江苏省常州市溧阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B B C D A 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．（2分）若锐角α＝30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【解答】解：若锐角α＝30°， 则cosα＝， 故选：B． 2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 【答案】C 【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 3．（2分）已知一组数据：2，3，4，6，6，6，6，则这组数据的众数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据众数的概念求解． 【解答】解：数据6出现了4次，最多， 所以众数为6， 故选：D． 4．（2分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，连接OB，OD，则∠BOD的度数是（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理求出∠BOD． 【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝180°﹣120°＝60°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：B． 5．（2分）衣柜中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及它们取自同一套的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：记3件衣服分别为A，B，C，3条裤子分别为a，b，c，其中A与a为一套，B与b为一套，C与c为一套． 列表如下： a b c A （A，a） （A，b） （A，c） B （B，a） （B，b） （B，c） C （C，a） （C，b） （C，c） 共有9种等可能的结果，其中它们取自同一套的结果有：（A，a），（B，b），（C，c），共3种， ∴它们取自同一套的概率为． 故选：B． 6．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2BC，那么sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得到AB与BC之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2BC， ∴AB＝＝BC， 则sinA＝＝， 故选：C． 7．（2分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（　　） A．当x＜0，y随x的增大而增大 B．图象与x轴只有一个交点 C．图象的顶点坐标为（1，3） D．当x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】先利用配方法得到y＝﹣2（x+1）2+3，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），则可对各选项进行判断． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），所以C选项不符合题意； ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，所以A选项不符合题意，D选项符合题意； 当y＝0时，﹣2x2﹣4x+1＝0， ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，3）， ∴抛物线与x轴有2个交点，所以B选项不符合题意． 故选：D． 8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＜﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴a＜0，c＞0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2， ∴＝2， ∴b＝﹣4a， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（5，0）， ∴ax2+bx+c可因式分解为a（x+1）（x﹣5）， 故结论③错误，不符合题意； ∵ax2+bx+c可因式分解为a（x+1）（x﹣5）， ∴方程ax2+bx+c＝m可化为a（x+1）（x﹣5）＝m， ∴a（x2﹣4x﹣5）＝m， 即ax2﹣4ax﹣5a﹣m＝0无实数根， ∴（﹣4a）2﹣4a（﹣5a﹣m）＜0， ∴16a2+20a2+4am＜0， ∴4am＜﹣36a2， ∵a＜0， ∴m＞﹣9a， 故结论④错误，不符合题意， ∴正确的结论为②， 故选：A． 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．（2分）若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　45°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可． 【解答】解：∵∠A为锐角，且tanA＝1，tan45°＝1， ∴∠A＝45°． 故答案为：45°． 10．（2分）若抛物线y＝x2﹣10x+k的图象与x轴有且只有一个交点，k＝ 　25　． 【答案】25． 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，方程x2﹣10x+k＝0有两个相等的实数解，则根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣10x+k的图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣10x+k＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝（﹣10）2﹣4k＝0， 解得k＝25． 故答案为：25． 11．（2分）已知一组数据：1，3，4，x，7，这组数据的平均数与中位数相等，则x＝　0或5或　． 【答案】0或5或． 【分析】根据这组数据的中位数和平均数相等，求出x的值即可． 【解答】解：根据题意知新数据的平均数为＝， 若中位数为3，则＝3，解得x＝0； 若中位数为4，则＝4，解得x＝5； 若中位数为x，则＝x，解得：x＝． 故答案为：0或5或． 12．（2分）若一组数据1，2，a，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是　2　． 【答案】2． 【分析】先运用平均数的计算公式＝（x1+x2+…+xn），结合这组数据的平均数是3，可求出a的值；再运用方差的计算公式：s2＝[（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+...+（x﹣xn）2]，代入相关数据计算即可． 【解答】解：∵数据1、2、a、3、4的平均数是3， ∴×（1+2+a+3+4）＝3， 解得a＝5， ∴这组数据的方差为：×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝2． 故答案为：2． 13．（2分）若将一个半径为5，表面积为15π的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】应先求得扇形的弧长，进而除以2π求得围成圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【解答】解：∵是半径为5，表面积为15π的扇形， ∴弧长l＝2×15π÷5＝6π， ∴圆锥的底面半径为：6π÷2π＝3， ∴圆锥的高＝＝4． 14．（2分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2）（﹣4，y3）在二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y1＜y3　．（用“＜”连接） 【答案】y2＜y1＜y3． 【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性求得即可． 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴二次函数y＝x2+4x﹣5的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣2， ∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∵点（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1），﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 15．（2分）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为 　　米． 【答案】． 【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值． 【解答】解：设CD＝x米， 在Rt△ACD中，tanα＝， ∴AD＝， 在Rt△BCD中，tanβ＝， ∴BD＝， ∵AD﹣BD＝100， ∴﹣＝100， 解得x＝， 故答案为：． 16．（2分）已知a和b是方程x2+2025x﹣4＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为　2029　． 【答案】2029． 【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得a2+2025a＝4，a+b＝﹣2025，再代值求解即可． 【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝4，a+b＝﹣2025， ∴a2+2025a＝4， ∴a2+2024a﹣b ＝a2+2025a﹣（a+b） ＝4﹣（﹣2025） ＝4+2025 ＝2029， 故答案为：2029． 17．（2分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　　．#ZZ01A 【答案】． 【分析】先作AE∥CD交DE于点E，连接BE，然后根据平行线的性质可以得到∠APC＝∠BAE，再根据勾股定理可以得到AE、BE和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△AEB的形状，即可求得tan∠BAE的值，从而可以得到tan∠APC的值． 【解答】解：作AE∥CD交DE于点E，连接BE，如图所示， ∵CD∥AE， ∴∠APC＝∠BAE， 设每个小正方形的边长为a， 由图可知：BE＝＝a， AE＝＝2a， AB＝＝5a， ∴BE2+AE2＝AB2， ∴△AEB是直角三角形， ∴tan∠BAE＝＝＝， ∴tan∠APC＝， 故答案为：． 18．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，交x轴于点A、B两点，若该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，则m的取值范围是 　3≤m≤7　． 【答案】3≤m≤7． 【分析】先利用交点式写出抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5，再利用配方法得到y＝x﹣3）2﹣4，则当x＝3时，y有最小值为﹣4，再解方程x2﹣6x+5＝12得x1＝﹣1，x2＝7，即自变量为﹣1或7时，函数值为12，然后利用该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，从而确定3≤m≤7． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5， ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴当x＝3时，y有最小值为﹣4， 当y＝12时，x2﹣6x+5＝12， 解得x1＝﹣1，x2＝7， ∵该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12， ∴3≤m≤7． 故答案为：3≤m≤7． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（15分）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣21＝0； （2）x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0； （3）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣3； （2）x1＝4，x2＝﹣2； （3）x1＝，x2＝1． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣7）（x+3）＝0， x﹣7＝0或x+3＝0， 所以x1＝7，x2＝﹣3； （2）（x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣2； （3）方程化为一般式为2x2﹣5x+3＝0， （2x﹣3）（x﹣1）＝0， 2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝，x2＝1． 20．（10分）计算： （1）2sin245°+2cos60°； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2×（）2+2× ＝2×+2× ＝1+1 ＝2； （2）原式＝ ＝ ＝． 21．（8分）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当点A坐标为（﹣1，0）时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图象与直线y＝x+1的交点坐标． 【答案】（1）x＝1； （2）①y＝x2﹣2x﹣3； ②（﹣1，0），（4，5）． 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求解； （2）①把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中求出a，从而得到二次函数解析式； ②通过解方程组得两函数图象的交点坐标． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象得对称轴为直线x＝﹣＝1； （2）①把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0， 解得a＝1， ∴此时二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； ②解方程组得或， ∴此时函数图象与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0），（4，5）． 22．（6分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）在网格中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且； （2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使，连接CD，直接写出线段CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，CD＝3． 【分析】（1）构造一个直角边分别为2，3的直角三角形即可； （2）构造一个直角边分别为，3的直角三角形DEF，且满足∠DBC＝45°即可． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求； （3）如图，即为所求，CD＝＝3． 23．（5分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝12，点P是⊙O上异于A，B的任一点，连接PA，PB，过点A作射线AQ⊥PA，点Q是射线AQ上一点，连接PQ，OQ，当点P在⊙O上运动时，始终保持． （1）当PQ与⊙O相切时，求OQ的长度； （2）当PQ∥AB时，求cos∠PQO的值． 【答案】（1）OQ的长度是8； （2）cos∠PQO的值为． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AB＝12，得OP＝OA＝AB＝6，由AQ⊥PA，tan∠QPA＝，得∠PAQ＝90°，∠APQ＝30°，连接OP，由切线的性质得∠OPQ＝90°，则∠OPA＝60°，所以△POA是等边三角形，则PA＝OA＝6，由＝＝cos30°＝，求得PQ＝4，所以OQ＝＝8； （2）连接OP，则OP＝OB＝OA，由PQ∥AB，∠OPA＝∠BAP＝∠APQ＝30°，则∠OPQ＝60°，∠BOP＝2∠BAP＝60°，所以△BOP是等边三角形，则PB＝OP＝OA，再证明四边形ABPQ是平行四边形，则PB＝AQ，所以OA＝AQ，由∠OAQ＝120°，得∠PQO＝∠AOQ＝∠AQO＝30°，cos∠PQO＝． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AB＝12， ∴OP＝OA＝AB＝6， ∵AQ⊥PA，tan∠QPA＝， ∴∠PAQ＝90°，∠APQ＝30°， 如图1，连接OP， ∵PQ与⊙O相切， ∴PQ⊥OP， ∴∠OPQ＝90°， ∴∠OPA＝∠OPQ﹣∠APQ＝60°， ∴△POA是等边三角形， ∴PA＝OA＝6， ∵＝＝cos30°＝， ∴PQ＝4， ∴OQ＝＝＝8， ∴OQ的长度是8． （2）如图2，连接OP，则OP＝OB＝OA， ∵PQ∥AB， ∴∠OPA＝∠BAP＝∠APQ＝30°， ∴∠OPQ＝∠APQ+∠OPQ＝60°，∠BOP＝2∠BAP＝60°， ∴△BOP是等边三角形， ∴PB＝OP＝OA， ∵∠APB＝∠PAQ＝90°， ∴PB∥AQ， ∴四边形ABPQ是平行四边形， ∴PB＝AQ， ∴OA＝AQ， ∵∠OAQ＝∠BAP+∠PAQ＝120°， ∴∠PQO＝∠AOQ＝∠AQO＝×（180°﹣120°）＝30°， ∴cos∠PQO＝cos30°＝， ∴cos∠PQO的值为． 24．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝（售价﹣进价）×售出件数） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题中等量关系为：利润＝（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值． 【解答】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元， 根据题意，得：（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]＝140， 解得：x1＝12、x2＝10， 答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元． （2）根据题意，得：y＝（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]＝﹣4x2+88x﹣340＝﹣4（x﹣11）2+144， 故当x＝11时，y最大＝144， 答：售价为11元时，利润最大，最大利润为144元． 25．（8分）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝ 　　，tan30°＝ 　　； 发现结论：tanα 　≠　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么＝ 　　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 【答案】（1）；；≠； （2）； （3）6． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可得出答案，根据tan60°≠2tan30°即可得出答案； （2）延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，则∠D＝1/2∠ABC，先求出BD＝AB＝5，则CD＝BC+BD＝9，然后在Rt△ACD中，根据正切函数的定义tanD＝＝，由此可得的值； （3）过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE，则CE＝CB，再证明∠A＝∠ECA得AE＝CE，在Rt△ACD中，tanA＝＝，可设CD＝a，AD＝3a，则DE＝3a﹣AE，DE＝DB＝3a﹣AE，AB＝6a﹣AE＝，由此得AE＝CE＝，DE＝，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出，然后根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）根据特殊角的三角函数值得：tan60°＝，tan30°＝， ∵tan60°≠2tan30°， ∴； 故答案为：；；≠； （2）延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，如图1所示： ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D， ∴∠D＝∠ABC， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝√＝5， ∴BD＝AB＝5， ∴CD＝BC+BD＝4+5＝9， 在Rt△ACD中，tanD＝＝＝， ∴， 故答案为：； （3）过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE，如图2所示： ∴CD是线段BE的垂直平分线， ∴CE＝CB， ∴∠B＝∠CED， ∵∠CED＝∠A+∠ECA，∠B＝2∠A， ∴2∠A＝∠A+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA， ∴AE＝CE， 在Rt△ACD中，tanA＝＝， ∴设CD＝a，AD＝3a， ∴DE＝AD﹣AE＝3a﹣AE， ∴DE＝DB＝3a﹣AE， ∴AB＝AE+DE+BE＝AE+3a﹣AE+3a﹣AE＝6a﹣AE， ∵AB＝， ∴， ∴AE＝CE＝， ∴DE＝3a﹣AE＝＝， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+DE2， ∴， 整理得：， 解得：，a＝0（不合题意，舍去）， ∴CD＝， ∴S△ABC＝AB•CD＝＝6． 