6.3 三角形的中位线课件 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形 八年级下册（北师大版） 6.3 三角形的中位线 学习目标 1.理解三角形中位线的概念. 2. 探索并证明三角形的中位线定理. 3. 能运用三角形的中位线定理解决相关问题. 情境学新知 工人师傅要把一块三角形铁皮裁剪成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮他想出办法吗？ 怎么切呢？ 思考1 如何切割呢？你能想到什么？ 通过上一节课的学习我们知道：平行四边形的对角线将平行四边形平分成四个面积相等的三角形，如果能把三角形问题转化为平行四边形，问题就能解决了！ 思考2 怎么能把这块三角形铁皮转化为平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B A C 在三角形铁皮中构造平行四边形 D E F B A C 还可以找到其他平行四边形吗？ 分别作BC、AB的平行线DE、EF,得到 □ BDEF. 连接DF,根据平行四边形的任意一条对 角线平分其面积，得到S△BDF= S△DEF. B A C D E F 若要满足条件， 则四边形ADFE、四边形DECF均为平行四边形，且点D,E,F均为各边中点 只有当D、E、F 为AB、AC、BC的中点时，四边形ADFE、四边形DEFB、四边形DECF均为平行四边形，S△BDF= S△DEF= S△EFC=S△AED. 即S△BDF= S△DEF= S△EFC=S△AED. D E F B A C 思考3 切割的方案中，有几个平行四边形呢？ B A C D E F 一共有3个平行四边形. 问题1 你能帮铁匠师傅画出切割线吗？ B A C D F 分别选取AB、BC、AC边上的中点D、E、F作为切割点. 连接DE、EF、DF,即为切割线. 像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． E 思考4 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线的区别？ 一个三角形有3条中位线， 一个三角形有3条中线， A B C D F E 分别为DE，EF，DF 中位线是连接三角形两边中点的线段． 中线是连接顶点与其对边中点的线段. 分别为AE，BF，CD. 问题2 从以上的设计方案中，你还能得到什么结论. D、E、F 为AB、AC、BC的中点; S△BDF= S△DEF= S△EFC=S△AED 四边形ADFE、四边形DEFB、四边形DECF均为平行四边形. DE∥BC，DE= BC ; EF∥AB，EF= AB ; DF∥AC，DF= AC ; 猜想：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. B A C D E F 你能用不同的方法证明猜想吗？ 猜想： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 已知：如图，DE是△ABC的中位线 . 求证： . DE∥BC，DE= BC (以DE为例证明) B A C D F E 证明：∵DE是△ABC 的中位线 ∴AE=CE, AD=BD. 又∵∠AED=∠CEF,DE=FE， ∴△ADE≌△CFE， ∴∠A=∠ECF, CF=AD=BD. ∴CF∥AB， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC,DF=BC=2DE， ∴DE∥BC, DE= BC. 方法一： 延长DE到点F，使EF=DE，连接CF ∴AD=CF,DE=EF. ∴BD=CF,BD∥CF. ∴四边形DBCF是平行四边形, ∴DF∥BC，DF=BC, ∴DE∥BC，DE= BC . 方法二： 过点C 作CF∥AB交DE的延长线于F. 证明：∵DE是△ABC 的中位线， ∴ AD=BD,AE=EC. ∵CF∥AB ∴∠A=∠ECF 又∵∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE. B C D F E A 方法三： B A C D F E 延长DE至F,使EF=DE,连接CD、AF、CF . 证明：∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CF AD ∴CF BD , ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF BC ． 又∵ ∴DE∥BC， . 表示平行且相等. 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． B A C D E 拓展应用 工人师傅准备用如图所示的一块四边形铁皮(四边形ABCD)，切割出一块平行四边形，他的做法如下，你认为他的做法是否合理? 并说明理由. 合理，这样可以切出平行四边形的铁皮. 你会证明吗？ A B C D E F H G 先分别找到四条边的中点，再顺次连接，即为切割线 A B C D E F H G 像这样，顺次连接一个四边形各边的中点，所得到的四边形叫做中点四边形. 证明：连接 BD， ∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点. ∴EH BD，FG BD (三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半) ∴EH = FG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 平行四边形的中点四边形仍为平行四边形； 解：切割出来的中点四边形仍为平行四边形. 证明：分别记各边中点为E、F、G、H, 连接EF、FG、GH、HE、BD， 思考5 若为平行四边形的铁皮(▱ABCD)，切割出来的中点四边形是什么形状？尝试证明. A B C D E F H G ∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点， ∴EH BD，FG BD， ∴EH = FG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 即任意四边形的中点四边形均为平行四边形. 解：切割出的四边形EFGH为平行四边形. 证明: ∵在△AOD中，E、H分别为OA、OD的中点 ∴EH AD，同理可证FG BC， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD BC， ∴EH FG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 探究 假如有一块平行四边形的铁皮(▱ABCD)，按照如下方式切割(E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点)，能切出平行四边形的铁皮吗？ A B C D E F H G O 证明中点四边形的形状时，通常要构造和运用三角形中位线性质. 温馨提示 思考6 三角形的中位线有哪些作用？ 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 位置关系：证明两直线平行 数量关系：证明线段的相等或倍数关系 随堂练习 (1)如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，CB = 6，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，则四边形 AEDF 的周长为 ______；Rt△ABC 的中位线分别是 ________；斜边上的中线是 ________. 18 DE，DF CF A B C D E F 1.填空： (2)(2024湖南长沙模拟)如图，▱ABCD 的对角线AC ,BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD= 4，CD = 6，则EO 的长为________. A B C D E O P EO为△DPB的中位线 PB=AP-AB ∠CDP=∠ADP AP=AD=4 问题转化为求AP的长度 1 ∠ADP=∠APD EO=1 (3)(2024 河南)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ,BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB 交BC于点F.若AB = 4，则EF 的长为________. A B C D E O G F 1 点拨：过点O作OG∥AB，构造三角形中位线. 2. 如图，A，B两点被池塘隔开，在 A ，B 外选一点C，连接AC 和BC. 怎样测出A，B两点间的距离？依据是什么？ 分析：取AC和BC的中点，构造中位线解决. 测量出DE的长度，则AB之间的距离是2DE. 在△ABC中，DE是中位线， 根据：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 所以DE//AB，且DE=AB. 解：分别作出AC，BC边上的中点D ， E，连接DE. D E A B C 3. 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形. A B C D E F G H ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. 一题多解：也可连接AC证明. 自主完成证明. 定义 课堂小结 三角形的 中位线 定理 应用 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半. ①位置关系：证明两直线平行 ②数量关系：证明线段的相等或倍数关系. 6.3 三角形的中位线 课后练习 基础题 知识点1　三角形的中位线定理 1. 在△ABC中，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝60°，则 ∠ADE的度数为(　B　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110° 第1题图 B 2. (教材P152第1题改编) 2.1　已知中位线长度求边长 游乐园中的跷跷板深受小朋友的喜爱.如图，横板AB绕其中点E上下转动，立柱EF与地面垂直，若EF＝50 cm，则小朋友离地的最大距离BC为 (　D　) 第2.1题图 D A. 25 cm B. 50 cm C. 75 cm D. 100 cm 2.2　已知中位线计算周长 如图，在△ABC中，DE是三角形的中位线.若△ADE的周长为18，则 △ABC的周长为 ⁠. 第2.2题图 36　 2.3　改为结合平行四边形 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点， 若AB＝8，则OE的长为 ⁠. 第2.3题图 4 3. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连 接DF，EF. 求证：四边形ADFE是平行四边形. 第3题图 证明：∵D，F分别为AB，BC的中点， ∴DF＝ AC，DF∥AC，即DF∥AE. ∵E为AC的中点， ∴AE＝ AC，∴DF＝AE. ∴四边形ADFE是平行四边形. 知识点2　中点四边形 4. (教材P151议一议改编) 4.1　改为计算周长 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD， AD边的中点，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH，若四边形 ABCD的对角线AC＝18，BD＝22，则四边形 EFGH的周长为 ⁠. 第4.1题图 40 4.2　改为凹四边形，判定四边形的形状 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点.连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是平行四边形. 第4.2题图 第4.2题解图 证明：如解图，连接BD. ∵点E，H分别是AB，AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH＝ BD， ∵点F，G分别是BC，CD的中点， ∴FG是△CBD的中位线， ∴FG∥BD，FG＝ BD， ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 利用三角形的中位线定理解决问题的步骤： 第一步：根据中点信息确定中位线，要注意观察是哪个三角形的中位线； 第二步：根据三角形的中位线定理得到线段平行或线段间的数量关系． 方法总结 综合题 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，DE分别是BC，AC边上的中 线，若∠C＝65°，则∠ADE度数是(　C　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第5题图 C 6. 如图，EF是△ABC的中位线，BG平分∠ABC，交EF于点G. 已知 AB＝8，BC＝14，则GF的长为 ⁠. 第6题图 3 7. (构造中位线计算线段长) 7.1　如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OB的 中点，BF∶BC＝1∶4.若CD＝4，则EF的长为 ⁠. 第7.1题图 1 7.2　如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，点M，N分别是边 CD，BC上的动点，E，F分别是AM，MN的中点，在运动过程中， EF的最小值为 ⁠. 第7.2题图 ​ 8.雨伞是我们常用的雨具，如图是一把非折叠式雨伞，已知支撑点D，E在龙骨BF，BG的中点，C点在轴杆上滑动，DC＝30 cm，当雨伞撑开时，伞的两边关于AB对称，且∠DCE＝120°，则此时雨伞的宽度FG的长为 cm. 第8题图 60 拓展提升 9. 如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，EF叫做梯形的中位线.小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段EF，AD与BC之间的位置和数量关系做了探究.通过连接AF，并延长交BC的延长线于点G，证明△ADF ≌△GCF，再结合三角形中位线的定 理可得出EF∥AD∥BC， EF＝ (AD＋BC). 第9题图 第9题图 请利用上述方法解决下列问题： 如图②，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P，且点 P在梯形中位线EF上.若梯形ABCD的周长为24 cm，求EF的长. 解：∵EF＝ (AD＋BC)，EF∥BC，∴∠EPB＝∠CBP， ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP， ∴∠EPB＝∠EBP，∴EP＝EB，同理可得FP＝FC， ∴EF＝EP＋FP＝EB＋FC＝ (AB＋CD)， ∵梯形ABCD的周长为24 cm， ∴AD＋BC＋AB＋CD＝2EF＋2EF＝4EF＝24 cm，∴EF＝6 cm. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 如图，若AD＝BD，AE＝CE，则DE∥BC且DE＝BC. $$