精品解析：贵州省铜仁市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

铜仁市2024～2025学年第一学期教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列是等差数列，若，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 2. 已知椭圆C：（）的左顶点到上焦点的距离为2，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，分别是平面，的法向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆M：与圆N：的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 平行六面体中，底面是边长为3的正方形，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10 8. 过抛物线E：（）的焦点F作倾斜角为45°的直线l与E交于A，B两点，且A，B两点在y轴上的正射影分别为点D，C.若梯形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和，数列满足，则（ ） A. 数列的通项公式是 B. 若，则数列是递增等比数列 C. 若，则 D. 若，则数列的前n项和 10. 已知直线：；直线：，则（ ） A. 当时，的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若，则 D. 点到距离的最大值为5 11. 直三棱柱中，侧面为正方形，，E、F分别为AC、的中点，D为棱上的动点.设，，且，则（ ） A. 过点，E，D的平面截该三棱柱所得的截面为梯形 B. 无论点D如何运动，都有 C. 当时，点B到平面DFE的距离为 D. 已知H是平面DEF上的一动点，若，则点H的轨迹为抛物线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：（，）过点，且焦距为10，则C的渐近线方程为__________. 13. 最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是__________. 14. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知三个顶点分别是，，. （1）求外接圆M的标准方程； （2）若圆M与直线l：交于P，Q两点，求. 17. 如图，三棱锥的边上存在一点D，使得平面底面，且平面，过点P作，垂足为E. （1）证明：平面； （2）若，，，求与平面所成角的正弦值. 18. 平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点P满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线l：与C交于两点，且，求的取值范围. 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前C的标准方程； （2）当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值； （3）探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市2024～2025学年第一学期教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列是等差数列，若，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知，所以. 故选：C 2. 已知椭圆C：（）的左顶点到上焦点的距离为2，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，即可得离心率. 【详解】由题意知，左顶点，上焦点， 则，解得，∴ ∴离心率. 故选：C. 3. 已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 4. 已知，分别是平面，的法向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】∵，∴ ∴，即 ∴，解得，∴，故C正确. 故选：C. 5. 圆M：与圆N：的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外切，进而得到公切线的条数. 【详解】由圆M:，可得圆心，半径为1， 又由圆N:，化为标准方程为， 可得圆心，半径为6，可得，且， 所以，所以圆内切于圆，所以圆与圆的公切线的条数为1条. 故选：A 6. 若数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过递推公式罗列数列中前几项，找出数列的周期性计算即可. 【详解】由，得： 可知是以3为周期的数列，所以. 故选：D. 7. 平行六面体中，底面是边长为3的正方形，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如图，因为底面是边长为3的正方形，，， 由， 则 . 故选：A. 8. 过抛物线E：（）的焦点F作倾斜角为45°的直线l与E交于A，B两点，且A，B两点在y轴上的正射影分别为点D，C.若梯形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件设直线l的方程为，与抛物线方程联立利用韦达定理表示梯形面积，解方程可得结果. 【详解】 由题意得，. ∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1， ∴直线l的方程为， 由得， 设，则， ∴， ∴梯形的面积为， 解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和，数列满足，则（ ） A. 数列的通项公式是 B. 若，则数列是递增等比数列 C. 若，则 D. 若，则数列的前n项和 【答案】BD 【解析】 【分析】应用关系求通项公式判断A；根据等比数列的定义判断B；注意满足题设，即可判断C；应用分类讨论，结合等比数列前n项和、错位相减法求. 【详解】当，则，故， 又，不满足上式，故，A错； 若，且，即公比为2，故数列是递增等比数列，B对； 若，又，即满足题设，此时，不一定有，C错； 若，则，故，当时； 当，则， 所以， 作差，得 ， 所以， 综上，，D对. 故选：BD 10. 已知直线：；直线：，则（ ） A. 当时，的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若，则 D. 点到距离的最大值为5 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，求出直线的斜率判断；对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C，根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直线过定点，当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大，得解. 【详解】对于A，当时，直线，其斜率为， 所以的一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，则，解得或，经检验均合题意， 所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得或，故C错误； 对于D，由，即， 令，解得， 所以直线过定点， 当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大， 距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 11. 直三棱柱中，侧面为正方形，，E、F分别为AC、的中点，D为棱上的动点.设，，且，则（ ） A. 过点，E，D的平面截该三棱柱所得的截面为梯形 B. 无论点D如何运动，都有 C. 当时，点B到平面DFE的距离为 D. 已知H是平面DEF上的一动点，若，则点H的轨迹为抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平行平面的性质作截面判断A，证明，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法证明垂直判断D，由空间向量法求点面距判断C，在选项D中，得出是以为轴，为母线的圆锥的一条母线，即点轨迹是圆锥的侧面与平面的交线，确定截面与圆锥的母线的关系得出轨迹后判断D． 【详解】选项A，设与交于点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以， 为中点，则为中点，所以， 截面为是梯形，A正确； 选项B，因为，所以，为中点，由直三棱柱知， ，从而， 所以，所以， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， ， 所以，所以，即，B正确； 选项C，时，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 则点到平面的距离为，C错， 选项D，因为，所以是以为轴，为母线的圆锥的一条母线，即点轨迹是圆锥的侧面与平面的交线， 因为平面，所以平面截该圆锥侧面为圆（以为圆心，为半径）， 在平面中圆方程为，设是圆上任意一点，可设， 又，所以， 由选项B的讨论知，又， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设， 化简得， 即， 因为，所以， 所以 所以对任意，关于的方程有解， 即存在使得与平面平行，因此平面截圆锥的侧面所得点轨迹是抛物线，D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：平面截圆锥侧面所得曲线，设截面不过圆锥顶点： （1）截面与轴垂直，截得曲线为圆；（2）截面与轴平行，截得曲线为双曲线；（3）截面与一条母线平行，截得曲线为抛物线；（4）截面不与母线平行，不与轴垂直，截得曲线为椭圆． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：（，）过点，且焦距为10，则C的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出，进而求得答案. 【详解】由题，，，即， ， 所以双曲线的渐近线为. 故答案为：. 13. 最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出直线的方程并计算圆心到直线的距离，再由平面几何知识得出结论. 【详解】由直线的截距式可知，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 所以圆上的一点到直线距离的最小值为， 则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是， 故答案为： 14. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式计算求解即可. 【详解】设向外每层雕孔依次增加固定的数量为，所以每层雕孔数为等差数列， 所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出，所以， 所以，所以，因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式的基本量运算，计算求参即可得解； （2）应用裂项相消，计算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 由，即，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）知 故. 16. 已知三个顶点分别是，，. （1）求外接圆M的标准方程； （2）若圆M与直线l：交于P，Q两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一，待定系数法设圆的一般方程解方程组得解；法二，设圆的标准方程法求解；法三，中垂线法，求出线段和的中垂线方程，求得圆心坐标得解； （2）法一，几何法求出圆心到直线的距离求解；法二，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 法一：设圆的一般方程法 设圆的一般方程为（），由题意得 ，解得. 于是圆的一般方程为， 化为标准方程为. 法二：设圆的标准方程法 设圆的标准方程为，则由题意有 ，解得. 故圆标准方程为. 法三：中垂线法 易知线段的中点坐标为，而，故线段的中垂线方程为. 同理，可求得线段的中垂线方程为. 联立，解得，即是圆心. 由半径，从而圆标准方程为. 【小问2详解】 法一：易知圆心到直线：的距离为. 从而可得. 法二：设，，由题意得 ，即，即，. 于是. 17. 如图，三棱锥的边上存在一点D，使得平面底面，且平面，过点P作，垂足为E. （1）证明：平面； （2）若，，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面底面，平面平面，平面，， 所以平面. 又平面，所以. 又因为平面，平面，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面底面，可得平面，得，又由平面，得，由线面垂直的判定定理得证； （2）法一，以点为原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量平面的法向量，利用线面角的公式求解；法二，以点为原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量平面的法向量，利用线面角的公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由（1）平面，可得， （以为原点建系）取中点，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为平面，平面，所以. 又，所以，得. 则，，，. 故，，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，取. 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 法二：以点为原点，为轴，为轴，过点垂直底面为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为平面，平面，所以. 又，所以，得. 则，，，，. 故，，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，取. 所以， 因此平面与平面所成角的正弦值为. 18. 平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点P满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程； （2）若直线l：与C交于两点，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义即可求解； （2）联立直线方程、双曲线方程，由韦达定理结合向量数量积的坐标表示列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 设其标准方程为：， 则由题，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消去y，得， 则，. ， 由于直线：与双曲线有两个不同交点， 故，即，即且①， 又， 解得，即或②， 综合①②可知，的取值范围为. 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前C的标准方程； （2）当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值； （3）探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求出得解； （2）法一，以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用公式求解；法二，由三维空间三角形面积的计算公式求得，，根据投影面积法求解； （3）设折叠前，则折叠后，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. 【小问1详解】 由题意得：，解得. 故折叠前椭圆的标准方程. 【小问2详解】 当时，直线的方程为：， 联立，解得，， 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则： ，，，， 故，， 设平面的法向量为，则 ，即. 取，则，，故，. 平面的一个法向量为， 故. 设平面与平面的夹角为，则. 即平面与平面所成角的余弦值为. 法二：建系同法一. 于是，， . 由三维空间三角形面积的计算公式可得 . 又易知在平面的正投影为，且. 设平面与平面所成的角为， 结合图象可知. 【小问3详解】 以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设折叠前，则折叠后，， 设直线的方程为，其中， 联立，消去x得：， 显然，且，, 由，，得， 即①， ， ②， 由①②得：， 即是， ， 即， 即是，解得， 注意到，故， 从而存在满足条件的，且. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后联立方程，利用空间量的知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $