精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

上海中学2024-2025上高一数学期末试卷（定稿） 一． 填空题 1. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 要求对数函数的定义域，须保证对数函数的真数大于0，即可. 【详解】由题意知：， ∴x<5， 所以原函数的定义域为：， 故答案为： . 【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于0列不等式求解即可，属于基础题. 2. 已知，试用表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数运算性质，，代入求解即可. 【详解】由， ∵， ∴， ∴=， 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算性质，主要考查计算能力和对数运算性质的灵活应用，属于基础题. 3. 函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值． 【详解】解：函数 ． 当且仅当，即有，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题． 4. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用数轴穿根法解分式不等式，不等式首先进行移项再通分变形为分式不等式的标准形式，然后转化为整式不等式进行求解，两不等式的解集取交集即为所求. 【详解】， 根据数轴穿根法可解得或， ，解得或或， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】分式不等式的解法：（1）标准化：移项通分化为（或）；（或）的形式； （2）转化为整式不等式（组）；. 5. 若函数的对称中心是则_______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值. 【详解】因为函数的对称中心是， 所以. 即. 整理得：， 所以，所以. 故答案为：1 6. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质与对数的运算性质求解， 【详解】由是定义在上的奇函数，故，得， 而，则， 故答案为： 8. 若集合是的子集，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求得集合，再分集合和两种情况求得的取值范围． 【详解】由，即. 若，则，此时是的子集； 若，由得：. 综上可得：及的取值范围是. 故答案为： 9. 已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减， 所以为负奇数， 因为， 所以， 故答案为： 10. 设函数，给出下列命题： ①，时，方程只有一个实数根； ②时，的图象关于原点对称； ③方程至多有两个实根； ④的图象关于点对称． 上述四个命题中所有的正确命题的序号为_______ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，以及函数的奇偶性，利用函数的有关性质及图象平移逐一判断． 【详解】对①：因为函数，在上单调递增，且当时，，而，时，函数相当于将函数向上平移了个单位，所以方程只有一个实数根.故①正确； 对②：当时，，所以， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确； 对③：当，时，由或或，方程可以有3个根，故③错误； 对④：当时，函数为奇函数，图象关于原点对称，将其图象向上（）或向下（）平移个单位，可得的图象，其图象关于点对称.故④正确. 故答案为：①②④ 11. 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【详解】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有． 【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． 12. 已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：若对任意的，均有，则 （1）当时,当时，，当时， 当时， 故在上取得， ,（当且仅当时，等号成立）； 故； 当时，； 当时，;故可化为； （2）当或时，讨论可得 故答案为 考点：分段函数，函数性质的综合应用 二． 选择题 13. 若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙； 当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题. 14. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又， 所以，所以：. 故选：C 15. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“换元法”把问题转化成二次函数在某区间有解的问题求解. 【详解】设，则，. 所以关于的方程有实数根，变成关于的方程在上有解. 设，，因为二次函数的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减. 所以关于的方程在上有解. 故选：D 16. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是 A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确； 取，，均不是增函数， 而，，均为增函数，因此命题①是假命题；选D. 【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性 【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等. 三． 解答题 17. 已知集合 集合 （1）求集合； （2）若 ，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求集合. （2）根据，确定集合的形式，求参数的取值范围. 【小问1详解】 由， 所以. 【小问2详解】 因为. 当即时，得或，即，此时不能成立； 当即时，得或，即，此时. 故. 所以实数的取值范围为. 18. 已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担， （1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系： （2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少? 【答案】（1），；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元. 【解析】 【分析】 （1）依题意设车速为，即可得到函数解析式； （2）利用基本不等式求最值，即可得解． 【详解】解：（1）设车速为，则时间为， 依题意可得，； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 19. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1）在上是增函数，证明见解析； （2）因为， 所以当时，恒成立，即恒成立，此时为奇函数； 因为， 所以当时，，即恒成立，此时为偶函数； 当且时，为非奇非偶函数． 【解析】 【分析】（1）在上为增函数，按照取值、作差、变形、判号、下结论这5个步骤证明即可得解； （2）利用奇偶函数的定义讨论可得答案. 【详解】（1）当时，在上是增函数， 证明：任取，则， 因为，所以，即，所以，即， 所以在上是增函数. （2）略 【点睛】关键点点睛：掌握函数单调性与奇偶性的定义是解题关键. 20. 已知函数的定义域为，值域为，即若则称在上封闭． （1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由； （2）函数的定义域为且存在反函数若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围． 【答案】（1）不封闭，封闭，理由见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）分析两个函数的单调性，求出它们的值域，根据“封闭”的概念进行判断. （2）先根据题意确定，转化成二次函数在给定区间的零点个数问题求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为和在均为增函数， 所以在上单调递增，且，即， 因为不是的子集，所以函数在不封闭. 对，. 设，则. 因为，所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以，因为， 所以在上封闭. 【小问2详解】 因为函数在区间上封闭，所以； 又因为函数在区间上封闭，所以. 所以. 因为函数在区间上单调递增，所以， 即关于的方程在上有两个不同的解. 令（），则. 所以在上有两个不同的解. 所以 【点睛】关键点点睛：弄清楚两个函数互为反函数时，它们的定义域和值域的关系是解决第二问的关键. 21. 已知函数对一切实数都有成立，且． （1）求的值和的解析式； （2）将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围； （3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令得，再令可得答案； （2），由已知得且，得，设，利用单调性定义可得在上单调递减，再利用单调性求范围即可； （3），令，画出的图象，由得（*），记方程（*）的根为、，当或时原方程有三个不同的实数解，结合图象和二次函数的根的分布可得答案. 【小问1详解】 令，则，得， 再令，则，得； 【小问2详解】 ，由及，得且， 所以，设，令，则， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 所以； 【小问3详解】 ，令，且，则的图象如下， 则由，得（*）， 记方程（*）的根为、，当或时，原方程有三个不同的实数解，如上图， 记，所以 或，解得或， 所以时满足题设． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2024-2025上高一数学期末试卷（定稿） 一． 填空题 1. 函数的定义域为__________． 2. 已知，试用表示__________． 3. 函数的最小值是______． 4. 不等式的解集为________． 5. 若函数的对称中心是则_______ 6. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 _______. 8. 若集合是的子集，则的取值范围是_______ 9. 已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则________． 10. 设函数，给出下列命题： ①，时，方程只有一个实数根； ②时，的图象关于原点对称； ③方程至多有两个实根； ④的图象关于点对称． 上述四个命题中所有的正确命题的序号为_______ 11. 已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____. 12. 已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是 ． 二． 选择题 13. 若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 14. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 15. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是 A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三． 解答题 17. 已知集合 集合 （1）求集合； （2）若 ，求实数的取值范围． 18. 已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担， （1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系： （2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少? 19. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 20. 已知函数的定义域为，值域为，即若则称在上封闭． （1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由； （2）函数的定义域为且存在反函数若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围． 21. 已知函数对一切实数都有成立，且． （1）求的值和的解析式； （2）将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围； （3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $