精品解析：湖南省娄底市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期期末文化素质检测试卷 九年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可得，四个选项中，只有B选项中的函数是反比例函数， 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程只有一个实数根 D. 方程没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键；计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 5. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 6. 为了解某校2000名家长对防溺水知识的了解情况，从中随机调查了200个家长，其中有160个家长对防溺水知识非常了解，其他家长对防溺水知识有待加强，下列说法正确的是（ ） A. 总体是2000名全体学生 B. 样本容量是200 C. 估计该校有的家长对防溺水知识非常了解 D. 该校只有160个家长对防溺水知识非常了解 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量．根据题意和总体、样本、样本容量的定义可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：A、总体是2000名家长对防溺水知识的了解情况，故本选项错误，不符合题意； B、样本容量是200，故本选项正确，符合题意； C、估计该校有的家长对防溺水知识非常了解，故本选项错误，不符合题意； D、该校抽取的样本中只有160个家长对防溺水知识非常了解，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 7. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：三角尺与其投影相似，且相似比为：， 三角尺的面积与投影的面积比为：， 故选B． 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，的顶点坐标为．根据抛物线的解析式即可写出函数的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线顶点式：， ∴顶点坐标为：． 故选：D． 9. 根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（ ） A. 不变 B. 变亮 C. 变暗 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，根据题意求出电压是解题的关键．根据欧姆定律，结合已知条件可求出电压（V），若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解． 【详解】解： ，当时，A， （V）， 若电压保持不变，即（V），电阻R减小为15Ω时， 则，电流变大了， 灯泡亮度的变化情况为变亮． 故选：B． 10. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直定义可得，再根据已知易得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴钢梁的长为24cm， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，在每一象限内，随增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大， ， 满足条件的值为，． 故答案为：（答案不唯一） 13. 若一元二次方程的两根分别为m，n，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在比例尺为的地图上，测得两城市的距离是，则两城市的实际距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设它的实际长度为，根据比例尺的定义，列出比例式即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设它的实际长度为xcm， 由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，这两名同学成绩比较稳定的是_______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差表示数据波动的大小，比较方差的大小即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴乙的波动比较小，乙比较稳定 故答案为：乙 【点睛】本题主要考查了方差，熟记方差越大，数据的波动越大是解题的关键． 16. 如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 17. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是__________ 米． 【答案】## 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数的余弦值即可解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC＝4米，， ∴AB＝＝＝（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键． 18. 如图，抛物线的对称轴是直线， 甲：； 乙：方程有两个不等实数根； 丙：； 丁：当时，抛物线既有最大值，也有最小值． 则以上正确的是_______ 【答案】乙、丙 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图象判断出系数的正负是解题的关键．根据二次函数图象可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙丁四人的正误即可． 【详解】解：由图象可知，，， ， 故甲结论错误； 根据图象判断，当时，对应的值有两个， 方程有两个不等实数根； 故乙结论正确； 抛物线的对称轴是直线， ，即， 令，则， 由图象可知当时，即， 故丙结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，没有最小值， 故丁结论错误． 故答案为：乙、丙 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人自主学习的选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人． 【答案】（1）90 （2） 补全的条形统计图如图所示： （3）720 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，熟悉掌握相关知识点是正确解答的关键； （1）用在线答题的人数除以所占的百分比即可； （2）用总人数减去其它方式的人数，求出在线听课的人数，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以在线阅读人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数为（人）， ∴本次调查的学生总人数为90人； 【小问2详解】 解：在线听课的人数为：（人）， ∴在线听课的人数为36人； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有720人． 21. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】（1） （2）该目标不能实现 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 22. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，根据四边形的对边相等可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：由四边形为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∵， ， ∴， 在平行四边形中，． 23. 为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟） 成正比例； 药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用： （1）设出正比例函数、反比例函数解析式，将代入求解即可； （2）令反比例函数值为0.45，求出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：设药物释放过程中y与x的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 将代入，得 解得， 因此药物释放过程中y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， （小时）， 即至少需要经过2小时后，学生才能进入教室． 24. 某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 【答案】望江塔的高度约为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形，分别在和中，利用锐角三角函数，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形， ，． 在中，由斜坡的坡度， 设，则， 米， 解得：， ∴米，米． 米，米． 在中，米． 米． 答：望江塔的高度约为20米． 25. 综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 （1）目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． （2）目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据待定系数法求关于V的函数关系式． （2）求出，再计算的值，求出在范围内最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得关于V的函数关系式过，，， ∴设，代入，，得， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：设，代入得， 解得， ∴， ∴， ∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2． ∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为． 26. 新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【解析】 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末文化素质检测试卷 九年级数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程只有一个实数根 D. 方程没有实数根 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某校2000名家长对防溺水知识的了解情况，从中随机调查了200个家长，其中有160个家长对防溺水知识非常了解，其他家长对防溺水知识有待加强，下列说法正确的是（ ） A. 总体是2000名全体学生 B. 样本容量是200 C. 估计该校有的家长对防溺水知识非常了解 D. 该校只有160个家长对防溺水知识非常了解 7. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（ ） A. 不变 B. 变亮 C. 变暗 D. 不确定 10. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 13. 若一元二次方程的两根分别为m，n，则________． 14. 在比例尺为的地图上，测得两城市的距离是，则两城市的实际距离是______． 15. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，这两名同学成绩比较稳定的是_______________（填“甲”或“乙”）． 16. 如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为_____． 17. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是__________ 米． 18. 如图，抛物线的对称轴是直线， 甲：； 乙：方程有两个不等实数根； 丙：； 丁：当时，抛物线既有最大值，也有最小值． 则以上正确的是_______ 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人自主学习的选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人． 21. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 22. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟） 成正比例； 药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 24. 某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 25. 综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 （1）目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． （2）目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 26. 新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $