上海市虹口区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

虹口区2024学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习 数学练习卷 （满分150分，时间100分钟）2025.1 注意： 1．本练习含三个大题，共25题： 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个三角形 D. 两个等腰三角形 2. 在中，已知，，，那么的正切值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. ， C. D. ， 4. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，联结，交于点，联结，，如果， ，那么长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ______． 8. 计算：_______． 9. 已知是二次函数，那么的值是________． 10. 抛物线与轴的交点是_______． 11. 如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_______． 12. 已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是________． 13. 如图，直线，如果，，那么长______． 14. 已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是___________． 15. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果 ，，，，用、表示_______． 16. 如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________． 17. 如图，在中，， ，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到 内（不包括边），那么的取值范围是_______． 18. 过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中， ，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值以及抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 21. 如图，在中， ， ，，点、在的延长线上，连接、，且． （1）求的值； （2）如果 ，求的长． 22. 如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接 、交于点． （1）求证： ； （2）如果 ，求证：． 23. 根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为 ，手柄与墙的夹角 为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形 是淋浴房的截面图， ， ．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处， ． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是 ，他爸爸和妈妈的身高分别是 和 ．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即 爸爸身高-30）． 素材4 参考数据： ， ， ，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 24. 如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． （1）求的值和点的坐标； （2）点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 25. 如图，在梯形中，，， ，是的中点，、交于点，且 ． （1）求证： ； （2）如果 ，求 的值； （3）如果 ，求的值． 虹口区2024学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习 数学练习卷 （满分150分，时间100分钟）2025.1 注意： 1．本练习含三个大题，共25题： 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】或 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1），直线 （2）1或3 【21题答案】 【答案】（1）； （2）． 【22题答案】 【答案】（1） 证明： （2） 证明： ， ， 【23题答案】 【答案】（1）； （2）①当 时， ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是 ， ∴小明的舒适距离， ∵ ， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ② 【24题答案】 【答案】（1），点； （2）；点． 【25题答案】 【答案】（1）证明：设 ，则 ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $