精品解析：湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年湖北省“新高考联考协作体”高一上学期期末考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是：， 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再由交集运算可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以； 又因为可化为，解得，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A 5. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次函数单调性和零点存在性定理得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，不满足题意； 当时，是对称轴为的抛物线， 所以函数在区间内为单调函数， 要使得函数在区间内恰有一个零点，需满足， 即，解得或 故选：C 6. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 7. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，不等式可变形为，结合单调性可解不等式. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 于是，不等式可转化为， 因为是定义在上的单调递增函数，所以， 解得：， 故选：B. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质、换底公式及作差法判断即可. 【详解】因为，所以，又因为， 所以 ，所以； 而 ， 所以，所以，即，所以， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用利用特殊值法，结合不等式的性质、作差法逐一判断即可.. 【详解】，，即为，即有，即，故A正确； 取，，，，则，，故BD错误； ，故，故C正确. 故选：AC. 10. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在区间上的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性，结合正弦型的单调性、值域逐一判断即可. 【详解】因为的图象的一条对称轴方程为， 所以，解得， 因为，所以，所以， A选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故A错误; B选项，令，即，所以 ，解得，故B正确; C选项，令，解得，故C错误; D选项，当时，，所以，所以，故D正确; 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦型函数的对称性求出正弦型函数的解析式. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为3 C. 当，且时，的最小值为8 D. 当，且时，的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用对勾函数的单调性即可求得最大值，对于BD选项，利用基本不等式可判断正误，对于C选项，利用判别式为非负可判断其正误. 【详解】对于A，令，则， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，故A正确； 对于B，当时，， ，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对于C，令，则， 所以，所以x，2y可看作方程的两根， 所以，解得或舍去，所以的最小值为8，当且仅当时取最小值，故C正确； 对于D，令，，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用分数指数幂与指对互化求解即可. 【详解】. 故答案为：3. 13. 已知扇形 AOB所在圆的半径为2，其圆心角为，若的面积为1，则该扇形的面积为__________. 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，结合特殊角的正弦函数值计算求解即可. 【详解】当是锐角三角形时，过作，垂足为， 所以有， 因为的面积为1， 所以，解得， 扇形AOB的圆心角是或， 扇形的面积分别为或； 当是钝角三角形时，过作，垂足为， 所以有，解得， 扇形AOB的圆心角是或， 扇形的面积分别为或； 故答案为： 或或或 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，当时，求得，可求 （2）由题意可得集合是集合B的真子集，进而可得，求解即可. 【小问1详解】 由可得，且， 因为， 则解得：或，即集合或， 则； 又由可得， 所以，即，所以集合， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，集合， 因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合B的真子集， 所以，解得， 故实数a的取值范围为. 16. （1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 【答案】（1），；（2）4 【解析】 【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而得解； （2）由已知利用同角三角函数基本关系式，即可计算得解． 【详解】（1）因为角的终边过点， 所以，且，解得：， 所以， ； （2）因为， 所以 ， 即， 又因为角为第三象限角，所以，， 所以，即， 所以 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【解析】 【分析】（1）根据，得到两个方程，求解方程组即可； （2）根据对数函数单调性的性质、运用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 当时， ， 令，在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 于是根据对数型函数单调性的性质， 可知当或2时，所以. 当时， ， 当且仅当即时等号成立. 综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数型函数的单调性的性质和换元法的应用. 18. 已知函数在区间上有且仅有4个零点. （1）求的取值范围; （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; （3）当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果； （2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果； （3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果. 【小问1详解】 因为，则，， 因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以函数在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象与性质可得：， 解得：， 所以的取值范围为 【小问2详解】 当时，由可得：，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以，所以， 即，所以，故实数m的取值范围为 【小问3详解】 因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点， 即在区间内有两个不同的零点， 即函数与的图象在区间内有两个不同的交点， 由余弦函数的图象与性质可得：或，即或， 故实数t的取值范围为 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在上为单调递增函数；由（1）可得：，下面证明函数在R上为单调递增函数. ，，当时， ， 因为，且为R上的增函数，所以， 则， 所以，即， 所以函数在R上为单调递增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在R上的奇函数，可得和，解得a与b，检验可得所求值； （2）由指数函数的单调性可判断的单调性； （3）由的奇偶性和单调性，可得当时，，即恒成立，可得所求范围． 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，即①； 又因为，所以，即②， 联立①②可得：，解得，代入①可得：， 经检验，当，时，，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 由函数在R上为单调递增函数得：当时，，即恒成立， 令，， 则当即时，函数在上单调递增， 所以，所以即或，所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当即时，函数在上单调递减，所以， 所以，所以或，所以， 综上，实数t的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值问题，求最值的方法，常用单调性求最值，基本不等式求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省“新高考联考协作体”高一上学期期末考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在区间上的值域为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为3 C. 当，且时，的最小值为8 D. 当，且时，的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 已知扇形 AOB所在圆的半径为2，其圆心角为，若的面积为1，则该扇形的面积为__________. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. （1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数在区间上有且仅有4个零点. （1）求的取值范围; （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; （3）当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $