精品解析：山西省晋中市2024-2025学年高一上学期1月期末调研测试数学试卷

晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】， 故选：B 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集的定义可得出集合. 【详解】因为，， 故 故选：C. 3. 已知函数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值. 【详解】当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故选：A. 4. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断. 【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B． 故选：B． 5. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可. 【详解】设等边三角形的边长为， 所以，可得， 因此等边三角形的面积为，扇形面积为； 则对应的弓形面积为, 所以该勒洛三角形的面积为. 故选：D 6. 已知，，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算得解. 【详解】依题意，，， 联立解得， 所以. 故选：D 7. 已知，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出、的范围，结合不等式的基本性质可判断B选项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为对数函数在上为增函数， 则，A对； 对于B选项，因为对数函数在上为增函数， 则，， 即，，所以，，B错； 对于C选项，，即，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 8. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的对称性，可得出，即可得出实数的值. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为函数有唯一零点，则，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，在不等式的两边同时除以可得，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，因为，则，则， 因为对数函数为上的增函数，则，C对； 对于D选项，取，，，则，D错. 故选：AC. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象为轴对称图形 B. 若在区间上单调递减，则m的取值范围是 C. 若的值域为，则m的取值范围是 D. 若关于x的方程有且仅有3个实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设.对于A：根据二次函数对称性分析判断；对于B：可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立，进而列式求解即可；对于C：可知的值域包含，进而列式求解；对于D：分析可知与、共有3个交点，进而分析求解. 【详解】设， 对于选项A：若，可知的图象为轴对称图形， 所以的图象为轴对称图形，故A正确； 对于选项B：因为在区间上单调递减，且在定义域内单调递减， 可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立， 显然不合题意，则， 可得，解得， 所以m的取值范围是，故B错误； 若的值域为，可知的值域包含， 若，的值域为，符合题意； 若，则，解得， 综上所述：m的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，可得或， 可知与、共有3个交点， 可知的最值为为或2，且， 则，解得，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上有且只有2个零点 D. 若（），则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图象求出的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当，则正确，即D正确. 【详解】根据图象可知，又易知图象过点， 即，即，又，可得； 由对称性可知函数的对称轴为，即的图象关于直线对称,即B正确； 由图可知周期为，可得； 又，所以， 结合图象可得，解得 因此当时，符合题意，即，所以A错误； 所以，令，可得， 即， 又，可得时，则，即在区间上有且只有2个零点，可得C正确； 若（），则； 因此，显然当时，，即D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质判断可得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可化简所求代数式. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知（），则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】换元令，可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故答案为：16. 14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程即可. 【详解】由题意，则， 所以， 令，则，所以， 由可得，解得或， 由可得，解得， 所以，或， 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 又因为， 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入，再由交集、并集的运算可得结果； （2）根据题意可知，限定出不等式关系解不等式可得结果. 【小问1详解】 若，可得， 又， 所以，. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则， 所以，解得，即， 所以a的取值范围为. 16. 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. （1）若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； （2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】（1） （2）变好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. 【小问2详解】 由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则. 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 17. 已知函数是奇函数，且的图象经过点. （1）求实数、的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，求出、的值，结合题意检验即可； （2）证明出函数在上是增函数，结合奇函数的性质、同角三角函数的基本关系可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 对任意的，，则的定义域为， 因为为奇函数，所以，① 又，② 联立①②，得，解得， 经检验，当，时，为定义在上的奇函数，所以，. 【小问2详解】 因为为定义在上的奇函数， 所以等价于. 由（1）知，，任取、且， 则. 由，可知，则，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 所以等价于， 由，得上述不等式等价于， 即，解得或， 又，所以， 则，， 所以原不等式的解集为，. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值； （3）在（2）条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间； （2）求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解； （3）由题意转化为，分别求不等式两边函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 . 令，，得，. 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 根据（1）知，. 令，当时，. 根据正弦函数的性质，当，即时，取得最小值，此时取得最小值； 当，即时，取得最大值1，此时取得最大值2. 所以，. 【小问3详解】 不等式等价于. 令函数，根据题意，有. 由（2）得，由绝对值的几何意义可知， 当时，，由，解得，故； 当时，，由，解得，无解. 综上，实数a的取值范围为. 19. 如果函数在其定义域内存在实数，使得（）成立，那么称是函数的“阶梯点”. （1）判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由； （2）证明：函数有唯一的“阶梯点”； （3）已知，设函数在上不存在“阶梯点”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）否，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是方程的解，运算求解即可； （2）可知是方程的解，结合零点存在性定理分析证明； （3）可知方程在上无解，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论运算求解. 【小问1详解】 假设有“阶梯点”，则是方程的解， 而方程可化为该方程无实数解 所以函数无“阶梯点”. 【小问2详解】 假设是的“阶梯点”， 则是方程解， 将该方程化简整理，得. 令函数，显然是上的增函数， 又，，故存在唯一的使得成立， 即函数有唯一的“阶梯点”. 【小问3详解】 由题可知的定义域为. 若函数上不存在“阶梯点”，则方程①在上无解， ①式即. 由对数运算，得， 化为整式方程，得（）. 令，， 则（）， 整理，得（）. 故题意等价于方程（）在时无解. 令函数（），其图象的对称轴为直线. 当，即时，因为恒成立， 所以在上有零点，不满足题意； 当且，即时，在上单调递增， ，所以在上无零点，满足题意； 当且，即时，在上单调递减， ，， 所以在上有零点，不满足题意； 当，即时，，在时没有零点，满足题意. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晋中市2025年1月高一年级期末调研测试试卷 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. 4 C D. 3 7. 已知，，则下列判断错误的是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象为轴对称图形 B. 若在区间上单调递减，则m的取值范围是 C. 若值域为，则m的取值范围是 D. 若关于x的方程有且仅有3个实数解，则 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上有且只有2个零点 D. 若（），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：__________. 13. 已知（），则__________. 14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求，； （2）若是必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16. 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. （1）若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； （2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 17. 已知函数是奇函数，且的图象经过点. （1）求实数、的值； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值； （3）在（2）的条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围. 19. 如果函数在其定义域内存在实数，使得（）成立，那么称是函数的“阶梯点”. （1）判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由； （2）证明：函数有唯一“阶梯点”； （3）已知，设函数在上不存在“阶梯点”，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$