 它们用于有意义的地方.下面就两个情景请你作出 评判. 点拨：因为直线外一，点与直线上各，点连接的所有线 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走 段中，垂线段最短，所以可过点A向河岸作垂线，交 人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学 河岸于，点D.则沿着AD方向走最近 知识来说明这个问题 卓州 肠站☐ 情景二：A、B是河流1两旁的两个村庄，现要 在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什 么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出 抽水站点P的位置，并说明你的理由， 数学。七年级下册 5.如图，∠BAC为钝角. ●A (1)画出点C到AB的垂线段： (2)过点A画BC的垂线段： (3)过点B画AC的垂线段. ●B 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识 为人类服务时应注意什么？ 巩固练习 一、夯实基础 1.通过作垂线可得到下面的结论是 A.过一点有无数条直线与已知直线垂直 6.如图，AO⊥BC,垂足为O,OA平分∠EOD, B.过一点只有一条直线与已知直线垂直 ∠1=65°，求∠2的度数. C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 D.过一点能画出一条直线与已知直线相交 2.点到直线的距离是指 A.从直线外一点到这条直线的垂线 B.从直线外一点到这条直线的垂线段 C,从直线外一点到这条直线的垂线的长 D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长 3.如图，P为直线1外一点，A,B,C在1上，且PB ⊥I,有下列说法：①PA,PB,PC三条线段中 PB最短：②线段PB的长叫作点P到直线（的 距离；③线段AB的长是点A到PB的距离：④ 线段AC的长是点A到PC的距离.其中正确的 个数是 A.1个B.2个C.3个D.4个 4.如图，∠ABD=90°，直线 ⊥直线 ,垂足为 ,过D点有且只有 条直线 与直线AC垂直. 16 数学七年级下册 逃细 7.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分9.某园林局要测量出形如△ABC的一块空地面积 ∠BOC,OF⊥CD,若OB将∠DOE分成 (如图)，用以计算绿化成本，现已测量出BC的 ∠BOD:∠BOE=2·3的两部分，求∠AOF 长为50m,还需要测量哪些量才能算出空地面 的度数. 积？怎样测量？ 8.如图，OA⊥OC,OB⊥OD,且∠BOC=a,则 10.如图，直线AB,MN分别与直线PQ交于O, ∠AOD等于多少？（用含a的代数式表示） S,射线OG⊥PQ,且OG将∠BOQ分成1：5 D 两部分，∠P.SN比∠POB的2倍小60°，求 ∠PSN的度数. 17又，MNCD,.∠C+∠CPM=180°， 专题拓展 垂直面面观 ∴.∠A+∠C+∠APM+∠CPM=∠A+∠C +∠P=360° 典型例题 (2)过点P作MN∥AB. 例1把角尺的直角顶点放在木窗的顶点，如果角尺 两边与木窗的两边重合，则木窗合格：如果有一条边 B 不重合，则木窗不合格。 例2沿AD方向走最近，如图. :MN∥AB,.∠A=∠APM,MN∥CD, ∴.∠C=∠CPM, ∴.∠A+∠C=∠APM+∠CPM=∠P. 例3如图，过点A作AP⊥l,垂足为点P,由“两点 10.(1)变小变大(2)和为定值(3)15 之间的所有连线中，线段最短”和“直线外一点与直线 1.6图形的平移 上各点连接的所有线段中，垂线段最短”易知PA十 PB十PC最短，故P点即为所修建的货运站地址. 典型例题 A 例1B 例236 变式练习1B2.140cm2 例35n十6 变式练习 巩固练习 情景一： 1.A2.30°3.104.D5.C 两点之间的所有连线中，线段最短。 6.(1)画图如下： 情景二： 理由：两点之间的所有连线中，线段最短 赞同情景二中运用知识的做法.理由略. (2)平行且相等(3)8 巩固练习 7.(1)∠B'EC=2∠A'(2)A'D平分∠B'A'C 1.C2.D3.C 8.(1)如图所示： 4.AC BD B一DB 5.如下图. (2)ab-b ab-b ab-b (3)ab-b 9.(135°(2(2+35(3(215-2r) ·3· 6.∠1+∠AOE=90°，.∠AOE=90°-65°= ,∠CEF=70°，.∠ECD=110°，：∠DCB=70°， 25,又，OA平分∠E0D,∠2=∠AOE=25. ∴∠ACB=40° 7.设∠BOD=2x°，则∠BOE=3x°，因为OE 13.(1)76°90°(2)90°90°(3)90°理 平分∠BOC,所以∠E0C=3x°，3x+3x+2x=180, 由略 6 ,2x=45,即∠B0D=45. 14.(1)1803605407201620(2)(n 1)180° 而∠BOD+∠FOD+∠AOF=180°，所以 15.(1)证明：如图1，过点P作OP∥AB,,AB∥ ∠AOF=180°-90°-45°=45. CD,.OP∥AB∥CD,∴.∠1=∠PAB,∠2= 8.∠BOA+∠BOC=90°，∠BOC=&,则 ∠PCD,∴.∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD, ∠AOB=90°-a,∠AOD=∠AOB+∠BOD=90° 即∠APC=∠PAB+∠PCD. a+90°=180°-a (2)①如图2，过点A2作A,O∥AA1,由(1)可知 9.还需要测量BC边上的高，过点A作AD⊥ ∠B1=∠A1十∠1，∠B2=∠2+∠A,所以，∠B1十 BC于D,量出AD的长度即可. ∠B2=∠A,十∠A2+∠A:②如图3，由①可知： 10.易求得∠B0G-0-18,所以∠POB= ∠A1+∠A2+…+∠A.=∠B1+∠B2+… 5 +∠B.-. 90°-∠B0G=72°，∠PSN=2∠POB-60°=144° (3)①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB,则∠x= 60°=84° (180°-a)+(g-Y)=180°-a-y+B,故选B:②如 图5，由(1)可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M,, 专题拓展 平行线的性质与判定 ∠G=90°，∠M=30°，∴.∠GHM=90°+30°-40°- 一、夯实基础 50°=30°，故填：30° 1A2.A3.D4.A5.C 一B B 二、典型例题 -D 例1(1)50°(2)：GM⊥EF,HN⊥EF, 图1 图2 ∴∠MGH=90°，∠NHF=90°，∴.∠MGH= E ∠NHF,∴.HNGM(3)40 H 例2∠A+∠B+∠C+∠ADC=360 2 50 N -0 例3∠AMG=∠3.理由：：∠1=∠2，∴.AB/CD. p 图3 图4 :∠3=∠4，.CD∥EF..AB∥EF.∠AMG ∠5.又∠5=∠3，.∠AMG=∠3. 周末拓展相交线与平行线章拓展(1) 三、巩固练习 1.D2.B3.B4.C5.C6.D7.B 1.A2.C3.C4.D5.B6.D7.75 8.B9.D10.D 8.270°9.510.平行 11.垂线段最短12.6013.平行14.60° 1L.对顶角相等∠2=∠ANC DB EC两 15.150°16.120°17.618.719.40°20.102 直线平行，同位角相等DFAC内错角相等，两 21.(1)如图1所示： 直线平行∠D=∠ABD等量代换 12.(1)EF∥AB.理由：：CD∥AB,∠DCB 70°，∴.∠ABC=70°，：∠CBF=20°，∴.∠ABF= 50°，，∠EFB=130°，∴.∠ABF+∠EFB=180 .EF∥AB.(2)EF∥AB,CD∥AB,∴.EF∥CD, ·4·