7.1 相交线-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

数学七年级下册 第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 典型例题 例1数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直 线，食指代表截线).从左至右依次表示 () A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角 C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角 点拨：两条直线α，b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关 系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一 对角互为同旁内角.据此作答即可. 变式练习如图，∠1和∠3是直线 被直线 所截得到的 角：∠3和∠2是直线 被直线 所截得到的 角. 例2如图，河道1的一侧有A,B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A,B两村， 下列四种方案中最节省材料的是 A B D 点拨：垂线段最短指的是从直线外一，点到这条直线所作的垂线段最短.依据线段的性质以及垂 线段的性质即可得出结论 数学七年级下册 变式练习 如图，已知△ABC中，BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为点P,则CP的长可能是 ( A.2 B.4 C.5 D.7 例3如图，这是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计如 何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由。 点拔：从两个方面着手，一个是作AB的延长线，利用邻补角的度数得到∠ABC的大小；另一 个是作AB和CB的延长线，利用对顶角的性质得到∠ABC的大小. 变式练习同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是 个 () A.1或3 B.0,1或3 C.0,1或2 D.0,1,2或3 基础提升 1.将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE;②若 BC∥AD,则∠2=45°；③∠BAE+∠CAD=180°：④若∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中 正确的是 () A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 2.如图，数轴上一6，一3与6表示的点分别为M,A,N,点B为线段AN上一点，分别以A,B 为中心旋转MA,NB,若旋转后M,N两点可以重合成一点C(即构成△ABC),则点B代 表的数不可能的是 () A.1 B.1.5 C.2 D.3 数学七年级下册 3.如图，直线AD,BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是() A.∠4，∠2 B.∠2，∠6 C.∠5，∠4 D.∠2，∠4 4.直线m外有一定点A,点A到直线m的距离是7cm,B是直线m上的任意一点，则线段 AB的长度：AB 7cm(填“>”“<”“=”“≤”或“≥”)。 5.如图，直线BD上有一点C. (1)∠1和∠ABC是直线AB,CE被直线 所截得的 角： (2)∠2和∠BAC是直线CE,AB被直线 所截得的 角； (3)∠3和∠ABC是直线 被直线 所截得的 角： (4)∠ABC和∠ACD是直线 被直线 所截得的 角； (5)∠ABC和∠BCE是直线 被直线 所截得的 角 6.如图，直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，则 ∠AOC的度数为 7.如图，直线AB,CD交于点O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD. (1)若∠AOC=50°，求∠DOF与∠DOE的度数，并计算∠EOF的度数； (2)当∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数是否变化？若不变，求其值；若变化，说明 理由. 数学七年级下册 8.观察以下图形，寻找对顶角及邻补角 ××米 图 图2 (1)图1中共有 对对顶角， 对邻补角； (2)图2中共有 对对顶角， 对邻补角； (3)图3中共有 对对顶角， 对邻补角； (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若n条直线相交于一点，则可 形成 对对顶角， 对邻补角： (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 培优提高 9.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往 上拿走.如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次 应拿走 () ③④1 67 ① A.②号棒 B.⑦号棒 C.⑧号棒 D.①号棒 数学七年级下册 10.我们常会把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简、化整为零是一种常见的数 学解题思想。 图2 (1)如图1中，直线1,12被直线1g所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁 内角： (2)如图2中，平面内三条直线11，L2,l3两两相交，交点分别为A,B,C,图中一共有 对同旁内角： (3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角： (4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角， 11.如图，点C在∠MAN的边AM上，CD⊥AN,垂足为D,点B在边AN上运动，∠BCA 的平分线交AN于点E. (1)若∠A=30°，∠B=70°，求∠ECD的度数： (2)若∠A=a,∠B=B,求∠ECD的度数（用含有a,B的式子表示）. M参考答案 第七章 .∠CAD+∠D=180°. 相交线与平行线 ∴.ACDE, 7.1相交线 ∠4=∠C,故④正确. 故选：D 典型例题 2.D解析：可设B表示的数为x,x>0, 例1D解析：根据同位角、内错角、同旁内角的概 则BN=6-x,AB=x一(-3)=x+3, 念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第 .△ABC中，AC=AM=-3-(-6)=3,BC 三个图是同旁内角.故选：D. =BN=6-x, 变式练习&bc同旁内acb内错 AC+BC>AB,.3+6-x>x十3，∴.0< 例2B解析：依据垂线段最短，以及两点之间线 x<3.故选：D 段最短，可得出节省材料的方案是 3.B4.≥ 5.(1)BD同位(2)AC内错(3)AC ABBC同旁内(4)AB AC BD同位 (5)AB EF BD同旁内 6.36 故选：B 7.解：(1)由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC 变式练习A =50°， 例3 操作 理由 图形 由OF平分∠BOD,得∠DOF=专∠BOD= 解法一±作AB ∠ABC=180 -∠CBD(互为 2×30-25, 的延长线，量出 ∠CBD的度数 邻补角的两角 由邻补角互补，得∠AOD=180°一∠AOC= 之和为180) 180°-50°=130°， 解法二：作AB ∠ABC 由OE平分∠AOD,得∠DOE= 2∠AOD= 和CB的延长 =∠DBE 线，量出∠DBE 3×130=65 的度数 (对顶角相等) 由角的和差，得∠EOF=∠DOF+∠DOE= 变式练习D 25°+65°=90°. 基础提升 (2)∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数没有 1.D解析：由题意，知∠BAC=∠DAE= 变化. 90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°， 理由：由OF平分∠BOD,得∠DOF= ∠2=30°， .∠1=∠BAC-∠2=60°. 2∠BOD, ∴.∠1=∠E, 由OE平分∠AOD,得∠DOE=号∠AOD, ACDE,故①正确： BC//AD, 由角的和差，得∠EOF=∠DOF+∠DOE .∠3=∠B=45 2∠BOD+3∠A0D .∠2=∠DAE-∠3=45°，故②正确： :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， =(∠A0D+∠BOD) .∠BAE+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3 90°+90°=180°，故③正确： 2∠A0B=90. ∠CAD=150°，∠D=30°， 8.解：(1)图1中共有2对对顶角，4对邻补角， 。1· 故答案为：2,4： -∠GEH, (2)图2中共有6对对顶角，12对邻补角，故答 ∴.180°-∠N-∠M-∠GEH=∠M+ 案为：6,12 2∠GEH,即2∠M+∠N=180°-3∠GEH. (3)图3中共有12对对顶角，24对邻补角，故 ,2∠M+∠N=105, 答案为：12,24： ∴.180°-3∠GEH=105°， (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数 ∴.∠GEH=25. 之间的关系为：若有”条直线相交于一点，则可形 :∠AEN=∠GEH, 成n(n一1)对对顶角.2(n一1)对邻补角，故答案 ∴.∠AEN=25. 为：n(n-1),2n(n-1): 故选：D. (5)若100条直线相交于一点，则可形成9900 变式练习C 对对顶角，19800对邻补角. 例2C解析：由题意可知ABOF. 培优提高 9.D 10.解：(1)直线11，l2被直线13所截，形成2 对同旁内角，故答案为：2： .∠1+∠OFB-180° (2)平面内三条直线1，l2l:两两相交，最多形 ∠1=x° 成6对同旁内角，即3×2=6，故答案为：6： ∠OFB=180°-x°. (3)平面内四条直线两两相交，最多形成了24 ,∠2=∠POF 对同旁内角，即4×3×2=24，故答案为：24： .∠3=∠POF+∠OFB=(180-x+y)°， (4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成 故选：C n(n一1)(n一2)对同旁内角，故答案为：n(n一1)(n 变式练习不平行平行 例3(1)证明：，CF平分∠DCE, -2). 1L.(1)20°(2)∠ECD=lal ∠1=∠2-∠DCE, 2 :∠DCE=90°， 7.2平行线(1) .∠1=45， :∠3=45， 典型例题 .∠1=∠3， 例1D解析：令AB与MF的交点为H, ∴.ABCF: (2):∠D=30°.∠1=45°， .∠DFC=105° 基础提升 1.D解析：由折叠可得：∠GEF=∠1=20°， ,AD∥BC ∴.FHEG. ,AB/CD,∴∠MHB=∠HFD. ∴.∠GEF+∠EFH=180°， :FM平分∠DFN,EG平分∠MEB, ∴.∠EFH=160°， .∠HFD=∠NFH,∠MEG=∠GEH. 又：∠MHB=∠M+∠MEH, ∠EFS=∠EFH=80, .∠HFD=∠M+2∠GEH. .AD//BC. :∠N+∠NFH+∠NGF=180,且∠NGF ∴.∠EFB=∠1=20°， =∠M+∠MEG. ∴.∠2=∠EFS-∠EFB=60 ∴.∠NFH=180°-∠N-(∠M+∠MEG)= 故选：D 180°-∠N-∠M-∠MEG=180°-∠N-∠M 2.D解析：设∠EAD'=a,∠FAB'=B, ·2.