专题05 分式-2025年中考数学总复习（全国通用）

专题05 分式 考点一：分式的概念 分式的概念：形如，都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。 （例题讲解） 【例1】下列各式：，，0，，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【详解】，，0，，，，中分式的有:，,共计2个. 故选B. 【点睛】考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母． 【例2】下列各式中：中，是分式的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【提示】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进而解答即可． 【详解】是分式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母． （练习题） 1．下列各式中，是分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】选项、、中代数式的分母中不含有字母，不是分式；选项中代数式的分母中含有字母，属于分式． 故选． 2．在，，，这四个代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．是分式，故此选项符合题意； B．是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C．是整式，不是分式，故此选项不符合题意； D．是整式，不是分式，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 考点二：分式有意义的条件，分式值为0的条件 1、分式有意义的条件： 分式的分母为能为0。即中，。 2、分式值为0的条件： 分式的分子为0，分母不为0。即中，，。 （例题讲解） 【例1】若分式的值为0，则实数应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：分式的值为0， 且， 解得， 故选：． 【例2】使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． （练习题） 1．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x＞2 C．x≥－2 D．x≠2 【答案】D 【详解】试题解析由题意得， x-2≠0， 解得：x≠2， 故选D． 2．若分式的值为0，则实数的值为　　 A．0或5 B．5 C． 或0 D． 或5 【答案】 【解析】由题意可得且， 解得：， 故选． 3．已知分式 （1）当x取什么值时，分式有意义？ （2）当x取什么值时，分式为零？ （3）当x取什么值时，分式的值为负数？ 【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案． （2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零． （3）根据分子和分母异号时值为负数． 【详解】（1）∵分式有意义，∴x+30，∴x-3，∴当x-3时，分式有意义． （2）∵分式.的值为零，∴2-18=0且x+30，∴x=3，∴当x=3时，分式为零． （3）∵=2（x-3），∵分式. 的值为负数，∴2（x-3）0且x+30     ∴x＜3且x≠－3，∴当x＜3且x≠－3时，分式. 的值为负数． 【点睛】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为正数和负数的条件是解题关键． 考点三：分式的运算 1、分式的性质： 分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即： ，。 2、分式的通分： 把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做分母的最简公分母。 公分母＝系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次幂。 3、分式的约分： 利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。 公因式＝系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幂。 分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。 4、分式的加减运算： ①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：。 ②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：。 5、分式的乘除运算： ①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即：。 ②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：。 （例题讲解） 【例1】若把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍,则分式的值 (　　) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 【答案】C 【解析】分别用3x、3y代替原式中的x、y，则原式===，所以分式的值缩小为原来的. 故选：C． 【例2】下列分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A为最简分式； 选项B化简可得原式=； 选项C化简可得原式=； 选项D化简可得原式=； 故选：A． 【例3】要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解． 【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数， ∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式， ∴公分母为： ． 故选择：A． 【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键． 【例4】计算：． 【答案】 【提示】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． （练习题） 1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意； B．，故原选项错误，不符合题意； C．，故原选项错误，不符合题意； D．，故原选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题． 2．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ． 故选D． 3．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【提示】根据分式的性质，分子分母的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则为含或的一次单项式，据此判断即可． 【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变， ∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 4．（2024•湖南）先化简，再求值：，其中． 【解析】原式 ， 当时， 原式． 综合过关测试 1．若分式有意义时，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】分式有意义， ， 解得． 故选． 2．（2024•天津）计算的结果等于　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【解析】 ， 故选． 3．下列分式中，最简分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】，不是最简分式； ，不是最简分式； 是最简分式； ，不是最简分式； 故选． 4．若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】解：由分母不为零得： ∵代数式的值是0 ∴ 综上： 故选：B 5．下列分式的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、与不一定相等，变形错误，不符合题意； B、与不一定相等，变形错误，不符合题意； C、，变形正确，符合题意； D、，变形错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 6．把分式中的、的值都扩大到原来的2倍，则分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 【分析】把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【解答】解：、都扩大2倍，， 所以，分式的值不改变． 故选：． 7．（2024•雅安）已知．则　　 A． B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】， ， ， ， 故选． 8．下列运算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】、根据同底数幂的除法法则：底数不变，只把指数相减，得出结果，作出判断； 、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误； 、把分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，找出分子分母的公因式，分子分母同时除以，约分后得到最简结果，即可作出判断； 、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误． 【解答】解：、，本选项错误； 、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误； 、，本选项正确； 、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误， 故选：． 9．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【答案】B 【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 10．（2024•河北）已知为整式，若计算的结果为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， ， ， ， ， ； 故选． 11．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得： ， 被污染的代数式为， 故选． 12．当 　　时，分式有意义． 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论． 【解答】解：分式有意义， ， 解得， 故答案为：． 13．若分式的值为0，则　　． 【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 14．分式与的最简公分母是 　　． 【答案】． 【解析】与的最简公分母是， 故答案为：． 15．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】设，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的性质，解题关键是设参数，代入求值． 16．（2024•自贡）计算：　1　． 【答案】1． 【解析】 ， 故答案为：1． 17．化简：　　． 【分析】先把分式的分子、分母分解因式，然后除法变乘法，约分即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 18．（2024•眉山）已知且，，，，，则的值为 　　． 【答案】． 【解析】， ， ， ， ， ， ， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 19．（8分）计算： ； ． 【解析】(1)原式（1）解：原式 = ． (2)原式 = ． 20． ． 【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行加减运算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 21．（2024•宿迁）先化简，再求值：，其中． 【解析】 ， 当时，． 22．先化简，再求值：，其中． 【分析】先把括号中的1写成分母是的分式，把各个分式的分子和分母分解因式，除法写成乘法，按照混合运算法则，先算括号里面的，再算乘法，然后算加减，最后把的值代入计算结果进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 当 时， 原式 ． 23．先化简，再从，1，3中选择一个适当的数作头的值代入求值． 【解析】 ， ， ， ， 要使分式有意义，则，0． 可取， 则原式． 24．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【解析】 ， 根据计算器可得， ， ， 当时， 原式． 25．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式① ② ③ （1）这位同学的解答，在第 　　步出现错误． （2）请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值． 【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）第①步出现错误， 故答案为：①； （2） ， 当时，原式． 26．已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【解析】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 27．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式与分式互为“关联分式”．如，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”． （1）请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”． （2）求分式的“关联分式”． 【解析】（1） ， ， ， 分式是分式的“关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为， 则， 解得：， 答：分式的“关联分式”是． 28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3)27 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式． （1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可． 掌握分式的变形方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （2）， ∵， ∴， ∴，即：； （3）∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式 考点一：分式的概念 分式的概念：形如，都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。 （例题讲解） 【例1】下列各式：，，0，，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【例2】下列各式中：中，是分式的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 （练习题） 1．下列各式中，是分式的是　　 A． B． C． D． 2．在，，，这四个代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 3．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二：分式有意义的条件，分式值为0的条件 1、分式有意义的条件： 分式的分母为能为0。即中，。 2、分式值为0的条件： 分式的分子为0，分母不为0。即中，，。 （例题讲解） 【例1】若分式的值为0，则实数应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【例2】使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． （练习题） 1．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x＞2 C．x≥－2 D．x≠2 2．若分式的值为0，则实数的值为　　 A．0或5 B．5 C． 或0 D． 或5 3．已知分式 （1）当x取什么值时，分式有意义？ （2）当x取什么值时，分式为零？ （3）当x取什么值时，分式的值为负数？ 考点三：分式的运算 1、分式的性质： 分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即： ，。 2、分式的通分： 把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做分母的最简公分母。 公分母＝系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次幂。 3、分式的约分： 利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。 公因式＝系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幂。 分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。 4、分式的加减运算： ①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：。 ②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：。 5、分式的乘除运算： ①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即：。 ②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：。 （例题讲解） 【例1】若把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍,则分式的值 (　　) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 【例2】下列分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 【例3】要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【例4】计算：． （练习题） 1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 3．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024•湖南）先化简，再求值：，其中． 综合过关测试 1．若分式有意义时，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024•天津）计算的结果等于　　 A．3 B． C． D． 3．下列分式中，最简分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．下列分式的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．把分式中的、的值都扩大到原来的2倍，则分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 7．（2024•雅安）已知．则　　 A． B．1 C．2 D．3 8．下列运算中正确的是　　 A． B． C． D． 9．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 10．（2024•河北）已知为整式，若计算的结果为，则　　 A． B． C． D． 11．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为　　 A． B． C． D． 12．当 　　时，分式有意义． 13．若分式的值为0，则　　． 14．分式与的最简公分母是 　　． 15．已知，那么的值为 ． 16．（2024•自贡）计算：　 　． 17．化简：　　． 18．（2024•眉山）已知且，，，，，则的值为 　 　． 19．（8分）计算： ； ． 20． ． 21．（2024•宿迁）先化简，再求值：，其中． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再从，1，3中选择一个适当的数作头的值代入求值． 24．（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 25．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式① ② ③ （1）这位同学的解答，在第 　　步出现错误． （2）请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值． 26．已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 27．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式与分式互为“关联分式”．如，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”． （1）请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”． （2）求分式的“关联分式”． 28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$