精品解析：浙江省杭州第十四中学凤起校区2024-2025学年高一上学期期末阶段性测试数学试题

杭十四中二○二四学年第一学期期末阶段性测试 高一年级数学学科试卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间：1月16日8：30—10：30. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！考试结束，只需上交答题卡. 3.本场考试不能使用计算器. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集，并集运算求解即可. 【详解】由题意可知，所以， 所以， 故选：D 2. 函数的最小正周期等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式计算即得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：A 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理对选项逐一验证判断可得结论. 【详解】易知函数在上单调递增， 且,, ,， 即，根据零点存在性定理可得其零点所在的区间为. 故选：C 4. 设a是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解出不等式，再结合充分不必要的条件的判定即可得到答案. 【详解】若，即， 当时，则，则， 当时，则，则， 所以若，则或， 所以前者可以推出后者，但后者无法推出前者， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故选：B 7. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数单调性得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意，若为单调递增，可得，解得； 又为单调递增，所以，解得； 且，解得； 综上可得，，即实数m的取值范围为. 故选：B 8. 已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【详解】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数的零点个数转化为函数与函数交点个数的问题，画出对应图象可实现问题求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】实数，且满足， 选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立， 则有最小值4，B正确； 选项C：， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，C正确； 选项D：由， 当且仅当时等号成立， 所以，即有最大值，D错误. 故选：ABC. 10. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间，上单调递减 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D. 【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的）， 显然，显然不是的周期，A错； 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 所以的图象关于直线对称，B对； 由，， 又在上单调递减，C对； 当，时，， 当，时，， 所以的值域为，D对. 故选：BCD 11. 已知是定义在上奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系. 【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式代入计算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故答案为： 13. 如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上，则矩形CDEF面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简可得，由和三角函数的最值可得． 【详解】解：设，， 则，，，， 所以， 矩形面积 ，， 当即，即为弧的中点时， 取最大值，此时． 故答案为：. 14. 已知函数（），若存在实数a，b，使得在区间上单调且值域是，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得到、，在上单调递减，在上单调递增，结合已知条件，讨论、、、研究值域，并将问题化为是一元二次方程在给定区间上的两个不同根或两个函数在给定区间上的两个不同交点横坐标求参数范围. 【详解】由题设的定义域为，且， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且或4时， 所以， 综上，在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上单调且值域是， 若时，则，则， 解得，不符合； 若时，则，则， 所以是与在区间上的两个不同交点的横坐标， 由，则与在区间上的两个不同交点， 又在上单调递增，在上单调递减， 且，，，要使与在上的两个不同交点， 所以； 若时，则， 则， 解得，故， 所以是，即的两个不同根， 在区间上函数有两个不同零点， 首先，可得， 所以或， 又， 所以； 若时，，则， 所以是与在区间上的两个不同交点的横坐标， 由，则与在区间上的两个不同交点， 又在区间上单调递减，故与不可能有两个交点，不符合； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并将问题化为是一元二次方程在给定区间上的两个不同根为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，： （2）若，求m的取值范围. 【答案】（1）；或； （2） 【解析】 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 小问1详解】 当时，可得，或； 又，所以； 或； 【小问2详解】 由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 16. 已知函数 (1) 求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合； (2) 若，求函数的单调递增区间． 【答案】（1）函数最小值是0，此时的取值集合为；（2）和 【解析】 【分析】 （1）由题可整理,由于,则最小值为0,此时,进而求解即可； （2）先令,可得,因为,对赋值即可求解 【详解】(1) 因为 因为, 所以, 此时,则时,即 (2)由（1）,令,则, 当时,,当时,, 所以当时,单调增区间为和 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简,考查正弦型函数的最值,考查正弦型函数的单调区间 17. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】（1）； （2）售价为9元时，利润最大为9万元 【解析】 【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式； （2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 ，因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元. 18. 已知定义在上的函数为偶函数且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用偶函数的性质求参数，即可得解析式； （2）根据对数函数性质直接判断单调性，利用单调性及换元法有在上恒成立，即求参数范围； （3）问题化为，上，应用分类讨论求参数范围. 【小问1详解】 由题意，则， 所以恒成立，故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 又在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，即恒成立， 所以，令，即在上恒成立， 所以，可得. 【小问3详解】 上，， 又对任意的，存在，使得， 只需， 对于，函数图象开口向上且对称轴， 当时，上，得，则； 当时，上恒成立，则； 当时，上，得，则； 综上. 19. 设a为常数，函数. （1）当时，求的值域； （2）讨论在区间上的零点的个数； （3）设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）1350 【解析】 【分析】（1）对函数化简得，然后利用换元法得到，，从而求解； （2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解； （3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值. 【小问1详解】 由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以， 故的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； 【小问3详解】 由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当时，则，.，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当时，则，，在（正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 综上的所有可能值为1350. 【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得且得存在两个零点，通过对的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由来确定在上的可能的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭十四中二○二四学年第一学期期末阶段性测试 高一年级数学学科试卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间：1月16日8：30—10：30. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！考试结束，只需上交答题卡. 3.本场考试不能使用计算器. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设a是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 10. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间，上单调递减 D. 的值域为 11. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________. 13. 如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上，则矩形CDEF面积的最大值为__________. 14. 已知函数（），若存在实数a，b，使得在区间上单调且值域是，则实数m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，： （2）若，求m的取值范围. 16 已知函数 (1) 求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合； (2) 若，求函数的单调递增区间． 17. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 18. 已知定义在上的函数为偶函数且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 19. 设a常数，函数. （1）当时，求的值域； （2）讨论在区间上的零点的个数； （3）设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$