专题拓展 与平面直角坐标系有关的面积问题-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

数学七年级下册 专题拓展与平面直角坐标系有关的面积问题 典型例题 例1如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0,0),A(3,0),B(5,2),C(2,3).求这个 四边形的面积. 点拨：(1)本题可以过C,B两点作平行于x轴，y轴的平行线，构造长方形，利用割补法求四边 形的面积； (2)利用割或补的方法是求解不规则图形的面积常用的方法. 变式练习在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(一1,2)，B(-2,一1)， C(2,0).求出△ABC的面积. 76 数学七年级下册 例2如图，在下面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点，其中a,b,c满足关系 式a-2+(b-3)2=0,(c-4)2≤0. (1)求a,b,c的值； (2)如果在第二象限内有一点P(m,),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存 在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 点拨：(1)对于(1)，可以利用二次根式及平方的非负性来解决，对于(2)，可将m作为常数来表 示图形的面积，但要注意的是m的值为负值，而作为面积用的是线段的长；对于(3)，可以构造 方程求解 (2)面积型问题是常考的一种题型，在各级各类考试中出现的频率很高，学会用含有字母 的式子表示面积是解决问题的第一步，学会构造方程求解是解决问题的关健， 变式练习如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（一1,0），(3,0)，现同时将点 A,B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接 AC,BD. (1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ADc; (2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使SAPAB=S四边形ABc?若存在这样一点，求 出点P的坐标：若不存在，试说明理由； 77 数学七年级下册 例3如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A(0,0),B(7,0),C(9,5),D(2,7). (1)求此四边形的面积. (2)在坐标轴上，你能否找到一点P,使S△Pc=50?若能，求出P点坐标；若不能，请说 明理由。 (备用图) 点拨：对于(1)，可以用割补法求解，对于(2)，首先要考虑点P的位置不同，S△P℃的面积表示 方法不一样，所以首先要对P点位置进行分类讨论，因为P点在坐标轴上，具体可以分为x 轴的正半轴与负半轴，y轴的正半轴与负半轴四类进行分类讨论，然后利用方程思想来解决. 基础提升 1.在平面直角坐标系中，点A是y轴上一点，若它的坐标为(a一1，a十1)，另一点B的坐标为 (a十3，a一5)，则点B的坐标是 2.若点P(2m+4,3m十3)在x轴上，则点P的坐标为 3.在平面直角坐标系中，A(0,1),B(0,一2)，C(一2,3)，则△ABC的面积为 4.设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P(0,3),Q(4,0), R(k,5),其中0<k<4,若该三角形的面积为8cm2,则k的值是 A.1 B号 C.2 D. 13 5.已知△ABC的顶点在坐标系中的坐标分别为：A(一5,1)，B (0,4),C(0,-6). 将△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得 △A1B1C1.请在坐标系中画出△A1B1C1,并写出点A1,B1, C1的坐标分别为 数学七年级下册 6.已知，如图在平面直角坐标系中，S△Ac=24,OA=OB,BC=12,求△ABC三个顶点的 坐标. 培优提高 7.已知三角形的三个顶点都在以下表格的交点上，其中A(3,3),B(3,5),请在表格中确立C 点的位置，使S△Ac=2,这样的点C有多少个，请分别表示出来， 8.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（一1,0），(2,0)，现同时将点A,B向上 平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD. (1)若在y轴上存在点M,连接MA,MB,使S△MaB=S平行侧边形ABDC,求出点M的坐标； (2)若点P在直线BD上运动，连接PC,PO,若P在线段BD之间运动时（不与B,D重 合)，求S△cDP十S△OP的取值范围； (3)若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO,∠DCP,∠BOP的数量关系. 79应(1,3)，表示T, ∴.∠CDP=∠1，∠BOP=∠2， 此时，表示的动物是蚂蚁 ∴·∠CDP+∠BOP=∠1+∠2=∠OPD. 故选：A 11.(1)13(2)6 2.B解析：设正方形的边长为x个单位 (3)A(0,6),B(-3,2).C(3,2), 长度. .AB=5,BC=6,AC=5, 2.x+3<7.8 由图可知， 3x+3>7.8解得1.6<x<2.4 .AB=AC. 专题拓展与有序数对有关 x为整数，x=2, 的规律型问题 则点P的横坐标为3十4×2=11，纵坐标为 5-2×2=1.即点P(11,1). 典型例题 故选：B, 例1P2(1,-1),P,(1,1),Pm(1,-3) 3.A解析：[a,b]=[m-i,n一j门，.a十b 变式练习 =m-i十n-j=m十1-(i十j), 1.(51.50) 又，a十b=8,∴m十n-(i十j)=8,即m十n 2.(-1009,1009) =i+j+8, 例2(1)0(2)0 ,1≤i≤6,1≤j≤8，且i,都是整数，m十n 变式练习 的最小值为10， 1.A 当m=2,n=8时，n=16, 2.(64,64) 当m=3,n=7时，mn=21, 例31 当m=4,n=6时，=24， 变式练习 (45.8) 当m=5,n=5时，mm=25, 当m=6,1=4时，m=24, 基础提升 即mn的最大值为25. 1.3或46n-32.803.(5,3)4.10 故选：A 10(i-10+j5.72 1 6.(14,8) 4.(-5,-3)5.2 6.走法①：(3,3)-→(3,4)→(7,4)→(7,5) 培优提高 走法②：(3,3)→(6,3)→(6,5)→(7.5)（答案 7.21 「n(n+1)7 8.(1)64815 2 不唯一)路程均相等 7.A1(-1,4),B1(-3,2),C(2,1) (2)(n-1)2+1n221-1(3)2m3-3m2+3m-1 培优提高 专题拓展与平面直角坐标系 8.(1)a=4,b=3(2)a≠-4，b=3(3)a 有关的面积问题 =-3.b=4 典型例题 9.(1)(32.3)(64.0)(2)(2".3) (2+1. 0) 例12 10.(1)(4,2)(0,2)(2)8 (3)证明：如图，过点P作PQ∥AB, 变式练习 11 例2(1)a=2,b=3,c=4(2)-m+3(3)存 在P(-3 变式练习(1)依题意，得C(0,2),D(4.2), .S两动形x=ABXOC=4X2=8: (2)存在.设点P到AB的距离为h,S△Pe= ,CD∥AB, ∴.CD∥PQ, ×ABXh=2h,由S△Pg=Sm边后Mx,得2h=8, ·17 解得h=4,.P(0,4)或(0，一4) 8.(1)(0,4)或(0，-4) 例3(1)S国边EAD=44 (2)2<S△Dp十S△W<3 (2)①当点P在x轴上，设P(x,0),则PB (3)当点P在线段BD上时，则∠CPO= 1 x-7,由S△m=2×x-7X5=50,得x=27 ∠DCP+∠BOP: 当点P在线段BD延长线上时，∠CPO= 或-13，∴.P(27,0),P2(-13,0). ∠BOP-∠DCP: ②当点P在y轴上，延长CB交y轴于E点， 当点P在线段DB延长线上时，则∠CPO= 过C作CF⊥y轴于F,设E(O,yE), ∠DCP-∠BOP. 1 ∴S6程=2(5-yE)X9.5ae=豆X7X 周末拓展平面直角坐标系 1 （-yE),SFAa=2×(7+9)X5. -、1.A2.A3.B4.C5.A6.D7.D 又：SE=SAaE十S5,解得y=- 35 2, 8.B 二、9.一910.答案不唯一，如：(0,0)11,1 B0,2. 12.(-1,一2)或(-1,6)13.(-2,0)或(8,0) 设P(O,y),当P点在E点上方时，PE=y+ 14.10或-1015.（货3 S度=S6m一Sm解得y空 35 三、16.点P(一1,1)在第二象限：点Q在原点. 当P点在E点下方时，PE=一5-y 17.(1)D(2,2)(2)4.24(3)A(4,-2) 2 B1(7,-√2)C1(7,-22)D1(4,-22) 六Sam=Sam-Saam,解得ya=-135 18.(1)80(2)整个四边形向右平移两个单 综上所述P1(27,0),P,(-13,0),P(0,2) 65 位，面积不变为80. 19.60cm P,0,1)满足题意 20.(1)AB=CD,AC =BD,AB//CD,AC //BD. 基础提升 (2)连接OD,设C(0,m),则依题意有D(1,m 1.(4.-4)2.(2.0)3.34.B 1 5.(-2.2).(3.5),(3.-5) -2).Som=Save+Somo-SAn=2X3Xm 6.A(0,4),B(-4,0),C(8.,0) 1 222<3×《m一2)2m+3=5。 培优提高 .m=4,C(0,4),D(1,2). 7.易得点C到直线AB的距离是2. (3)存在，依题意有EF=OM,EFOM,则2a 点C是与AB平行且距离为2的直线1与表 格格点的交点， +1=-2b+3,a-b=C0M=1,或2a+1=-2b+ 3,b-a=OM=1,∴.a=1,b=0或a=0,b=1, 如图所示，符合条件的点C有6×2=12（个）， 分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，1,5)，(1,6)， .S四边数E=1或S四边形nFE=3. (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6). 21.1)B(5,5).C(5,0)(2)1s (3)∠OAE+∠CBE=90°或270° 期中复习 期中复习(1) -、1.B2.A3.C4.A5.C6.B7.A ·18·