精品解析： 上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 4. 已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B. 反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C. 三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D. 直角三角形可以分割成两个等腰三角形 6. 如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（ ） A. B. 点到的距离等于线段的长度 C. 点在线段的垂直平分线上 D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 在函数中，自变量的取值范围是________． 8. 计算：______． 9. 反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 10. 方程的解是______． 11. 在实数范围内分解因式：______． 12. 关于的一元二次方程根的情况是______． 13. 函数的图像经过第______象限（请全部写出）． 14. 反比例函数的图像上有两点，那么______0．（用“”，“”或“”填空） 15. 勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式）______． 16. 如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于______． 17. 将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于______． 18. 如图1，已知直角三角形中，为直线上的两点，且．设E、F两点的距离为与重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是______． 三、简答题（本大题共4题，第19~21题每题6分；第22题8分，共26分） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 如图，已知线段， （1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． （2）如果，求等腰三角形的腰长． 22. 小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中关于的函数解析式是______； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 四、解答题（本大题共3题，第23～24题每题8分；第25题10分，共26分） 23. 如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． （1）求证：平分； （2）如果是中点，，求长度． 24. 如图，已知直线与交于点平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点重合），点在射线上，满足，连接． （1）求证：； （2）设的面积为，求与的函数解析式． 25. 平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． （1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． （2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； （3）反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数，叫做正比例函数，据此进行解答即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； B．不是整式，故该选项错误，不符合题意； C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D．是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 4. 已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式和函数图象的判断，熟练掌握梯形的面积公式是解本题的关键． 根据梯形面积公式即可得出关于的函数解析式，再判断图象即可． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：，其中， 则关于的函数图象是C． 故选：C． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例 B. 反比例函数，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小 C. 三角形三边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 D. 直角三角形可以分割成两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知反比例函数的定义，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，是解题的关键．分别根据反比例函数定义和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、百米赛跑中，运动员的平均速度与跑步成绩成反比例，是真命题,不符合题意； B、反比例函数，在同一象限内，当自变量逐渐增大时，的值随着逐渐减小，原说法错误,是假命题，符合题意； C、三角形三边垂直平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等,该说法正确,是真命题，不符合题意； D、因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形可以被斜边上的中线分割成两个等腰三角形，原说法正确,是真命题，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（ ） A. B. 点到的距离等于线段的长度 C. 点在线段的垂直平分线上 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 9. 反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，二次根式的性质化简．先根据反比例函数的性质得出，可知，再根据即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴，即：， 则， 故答案为：． 10. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 11. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 13. 函数的图像经过第______象限（请全部写出）． 【答案】一、三 【解析】 【分析】此题考查的是正比例函数的图像及性质，根据正比例函数的比例系数的符号判断函数所经过的象限是解决此题的关键．根据正比例函数的图像及性质判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴函数的图像经过第一、三象限． 故答案为：一、三． 14. 反比例函数的图像上有两点，那么______0．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小，从而可确定答案． 【详解】解：∵， 反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式）______． 【答案】如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：勾股定理的逆命题是：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 故答案为：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 16. 如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为， ∴字母所表示的正方形面积等于 故答案为：． 17. 将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作于点F，根据直角三角形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： 根据三角尺的特点可知：，，， ∵为中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． 18. 如图1，已知直角三角形中，为直线上的两点，且．设E、F两点的距离为与重叠部分的面积为，图2是关于的函数的图象．根据两图信息，图2中段函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】由M的坐标为得到，且点F和点B重合，求出， ，进一步得到，，，则，，当点E运动到点A时，与重叠部分的面积为达到最大值，此时则，，即点N的坐标为，得到时，，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点M的坐标为，即当时，， 则此时，且点F和点B重合，即， ∴， ∴， 即，解得， 则， ∵ ∴， ∴，， 当点E运动到点A时，与重叠部分的面积为达到最大值， ∵． ∴此时， 此时， 即点N的坐标为， 当时，， 即段函数的解析式是 故答案为： 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，求函数解析式，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，从函数图象获取正确的信息是解题的关键． 三、简答题（本大题共4题，第19~21题每题6分；第22题8分，共26分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，变形为，得到或，即可求出答案即可． 【详解】解： 则 ∴ 则或 解得， 21. 如图，已知线段， （1）求作等腰三角形，使其底边长为，底边上的高长为；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出结论． （2）如果，求等腰三角形的腰长． 【答案】（1） 如图，三角形即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的定义、基本作图、勾股定理等知识 （1）作线段长为,作线段的垂直平分线，垂足为D,并截取，连接即可； （2）由题意得到，，利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵垂直平分 ∴， ∵ ∴， 即等腰三角形的腰长为 22. 小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中关于的函数解析式是______； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【答案】（1） （2）个月 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为，当时，，解得，即可求出答案； （3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得到一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， 【小问2详解】 当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； 【小问3详解】 当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 四、解答题（本大题共3题，第23～24题每题8分；第25题10分，共26分） 23. 如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． （1）求证：平分； （2）如果是中点，，求长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵恰好垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）1 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由全等得到，利用勾股定理求出解得，则，设，则，则，得到，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴ 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得 即长度为1． 24. 如图，已知直线与交于点平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点重合），点在射线上，满足，连接． （1）求证：； （2）设的面积为，求与的函数解析式． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点作于点，作于点，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作于点，作于点，则，由角平分线的性质定理可得，结合题意，运用“”证明，得到，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，由等腰三角形的性质“三线合一”可得，根据含角的直角三角形的性质可得，同理可得，则有，，，结合（1）中的证明可得，，由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理，在中，， ∴，， ∴， ∴，， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段上的一点（不与点重合）， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，函数关系的确定，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 25. 平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． （1）①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． （2）直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； （3）反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 【答案】（1）①；②2， （2） （3） 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上考查了勾股定理，反比例函数的定义等知识，解决问题的关键是紧扣定义． （1）①根据定义得出点到的距离等于点到点距离，进而得出结果； ②可得出，，根据勾股定理求得的值． （2）作于，交轴于，连接，作于，设，可得出，，，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果． （3）作，交轴于，作轴于，根据得出，，，在中根据勾股定理得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：①点到的距离等于点到点距离， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 轴， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于，交轴于，连接，作于， 设， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； 【小问3详解】 解：如图2， 作，交轴于，作轴于， ， ， ，， ， 在中，， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 这个反比例函数的解析式为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $