精品解析：山西省太原市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024~2025学年第一学期八年级期末学业诊断 数 学 （考试时间：上午7：30－9：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计筧器，答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. ﹣27的立方根是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. ﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的知识，直接开立方即可． 【详解】． 故选B 【点睛】本题考查了立方根的知识，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 2. 在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， 则点关于轴对称的点的坐标为 故选： A． 3. 将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解： ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； 由不能得出， 故D符合题意； 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不正确； B.，故本选项不正确； C.，故本选项正确； D.，故本选项不正确； 故选：C 5. 在申请加入中国共青团的过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有65个人，则第33名的成绩是中位数，且只有32人获奖，所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道65人复赛成绩的中位数． 故选：A 6. 若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，的值随着值的增大而减小，可知，所以可知直线过第二、四象限，根据各点所在的象限判断该点是否可能在该函数的图象上． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而减小， ， 直线过第二、四象限， 点在第一象限， 不在该函数的图象上， 故A选项不符合题意； 点在轴上， 不在该函数的图象上， 故B选项不符合题意； 点在第三象限， 不在该函数的图象上， 故C选项不符合题意； 点在第二象限， 可能在该函数的图象上， 故D选项符合题意． 故选：D． 7. 某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总交出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（） A. 今年的总收入为x万元，总支出为y万元 B. 今年的总支出为x万元，总收入为y万元 C. 去年的总收入为x万元，总支出为y万元 D. 去年的总支出为x万元，总收入为y万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故选：C． 8. 山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组 项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案． 【详解】解：甲组的平均得分为（分， 乙组平均得分为（分， 丙组的平均得分为（分， 丁组的平均得分为（分， 获得最高分的是乙组． 故选：B． 9. 在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（ ） A. 因为时，代数式的值为质数，所以该命题是真命题 B. 因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C. 如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D. 如果n取某一奇数时，代数式的值为质数，那么该命题是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断方法，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键； 结合质数与合数的定义来逐一分析即可． 【详解】A． 仅当时，，是质数，但不能仅根据这一个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，要证明一个命题为真命题，需要对所有符合条件的情况都进行验证，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； B． 虽然当，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，但同样不能仅根据这有限个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； C． 如果能找到一个自然数n，使得代数式的值为合数，也就是除了1和它本身以外还有其他因数，那么就说明“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这个命题不成立，即该命题是假命题，当，，就是合数，故该选项说法正确，符合题意； D．当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 10. 已知一次函数中，当自变量x从0变成1时，函数值y从1变成，则当自变量x从1变成3时，函数值y的变化情况是（） A. 从变成 B. 从变成 C. 从变成 D. 从变成 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．先求出一次函数解析式，再根据一次函数性质解答即可． 【详解】解：当自变量从0变成1时，函数值从1变成， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，， 当自变量从1变成3时，函数值的变化情况从变成． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 实数的绝对值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确把握绝对值的意义是解题关键．直接利用绝对值的定义得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是：． 故答案为：． 12. 实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，结合图形，根据平行线的性质及等式的性质求解即可； 【详解】如图： 依题意： ， 故答案为： 13. 太原地铁号线共设有个站点，连接了多个交通枢纽和商圈，为市民出行带来极大便利．如图将太原轨道交通线路图放入平面直角坐标系中，若“西客站”所在位置的坐标为，“郝家沟站”所在位置的坐标为，则“太原南站”所在位置的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： 由平面直角坐标系可得，“太原南站”所在位置的坐标为， 故答案为：． 14. 已知二元一次方程组的解是由此可知相应的正比例函数与一次函数__________图象的交点坐标为． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组的解与一次函数交点坐标的意义解答即可． 本题考查了方程组的解与一次函数交点坐标的意义，熟练掌握方程组的解与交点坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：由二元一次方程组的解是， 故正比例函数与一次函数图象的交点坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，则， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题含8个小题）解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序、准确地进行计算，是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）首先根据完全平方公式和二次根式的除法运算法则化简，然后计算加减即可． 小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①-②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． （1）求直线的函数表达式； （2）直接写出的面积． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识． （1）先求出点B的坐标是，代入得到，即可求出答案； （2）求出点A的坐标是，点C的坐标是，则，又由点B的坐标是，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点B是直线上一点，且纵坐标为4， ∴， 解得， ∴点B的坐标是， 把代入直线得到， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，，解得， ∴点A的坐标是， 当时，，解得， ∴点C的坐标是， ∴， 又∵点B的坐标是， ∴的面积为． 19. “一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 20. 2024年12月20日是澳门回归25周年的日子，过去25年，澳门社会经济发生了翻天覆地的变化．为纪念澳门回归祖国，学校组织了“铭记历史·共筑未来”全员知识竞赛．小彬统计了甲、乙两个组各10名同学的成绩（单位：分），并对相关数据进行整理和分析． 【数据收集与表示】 【数据分析与推断】 知识竞赛成绩分析 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 甲组 7 a 8 c 乙组 8 8 b 1.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述材料中空缺的数据： __________，__________，__________； （2）请结合表中的两种统计量，对甲、乙两组的成绩做出评价． 【答案】（1）7.5；8；2.8 （2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形图，平均数，中位数，众数等知识，明确题意，数形结合是解决问题的关键． （1）根据中位数、众数及方差的定义，可以得到a，b，c的值； （2）根据统计表中的数据，可以得到甲、乙两个班级中哪个班比赛成绩更好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可． 【小问1详解】 解：甲级数据从小到大排列为：4，5，6，6，7，8，8，8，8，10， ∴甲组数据的中位数：， 甲组数据的平均数为：， ∴甲组数据的方差：， 乙组数据中出现次数最多的是8， ∴乙组数据众数：， 故答案为：7.5；8；2.8； 【小问2详解】 答案不唯一，可以分为以下三个角度来分析： 甲组成绩的平均数为7分，低于乙组成绩的平均数8分，因此从平均数角度看，乙组成绩比甲组成绩好； 甲组成绩的中位数为7.5分，说明有一半同学成绩高于7.5分，乙组成绩的中位数为8分，说明有至少有一半同学成绩不低于8分，因此从中位数角度看两组成绩比较接近，乙组略好于甲组； 甲乙两组成绩的众数都是8分，因此从众数角度看，两组成绩比较接近； 甲组成绩的方差为2.8，高于乙组成绩的方差1.4，因此从方差角度看，乙组成绩更整齐． 21. 数学课上，李老师呈现小宇解答一道习题的过程和部分同学的反思，请你认真阅读，完成相应的任分． 已知：如图1，，点E是线段上一点，连接．求证：． 小宇的证明方法： 证明：如图2，过点E作． ．（依据①） ， ．（依据②） ． ， ． 完成解答后，李老师让同学们进行解题反思： 小星反思是：若点E在线段的延长线上，与交于点G，如图3，此时原来的结论仍然成立． 小颖的反思是：若点E在线段AC的延长线上，上述结论发生变化，此时，与的数量关系为__________． 任务： （1）请写出上述证明过程中的依据①和依据②； （2）请证明图3中； （3）请补充小颖反思的结论中三个角的数量关系． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的推论及三角形内角和定理．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三角形内角和定理：三角形三个内角的和是．构造平行线是解本题的关键． （1）根据平行线的性质及平行公理的推论回答即可； （2）如图，过点E作，根据平行公理的推论证得，利用平行线的性质证得，问题得证； （3）根据平行线的性质证，再根据三角形内角得定理证即可得证． 【小问1详解】 解：①：两直线平行，内错角相等；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【小问2详解】 如图，过点E作，则 ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ， 故答案为：． 22. 学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． （1）直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； （2）求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； （3）直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 【答案】（1）点的坐标为，线段的函数表达式为，线段的函数表达式为 （2）晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为6千米 （3），35或 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）根据题意确定点坐标；再确定点坐标，然后利用待定系数法计算线段的函数表达式即可； （2）根据题意，当阳阳换骑自行车时可有，结合（1）中线段的函数表达式，即可求得晋晋所乘公交车行驶路程，即可获得答案； （3）首先确定线段的函数表达式，然后分阳阳乘地铁过程中相遇前和相遇后、阳阳骑自行车过程中三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设晋晋乘坐公交车的时间为（分）， 根据题意，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发， 则图中点的坐标为， 由图可知，，， 设线段的函数表达式为， 将点代入，可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为； 【小问2详解】 根据题意，当阳阳换骑自行车时，， ∴可有晋晋所乘公交车行驶路程为（千米）， ∴晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为（千米）； 【小问3详解】 设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时， 在阳阳乘地铁过程中， 可有或， 解得或， 在阳阳骑自行车过程中， 可有， 解得， ∴值为，35或． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）①，②；（2）或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①先求出的度数，由外角的性质可求解； ②先求出的度数，由外角的性质可求解； （2）分为两种情况：当点F在线段上时及当点F在线段的延长线上时，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； ②，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，当点F在线段上时， ①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． ②如图3，当点F在线段的延长线上时， ，平分， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期八年级期末学业诊断 数 学 （考试时间：上午7：30－9：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计筧器，答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. ﹣27的立方根是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. ﹣3 2. 在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在申请加入中国共青团过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 6. 若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总交出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（） A. 今年的总收入为x万元，总支出为y万元 B. 今年的总支出为x万元，总收入为y万元 C. 去年的总收入为x万元，总支出为y万元 D. 去年的总支出为x万元，总收入为y万元 8. 山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组 项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 9. 在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（ ） A. 因为时，代数式值为质数，所以该命题是真命题 B. 因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C. 如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D. 如果n取某一奇数时，代数式值为质数，那么该命题是真命题 10. 已知一次函数中，当自变量x从0变成1时，函数值y从1变成，则当自变量x从1变成3时，函数值y的变化情况是（） A. 从变成 B. 从变成 C. 从变成 D. 从变成 二、填空题（本大题共5个小题）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 实数的绝对值为__________． 12. 实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为__________． 13. 太原地铁号线共设有个站点，连接了多个交通枢纽和商圈，为市民出行带来极大便利．如图将太原轨道交通线路图放入平面直角坐标系中，若“西客站”所在位置坐标为，“郝家沟站”所在位置的坐标为，则“太原南站”所在位置的坐标为______． 14. 已知二元一次方程组的解是由此可知相应的正比例函数与一次函数__________图象的交点坐标为． 15. 如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题含8个小题）解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． （1）求直线的函数表达式； （2）直接写出的面积． 19. “一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 20. 2024年12月20日是澳门回归25周年的日子，过去25年，澳门社会经济发生了翻天覆地的变化．为纪念澳门回归祖国，学校组织了“铭记历史·共筑未来”全员知识竞赛．小彬统计了甲、乙两个组各10名同学的成绩（单位：分），并对相关数据进行整理和分析． 【数据收集与表示】 【数据分析与推断】 知识竞赛成绩分析 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 甲组 7 a 8 c 乙组 8 8 b 1.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述材料中空缺的数据： __________，__________，__________； （2）请结合表中的两种统计量，对甲、乙两组的成绩做出评价． 21. 数学课上，李老师呈现小宇解答一道习题的过程和部分同学的反思，请你认真阅读，完成相应的任分． 已知：如图1，，点E是线段上一点，连接．求证：． 小宇的证明方法： 证明：如图2，过点E作． ．（依据①） ， ．（依据②） ． ， ． 完成解答后，李老师让同学们进行解题反思： 小星的反思是：若点E在线段的延长线上，与交于点G，如图3，此时原来的结论仍然成立． 小颖的反思是：若点E在线段AC的延长线上，上述结论发生变化，此时，与的数量关系为__________． 任务： （1）请写出上述证明过程中的依据①和依据②； （2）请证明图3中； （3）请补充小颖反思的结论中三个角的数量关系． 22. 学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． （1）直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； （2）求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； （3）直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 23 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$