精品解析： 广东省惠州五中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省惠州五中教育集团九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 2. 是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：C． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标为． 根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标． 【详解】∵二次函数 ∴该函数图象的顶点坐标为． 故选：A． 4. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 6. 从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式以及有理数的分类，熟记概率公式是解题的关键． 首先找出是负数的个数，根据概率负数个数与个数之比，求解即可． 【详解】解：∵负数有，，共2个， ∴从这4个数中任取一个数，取到负数的的概率是， 故选：A． 7. 如图，是的直径，点A在上． ，，则度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解， 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 9. 如图是反比例函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随的增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，先根据比例函数系数的几何意义得出的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴于， ∵是双曲线图像上的点， ∴， 轴， ∴平行于 ∴， ， 又是的中点， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 12. 在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 【答案】0.75 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 13. 如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 _______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为3：4，， ∴，即， ∴． 故答案为：16． 14. 已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例（）的图像上， ∴，，， ∵， ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意，可知，图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及待定系数法求解析式，对称性求对称轴，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题（本题共3小题，第16题5分，第17、18题8分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 所以，． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F． （1）请在图中画出； （2）求出点B所经过的路径； （3）求扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点E、F，然后描点即可得到； （2）先计算出，再根据点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长进行求解即可； （3）根据题意可得扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，据此列式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，就是所求作的三角形； 小问2详解】 解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 由旋转的性质可得， 由题意得点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长 点所经过的路径长为； 【小问3详解】 解：如图所示，由题意得，扫过的面积即为扇形的面积加上的面积， 由旋转的性质可得的面积等于的面积， ∴扫过的面积． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，求弧长，求扇形面积，旋转的性质等等，解题的关键是明确点B的运动轨迹以及扫过区域． 18. 杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． （1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． （2）若点O位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 【答案】（1）y，； （2）3． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，可以画出图象，设这个反比例函数的表达式为y，又过，进而求出k的值，故可判断得解； （2）依据题意，由当时，y中y随x的增大而减小，故当x的值最大时，y最小，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：如图， 设这个反比例函数的表达式为y， 又过， ∴． ∴反比例函数的解析式为，自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：由题意，∵当时，中y随x的增大而减小． ∴当x的值最大时，y最小． ∴当时．弹簧的示数最小为3． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是相似三角形的判定与性质应用． （1）由，可得出，再结合公共角相等，即可证出； （2）在中，点E为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， 结果变红的概率：； 【小问2详解】 解：将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作，列表如下： 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果， 1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 【点睛】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． 21. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 【答案】（1）是 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，再利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【小问1详解】 解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． 【小问3详解】 解：连接，，作于，作的延长线交于，如下图： ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，构成直角三角形，是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 五、解答题（本题共2小题，每22题13分，每23题14分，共27分） 22. 正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． （1）若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； （2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； （3）如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】（1）或； （2），理由见解析 （3）1． 【解析】 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； 【小问2详解】 ，理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为，再将代入求出a即可； （2）根据题意先求出点O关于直线的对称点E的坐标，再连接，交于点D，此时周长最小,求出值即可； （3）先用待定系数法求出直线的解析式，再根据，再设P点坐标，利用平行等积，将面积转化为的面积，那么与的面积之和等于的面积，即求的面积最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1， ∵点、点、点，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∴， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：连接，如图2， 由得：， ∴， 过点P作轴于点N，交于点M， 则 ， 由点、点坐标可求直线解析式， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 此时P点为． 【点睛】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，将面积转化是解决第三个问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省惠州五中教育集团九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 1 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点A在上． ，，则度数为（　　） A. B. C. D. 8. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 常数 B. 在每个象限内，随增大而增大 C. 若，在图象上，则 D. 若在图象上，则也在图象上 10. 如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成一般形式________． 12. 在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 13. 如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 _______． 14. 已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是______． 15. 我们定义：形如函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 三、解答题（本题共3小题，第16题5分，第17、18题8分，共21分） 16. 解方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F． （1）请在图中画出； （2）求出点B所经过的路径； （3）求扫过面积． 18. 杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． （1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． （2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，点D在边上，且交于点E． （1）求证：； （2）若，E是中点，求的长． 20. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 21. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 五、解答题（本题共2小题，每22题13分，每23题14分，共27分） 22. 正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． （1）若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； （2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； （3）如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$