精品解析：江西省新余市2024-2025学年上学期期末质量监测九年级数学试题

新余市2024-2025学年上学期期末质量监测九年级数学试题 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确的选项） 1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图所示，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC．若△ABC的面积为5，则k的值为( ) A. 5 B. ﹣5 C. 10 D. ﹣10 6. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线顶点坐标是______． 8. 若点与关于原点中心对称，则的值为______． 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球，4个白球，若干个绿球，记下颜色后放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则这个不透明袋中约有绿球______个． 10. 当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是______． 11. 如图，冰激淋蛋桶下部是圆锥形，则蛋桶圆锥形部分包装纸的面积是______． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与关于点成中心对称，若，，，求的长． 14. 如图，有张分别印有版西游图案卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 15. 已知，点A，B，C在上，，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在如图①中画出一个含角的直角三角形； （2）点D在弦上，在如图②中画出一个含的直角三角形． 16. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 17. 如图，在中，是直径，点C 是圆上一点．在的延长线上取一点 D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影分的面积（结果用含π的式子表示）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降元，每月能售出_____个头盔； （2）为“庆元旦”，该经销商决定降价促销，月获利能否达到7000元？请说明理由． 20. 利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知一次函数与反比例函数图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． （1）根据图象直接写出不等式的解集： （2）求反比例函数与一次函数的解析式： （3）若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 22. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余市2024-2025学年上学期期末质量监测九年级数学试题 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确的选项） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A.水涨船高是必然事件，不正确； B.守株待兔是随机事件，正确； C.水中捞月是不可能事件，不正确 D.刻舟求剑是不可能事件，不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【详解】A、是一元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是二元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键． 4. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 5. 如图所示，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC．若△ABC的面积为5，则k的值为( ) A. 5 B. ﹣5 C. 10 D. ﹣10 【答案】D 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，如图， 轴， ， ， 而， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 6. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误； ②把代入中得，所以②正确； ③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确； ④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，，∴， ∵，∴， 把代入中得，所以②正确； ③当时，，∴， ∴， ∵，，， ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 8. 若点与关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的特点，代入求值，乘方运算，掌握关于原点对称点的特点得到的值是解题的关键． 根据关于原点对称的点的特点“关于原点对称点的横、纵坐标均为相反数”得到，则有，代入计算即可求解． 【详解】解：点与关于原点中心对称， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球，4个白球，若干个绿球，记下颜色后放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则这个不透明袋中约有绿球______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，概率公式的计算，分式方程的运用，理解频率估算概率的方法，掌握概率公式的计算，正确列分式方程求解是解题的关键． 根据题意，设有个绿球，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设有个绿球， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴这个不透明袋中约有绿球6个， 故答案为：6 ． 10. 当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式式解题的关键． 根据题意，点在反比例函数图象，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设反比例函数， ∵点反比例函数图象， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， 故答案为：10 ． 11. 如图，冰激淋蛋桶下部是圆锥形，则蛋桶圆锥形部分包装纸的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知数据，圆锥的侧面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴蛋桶圆锥形部分包装纸的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分、、三种情况，分别画出图形、运用垂径定理、切线性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：． ①当时，是等腰三角形，此时； ②如图：当时，是等腰三角形． 此时是的切线，连接交于F． ∴ ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形． 如图：作于H，交⊙O于，作． ∴， 在中，， ∴ ∴（为钝角三角形，不符合题意），； 综上所述，的长为6或或． 故答案为6或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（）利用因式分解的方法解出方程即可； （）由与关于点成中心对称，则，由性质可得，，，然后由勾股定理即可求解； 本题考查了解一元二次方程，中心对称图形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）， 或， ∴，； （）∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， 即． 14. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 15. 已知，点A，B，C在上，，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在如图①中画出一个含角的直角三角形； （2）点D在弦上，在如图②中画出一个含的直角三角形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【解析】 分析】（1）作直径AD，连接AB、BD即可得； （2）延长CD交⊙O于点F，作直径AE，连接AF、EF即可得． 【详解】解：（1）如图1，△ABD即为所求； （2）如图2，△AEF即为所求． 【点睛】本题主要考查作图——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 16. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）见解析 （2），该方程的另一根是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程， 解得， ∴方程为， ， ∴另一根是． ∴，该方程的另一根是． 17. 如图，在中，是直径，点C 是圆上一点．在的延长线上取一点 D，连接，使． （1）求证：直线是切线； （2）若，，求图中阴影分的面积（结果用含π的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，则，通过证明，得出，则，即可求证直线是的切线； （2）易得，则，，进而得出，，根据即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求， ， 点A到经过的路径长． 【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降元，每月能售出_____个头盔； （2）为“庆元旦”，该经销商决定降价促销，月获利能否达到7000元？请说明理由． 【答案】（1）700， （2）月获利不能达到7000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）根据售价每下降5元，其月销售量就增加500个，可得每下降元，月销售量增加个，由此即可求解； （2）根据题意，列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个， ∴，即每下降元，月销售量增加个， ∴月销售量为（个）， ∴售价下降1元，每月能售出个头盔， ∴售价下降元，每月能售出个头盔， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：每个头盔的进价为30元，每个头盔售价为40元时，售价下降元， ∴每个头盔的利润为（元），月销售量为个， ∴，整理得，， ∵， ∴原方程无实数根， ∴月获利不能达到7000元． 20. 利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 【答案】（1）3；（2）所在圆的半径为20米；（3）函数解析式为 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线交点得到圆心，即可求解； （2）根据题意，米，米，，如图所示，连接，设，则（米），在中，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可得，设二次函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，线段垂直平分线交点得到圆心， ∴不在同一条直线上的个点确定一个圆， 故答案为：； （2）根据题意，米，米，， 如图所示，连接， ∴， 设，则（米）， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴所在圆的半径是米； （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴函数解析式为． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，掌握垂径定理，二次函数图象的性质及运用是解题的关键． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． （1）根据图象直接写出不等式的解集： （2）求反比例函数与一次函数的解析式： （3）若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出 函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）找到直线在双曲线上方的自变量的范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出点坐标，分割法求出，根据，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图象可知，的解集为：； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∴； 把两点代入， ，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点P在y轴上， ∴，即：， ∴， ∴或． 22. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 【答案】（1）②③ （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对选项逐个判断即可； （2）①连接，利用旋转的性质得到，即，即可求解；②延长交延长线于点，由推出，等腰三角形的性质得到，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； ②矩形，由矩形的性质可得：，所以 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ③有一个角为直角的任意四边形，如图， 则： 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ④有一个角为60°的菱形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； 故答案为：②③ 【小问2详解】 ①连接，如图： 由旋转的性质可得：，，， ∴为等边三角形，即 由四边形的内角和性质可得： ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴四边形是勾股四边形 ②延长交延长线于点，如图： 由题意可得：， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了勾股定理、旋转性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：； （2）； （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：点，， ，， ， ， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：， 二次函数， 设点，则， ， 当时，的最大值为， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：存在， ， 对称轴为直线， 设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $