第九讲 分数加减法应用(知识点＋经典讲练)-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第九讲 分数加减法应用 【知识梳理】 知识点一：异分母分数加减法计算方法 1、先把几个分数化成分母相同的分数，再按照同分母分数加减法计算。（通分—分母不变，分子相加或相减，得数能化简的要化简） 2、分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相加，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的和。分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相减，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。 3、分母分子相差越大，分数就越接近0；分子接近分母的一半，分数就接近1/2；分子分母越接近，分数就越接近1。 知识点二：分数加减法混合运算 4、分数加、减法混合运算顺序与整数、小数加减混合运算顺序相同。没有小括号，从左往右，依次运算；有小括号，先算小括号里的算式。 5、整数加法的运算律，整数减法的运算性质同样可以在分数加、减法中运用，使计算简便。 经典讲练1：异分母分数加减法 例1、      【答案】；；；；； 【分析】异分母分数的加、减法，先把异分母分数化成同分母分数，再按照同分母分数的加、减法计算即可。 【详解】＋＝＋＝ －＝－＝ 例2、直接写得数。                            【答案】；1；；； ；；1；0； ；1 例3、一台拖拉机耕一块地，上午耕了公顷，下午比上午多耕了公顷。下午耕地多少公顷？ 【答案】公顷 【分析】下午耕地的公顷数＝上午耕地的公顷数＋多耕地的公顷数。异分母分数加法通分转化为同分母分数相加即可。 【详解】（公顷） 例4、学校上个月节约用水吨，本月又节约用水吨。这两个月一共节约用水多少吨？本月比上月多节约用水多少吨？ 【答案】吨；吨 【分析】由题意可知，用上个月节约的质量加上本月节约的质量即可求出这两个月一共节约用水的重量；用本月节约用水的质量减去上个月节约的质量即可求解。 【详解】＋＝（吨） －＝（吨） 例5、 （1）从小明家到小刚家一共有多少千米？小明家到学校比小刚家到学校近多少千米？ （2）小刚从家经过学校到图书馆要走千米，学校离图书馆有多少千米？ 【答案】（1）千米；千米 （2）千米 【分析】（1）由题意可知，用小明家到图书馆的距离加上学校到小刚家的距离即可求出从小明家到小刚家一共有多少千米；用小刚家到学校的距离减去小明家到学校的距离即可求解； （2）用小刚家到图书馆的距离减去小刚家到学校的距离即可求出学校离图书馆有多少千米。 【详解】（1）＋＝（千米） －＝（千米） （2）－＝（千米） 练习： 1、直接写出得数。 ＝   ＝   ＝    ＝ ＝   ＝  ＝   ＝   1＋1÷5＝  ＝          【答案】1；；； ；；3； ； 2、直接写出得数。                         【答案】；；1；2  ；；；1 3、直接写出得数。 1－＝    ＋＝    ＋＝    ＋＋＝ －＝    3＋＝   ＋＝   ＋－＋＝ 【答案】；；2； ；；； 4、一根铁丝长2米，第一次用去它的，第二次用去它的，两次共用去总长度的，还剩下总长度的。 【答案】； 【分析】由题意可知，把这根铁丝的长度看作单位“1”，根据异分母分数相加减的方法，用得到两次共用去总长度的几分之几，再用1减去两次共用去总长度的分率，得到还剩下的分率。 【详解】 5、小明家、超市、人民广场、图书馆、学校的位置如下图所示。 （1）小明从家经过超市到图书馆有多少千米？ （2）小明从家经过人民广场到学校要走千米，从人民广场到学校有多少千米？ 【答案】（1）千米 （2）千米 【分析】（1）看图可知，小明家到超市的距离＋超市到图书馆的距离＝小明从家经过超市到图书馆的距离，据此列式解答。异分母分数相加减，先通分再计算； （2）小明从家经过人民广场到学校的距离－小明家到人民广场的距离＝从人民广场到学校的距离，据此列式解答。 【详解】（1）＋＝＋＝＝（千米）（2）－＝－＝（千米） 经典讲练2：分数加减法混合运算 例1、算一算，比一比。                          【答案】；；； ；；； 比较、发现见详解 【分析】从左往右依次计算； 从左往右依次计算； 从左往右依次计算； 先算括号里的加法，再算括号外的减法； 从左往右依次计算； 先算括号里的加法，再算括号外的加法； 从左往右依次计算； 从左往右依次计算； 再进行比较，说出比较好的发现，进而解答。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝  运用加法交换律，可以使计算更简便。 ＝＝ ＝＝ ＝   运用减法的性质，可以使计算更简便。 ＝＝ ＝＝ ＝   运用加法结合律，可以使计算更简便。 ＝＝ ＝＝ ＝   运用加法交换律，可以使计算更简便。 例2、计算下面各题。              【答案】；；； 【分析】－（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的减法； 4－（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的减法； ＋（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的加法； 1－－，按照运算顺序，从左向右进行计算。 【详解】－（－）＝－（－）＝－＝－＝ 4－（－）＝4－（－）＝4－＝ ＋（－）＝＋（－）＝＋＝＋＝ 1－－＝－＝－＝ 例3、小立从超市买回来一些蔬菜。在以下四个条件中选择合适的条件，提出一个两步或两步以上计算的问题，并解答。 ①番茄的质量是千克；       ②黄瓜的质量是千克； ③青菜比番茄少千克；        ④萝卜比黄瓜多千克。 （1）我提出的问题：______________________________ （2）我是这样解答的：______________________________ 【答案】（1）青菜和番茄一共有多少千克？（答案不唯一） （2）千克（答案不唯一） 【分析】可以选择条件①和③，提问：青菜和番茄一共有多少千克？已知青菜比番茄少千克，用番茄的质量减去千克，求出青菜的质量，再用番茄的质量加上青菜的质量即可解答。 【详解】（1）提问：青菜和番茄一共有多少千克。（答案不唯一） （2）＝＝＝（千克） 答：青菜和番茄一共有千克。 （答案不唯一） 例4、星期日，小伟练毛笔字用了小时，读课外书比练毛笔字少用了小时。他做这两件事一共用了多少小时？ 【答案】小时 【分析】由题意可知，读课外书的时间是小时，再把练毛笔字和读课外书的时间加起来，异分母分数相加，先通分再根据同分母分数相加的方法计算，最后化为最简分数，据此解答。 【详解】（小时） 练习： 1、计算下面各题。                【答案】；；； 【分析】（1）（2）（3）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （4）运用带符号搬家，把原式化为，依此进行计算即可。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝ 2、学校有一个花园，其中月季花的面积占，郁金香的面积占，牡丹花的面积比月季花和郁金香的面积总和少。牡丹花的面积占几分之几？ 【答案】 【分析】由题意可知，先将月季花的面积和郁金香的面积占花园的分率相加求出月季花和郁金香的面积总和，再用月季花和郁金香的面积总和减去即可求得牡丹花的面积占花园的几分之几。 【详解】＋－＝－＝ 3、一辆拖拉机耕一块地，上午耕了公顷，比下午多耕了公顷，还剩下公顷。这块地一共有多少公顷？ 【答案】公顷 【分析】用上午耕地的面积减公顷可得下午的耕地面积，再把上午、下午和剩下的面积相加，异分母分数相加减，先通分再根据同分母分数相加减的方法计算。 【详解】（公顷） 4、有两桶油漆，甲桶有吨油漆，如果从甲桶中倒出吨到乙桶中，两桶油漆就一样重，原来乙桶有多少吨油漆？ 【答案】吨【分析】用甲桶原来的重量减去吨，就是甲桶、乙桶现在的重量；乙桶现在的重量再减去吨就是乙桶原来的重量。 【详解】－－＝－（＋）＝－＝（吨） 5、同学们采集树种，第一小组采集千克，第二小组比第一小组多采集千克，第三小组比第二小组少采集千克，第三小组采集树种多少千克？ 【答案】千克 【分析】第二小组比第一小组多采集千克，则第二小组＝第一小组采集的千克数＋，得出第二小组的采集千克数。第三小组比第二小组少采集千克，则第三小组＝第二小组－得出第三小组的采集千克数。综合两个数量关系式，第三小组采集的千克数＝第一小组采集的千克数＋－。据此解答即可。 【详解】（千克） 经典讲练3：分数加减法简便运算 例1、计算下面各题。（能简算的要简算）                 【答案】；10；； 【分析】观察算式，分母相同的可以先算，进而简便计算。 （1）根据加法交换律进行简便计算，先计算与的和即可； （2）根据减法的性质：进行简便计算，将算式变为； （3）按照计算法则，先计算括号里面的即可； （4）根据减法的性质：进行简便计算，将算式变为。 【详解】＝＝＝ ＝＝11－1＝10 ＝＝＝＝＝ ＝＝＝ 例2、计算下面各题，能简算的要简算。            【答案】； ；0 【分析】（1）同级运算，通分后按照从左往右计算即可； （2）运用加法交换律和加法结合律进行简便计算即可； （3）通过观察可知，前后两个分数分母存在倍数关系，将每个分数都拆成两个分数相减的形式，，，， ，，再进行计算即可； （4）先去括号，再运用带符号搬家交换和的位置，最后运用连减的性质：连续减去两个数，相当于减去它们的和，进行计算即可。 【详解】（1）＝＝＝＝ （2）＝（）＋（）＝1＋＝ （3）＝＋＋＋＋＝＝＝ （4）＝－（）＝－1＝1－1＝0 例3、（1）计算下面各题，并找出得数的规律。              （2）应用上面的规律，直接写出下面各算式的得数。          （3）照样子，自己写一道算式并写出得数。 【答案】（1）；；； （2）； （3） 【分析】1）“数形结合”来分析：首先观察算式，这个算式中后一个减数的分母总是前一个减数分母的2倍，其次可以让一个大正方形的面积作为“1”，最后结合分数的意义可知，可看作将大正方形平均分成2份，其中的一份是； 可看作将大正方形平均分成4份，其中的一份是； 可看作将大正方形平均分成8份，其中的一份是，…… 则第一幅图空白部分面积为：； 第二幅图空白部分面积为：； 第三幅图空白部分面积为：； 第四幅图空白部分面积为：。 （2）结合图形可得出规律：最后剩下的空白部分面积总等于最后一次减去的数，故算式的得数等于算式中最后的减数，根据规律写出得数即可。 （3）按照规律自己写出一道算式，符合题意即可，答案不唯一。 【详解】（1）由分析可知：；；；。 （2）结合发现规律知：；。 （3）如：（答案不唯一） 练习： 1、计算下面各题。（能简算的要简算）                 【答案】；；； 【分析】（1）同级运算从左往右计算。 （2）（4）根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。 （3）根据加法的交换律和结合律进行简便运算。 【详解】 2、递等式计算（能简算的要简算）。              【答案】；；3； 【分析】（1）把及它带的符号搬到的后面，再利用加法结合律和减法的性质进行简便计算； （2）先计算括号内的减法，再算括号外的减法； （3）利用加法交换律和结合律进行简便计算； （4）先去括号，括号前是减号，去括号时，括号内的符号要变号，把及它带的符号搬到的后面，据此进行简便计算即可。 【详解】 3、计算。 【答案】 【分析】先去掉括号，算式变成，发现中间的分数都可以抵消，只剩下，据此计算出得数。 【详解】 4、的得数非常接近哪个数？为什么？（先在图中画一画，再想一想） 【答案】图见详解；1；原因见详解 【分析】把这个正方形看作单位“1”，根据分数的意义分别表示出、、和，剩余空白的部分是，即＝1－，据此解答即可。 【详解】如图所示： ＝1－＝ 巩固提优 1、直接写出得数。 －＝ ＋＝ ＋＝ 1－＝ －＝ ＋＝ ＋＝ －＝ 答案：；；；；；；； 2、计算下面各题。（能简算的要简算）                 【答案】；2；； 【分析】，从左往右算，异分母分数相加减，先通分再计算； ，利用加法交换结合律，将分母相同的分数结合到一起，再计算； ，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，从左往右算。 【详解】 3、用简便方法计算下面各题。 ＋（）       －（）      1－ 【答案】；； 【分析】＋（），利用加法交换律进行简算； －（），去括号，括号里的减号变加号，交换减数和加数的位置再计算； 1－，将拆成（1－），拆成（－），拆成（－），拆成（－），去括号，括号前边是减号，去掉括号，括号里的减号变加号，前边抵消，最后只剩。 【详解】＋（）＝＋＝1＋＝ －（）＝－＋＝＋－＝2－＝ 1－＝1－（1－）－（－）－（－）－（－） ＝1－1＋－＋－＋－＋＝ 4、用递等式计算，能简算的要简算。                       【答案】；； ；；2 【分析】，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，从左往右算，异分母分数相加减，先通分再计算； ，先算加法，再算减法； ，先算小括号里的减法，再算括号外的减法； ，将两个减数交换到最后，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，利用加法交换结合律进行简算。 【详解】 5、计算下面各题，能简便计算的要简便计算。            【答案】；；； 【分析】（1）先通分，把分数的分母全都转化成24，再算减法，最后算加法； （2）先算括号里的减法，再算括号外的减法； （3）先去括号，括号前的符号是“－”，括号内的符号变号，据此进行简便计算即可； （4）利用加法交换律和结合律进行简便计算。 【详解】 6、下面是五（1）班黑板报各个板块占整块黑板的情况。 （1）“学校新闻”与“校园生活”这两部分共占整块黑板的几分之几？ （2）“校园生活”比“知识之窗”多占整块黑板的几分之几？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将“学校新闻”与“校园生活”这两部分占整块黑板的分率相加即可； （2）用“校园生活”占整块黑板的分率减去“知识之窗”多占整块黑板的分率即可。 【详解】（1）＋＝ （2）－＝ 7、修路队修一条千米长的公路，第一天修了千米，比第二天多修千米。第二天修了多少千米？两天共修了多少千米？ 【答案】 千米；千米 【分析】用第一天修的千米数减去千米，即可求出第二天修的千米数。第一天修的千米数加上第二天修的千米数，就是两天一共修的千米数。 【详解】－＝－＝（千米） ＋＝＋＝（千米） 8、食堂仓库里原有吨大米，吃掉吨后，又运进吨。食堂仓库里现有多少吨大米？ 【答案】吨/吨 【分析】根据题意，原有吨大米，吃掉吨，即－，又运进吨，即为－＋，计算出结果即可。 【详解】－＋＝＋－＝2－＝（吨） 9、张阿姨喝一杯牛奶，分四次喝完。第一次喝了这杯牛奶的，然后加满水；第二次喝了这杯牛奶的，然后加满水；第三次喝了半杯，又加满水；第四次全部喝完。张阿姨喝的牛奶多，还是水多？你是怎样想的？ 【答案】喝的牛奶和水一样多；想法见详解 【分析】把杯子的容积看作单位“1”，首先明确牛奶一直没加，所以张阿姨喝了一杯牛奶；根据题意可知，第二次时杯子里加了杯子容积的的水，第三次加了杯子容积的的水，第四次加了杯子容积的的水，把三次加水的容积相加，求出三次加水的容积，最后再和喝掉的牛奶的容积比较，即可解答。 【详解】牛奶：1杯； 水：＋＋＝＋＋＝＋＝1 1＝1，喝的牛奶与水一样多。 10、三台播种机要播种一块地，第一台播种了这块地的，第二台播种了这块地的，余下由第三台播种。哪台机器播种的面积最大？ 【答案】第一台 【分析】根据题意，把这块地的总面积看作是单位“1”，用1减去和求出第三台播种机播种的面积占总面积的分率，最后比较即可。 【详解】1－＝＝＝ 、 11、六一儿童节到了，五（1）班学生表演唱歌的人数占全班人数的，表演跳舞的人数占全班人数的，唱歌的比跳舞的多占全班人数的几分之几？ 答案： －＝－＝ 12、某铺路队第一天铺路千米，第二天铺路千米，第三天比前两天铺路的总数少千米。第三天铺路多少千米？一共铺路多少千米？ 答案：千米；千米 （1）＋－＝＋－＝（千米） （2）＋＋＝＋＋＝（千米） 13、甲、乙、丙三人合作装订材料，完工时，甲、乙完成全部任务的，乙、丙完成全部任务的，乙装订了全部任务的几分之几？ 答案： （1）甲＋乙＝ （2）乙＋丙＝ （1）＋（2）得：（3）甲＋乙＋乙＋丙＝＋＝＋＝ （4）甲＋乙＋丙＝1 （3）－（4）得：甲＋乙＋乙＋丙－（甲＋乙＋丙）＝乙 乙：－1＝ 14、陆地按地形分为山地、盆地、高原、平原和丘陵。我国的陆地中，山地面积约占陆地总面积的，盆地面积约占陆地总面积的，丘陵面积约占陆地总面积的。 （1）山地、盆地和丘陵的面积共约占我国陆地总面积的几分之几？ （2）高原和平原的面积共约占我国陆地总面积的几分之几？ 答案：（1） （2） （1）＋＋＝＋＋＝ （2）1－＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲 分数加减法应用 【知识梳理】 知识点一：异分母分数加减法计算方法 1、先把几个分数化成分母相同的分数，再按照同分母分数加减法计算。（通分—分母不变，分子相加或相减，得数能化简的要化简） 2、分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相加，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的和。分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相减，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。 3、分母分子相差越大，分数就越接近0；分子接近分母的一半，分数就接近1/2；分子分母越接近，分数就越接近1。 知识点二：分数加减法混合运算 4、分数加、减法混合运算顺序与整数、小数加减混合运算顺序相同。没有小括号，从左往右，依次运算；有小括号，先算小括号里的算式。 5、整数加法的运算律，整数减法的运算性质同样可以在分数加、减法中运用，使计算简便。 经典讲练1：异分母分数加减法 例1、      例2、直接写得数。                            例3、一台拖拉机耕一块地，上午耕了公顷，下午比上午多耕了公顷。下午耕地多少公顷？ 例4、学校上个月节约用水吨，本月又节约用水吨。这两个月一共节约用水多少吨？本月比上月多节约用水多少吨？ 例5、 （1）从小明家到小刚家一共有多少千米？小明家到学校比小刚家到学校近多少千米？ （2）小刚从家经过学校到图书馆要走千米，学校离图书馆有多少千米？ 练习： 1、直接写出得数。 ＝   ＝   ＝    ＝ ＝   ＝  ＝   ＝   1＋1÷5＝  ＝ 2、直接写出得数。                         3、直接写出得数。 1－＝    ＋＝    ＋＝    ＋＋＝ －＝    3＋＝   ＋＝   ＋－＋＝ 4、一根铁丝长2米，第一次用去它的，第二次用去它的，两次共用去总长度的，还剩下总长度的。 5、小明家、超市、人民广场、图书馆、学校的位置如下图所示。 （1）小明从家经过超市到图书馆有多少千米？ （2）小明从家经过人民广场到学校要走千米，从人民广场到学校有多少千米？ 经典讲练2：分数加减法混合运算 例1、算一算，比一比。                          例2、计算下面各题。              例3、小立从超市买回来一些蔬菜。在以下四个条件中选择合适的条件，提出一个两步或两步以上计算的问题，并解答。 ①番茄的质量是千克；       ②黄瓜的质量是千克； ③青菜比番茄少千克；        ④萝卜比黄瓜多千克。 （1）我提出的问题：______________________________ （2）我是这样解答的：______________________________ 例4、星期日，小伟练毛笔字用了小时，读课外书比练毛笔字少用了小时。他做这两件事一共用了多少小时？ 练习： 1、计算下面各题。                2、学校有一个花园，其中月季花的面积占，郁金香的面积占，牡丹花的面积比月季花和郁金香的面积总和少。牡丹花的面积占几分之几？ 3、一辆拖拉机耕一块地，上午耕了公顷，比下午多耕了公顷，还剩下公顷。这块地一共有多少公顷？ 4、有两桶油漆，甲桶有吨油漆，如果从甲桶中倒出吨到乙桶中，两桶油漆就一样重，原来乙桶有多少吨油漆？ 5、同学们采集树种，第一小组采集千克，第二小组比第一小组多采集千克，第三小组比第二小组少采集千克，第三小组采集树种多少千克？ 经典讲练3：分数加减法简便运算 例1、计算下面各题。（能简算的要简算）                 例2、计算下面各题，能简算的要简算。            例3、（1）计算下面各题，并找出得数的规律。              （2）应用上面的规律，直接写出下面各算式的得数。          （3）照样子，自己写一道算式并写出得数。 练习： 1、计算下面各题。（能简算的要简算）                 2、递等式计算（能简算的要简算）。              3、计算。 4、的得数非常接近哪个数？为什么？（先在图中画一画，再想一想） 巩固提优 1、直接写出得数。 －＝ ＋＝ ＋＝ 1－＝ －＝ ＋＝ ＋＝ －＝ 2、计算下面各题。（能简算的要简算）                 3、用简便方法计算下面各题。 ＋（）       －（）      1－ 4、用递等式计算，能简算的要简算。                           5、计算下面各题，能简便计算的要简便计算。            6、下面是五（1）班黑板报各个板块占整块黑板的情况。 （1）“学校新闻”与“校园生活”这两部分共占整块黑板的几分之几？ （2）“校园生活”比“知识之窗”多占整块黑板的几分之几？ 7、修路队修一条千米长的公路，第一天修了千米，比第二天多修千米。第二天修了多少千米？两天共修了多少千米？ 8、食堂仓库里原有吨大米，吃掉吨后，又运进吨。食堂仓库里现有多少吨大米？ 9、张阿姨喝一杯牛奶，分四次喝完。第一次喝了这杯牛奶的，然后加满水；第二次喝了这杯牛奶的，然后加满水；第三次喝了半杯，又加满水；第四次全部喝完。张阿姨喝的牛奶多，还是水多？你是怎样想的？ 10、三台播种机要播种一块地，第一台播种了这块地的，第二台播种了这块地的，余下由第三台播种。哪台机器播种的面积最大？ 11、六一儿童节到了，五（1）班学生表演唱歌的人数占全班人数的，表演跳舞的人数占全班人数的，唱歌的比跳舞的多占全班人数的几分之几？ 12、某铺路队第一天铺路千米，第二天铺路千米，第三天比前两天铺路的总数少千米。第三天铺路多少千米？一共铺路多少千米？ 13、甲、乙、丙三人合作装订材料，完工时，甲、乙完成全部任务的，乙、丙完成全部任务的，乙装订了全部任务的几分之几？ 14、陆地按地形分为山地、盆地、高原、平原和丘陵。我国的陆地中，山地面积约占陆地总面积的，盆地面积约占陆地总面积的，丘陵面积约占陆地总面积的。 （1）山地、盆地和丘陵的面积共约占我国陆地总面积的几分之几？ （2）高原和平原的面积共约占我国陆地总面积的几分之几？ 学科网（北京）股份有限公司 $$