26．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0）两点． （1）求出该二次函数的表达式和顶点A的坐标； （2）如图2，若将（1）中的二次函数顶点沿直线y＝x+1平移，移动后的抛物线的顶点为P，与y的交点为Q，当时，直接写出此时的函数表达式． 【答案】（1），顶点A的坐标为（1，2）； （2）或． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式，再求出顶点坐标； （2）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）将B（﹣1，0），C（3，0）代入， 得：， ∴， ∴， ∵＝， ∴顶点A的坐标为（1，2）； （2）①当点P在第一象限时， 设点P（m，m+1），过点P作PM⊥x轴于点M，PQ交x轴于点H， ∵∠QOH＝∠PMH＝90°，∠OHQ＝∠MHP， ∴∠OQP＝∠MPH， ∴tan∠MPH＝tan∠OQP＝， ∵P（m，m+1）， ∴函数解析式为：， 当x＝0时，， ∴Q（0，）， ∴PM＝m+1，OQ＝， ∴HM＝+，OH＝， ∴OM＝OH+HM＝＝， ∴m＝4或m＝0（舍去）， ∴； ②当点P在第三象限时， 设P（n，n+1），过点P作PN⊥y轴于点N， ∴， ∴Q（0，）， ∴PN＝﹣n，QN＝OQ﹣ON＝， ∵tan∠OQP＝， ∴， ∴， ∴n＝﹣4或n＝0（舍去）， ∴＝； 综上所述：当时，或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．（2分）若锐角α＝30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D．1 2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 3．（2分）已知一组数据：2，3，4，6，6，6，6，则这组数据的众数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，连接OB，OD，则∠BOD的度数是（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 5．（2分）衣柜中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2BC，那么sinA的值是（　　） A． B． C． D． 7．（2分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（　　） A．当x＜0，y随x的增大而增大 B．图象与x轴只有一个交点 C．图象的顶点坐标为（1，3） D．当x＞0时，y随x的增大而减小 8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＜﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．（2分）若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为　 　． 10．（2分）若抛物线y＝x2﹣10x+k的图象与x轴有且只有一个交点，k＝ 　 　． 11．（2分）已知一组数据：1，3，4，x，7，这组数据的平均数与中位数相等，则x＝　 　． 12．（2分）若一组数据1，2，a，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是　 　． 13．（2分）若将一个半径为5，表面积为15π的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为　 　． 14．（2分）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2）（﹣4，y3）在二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．（用“＜”连接） 15．（2分）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为 　 　米． 16．（2分）已知a和b是方程x2+2025x﹣4＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为　 　． 17．（2分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为 　 　．#ZZ01A 18．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，交x轴于点A、B两点，若该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，则m的取值范围是 　 　． 三、解答题：（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（15分）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣21＝0； （2）x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0； （3）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 20．（10分）计算： （1）2sin245°+2cos60°； （2）． 21．（8分）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A． （1）求二次函数的对称轴； （2）当点A坐标为（﹣1，0）时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图象与直线y＝x+1的交点坐标． 22．（6分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）在网格中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且； （2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使，连接CD，直接写出线段CD的长． 23．（5分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝12，点P是⊙O上异于A，B的任一点，连接PA，PB，过点A作射线AQ⊥PA，点Q是射线AQ上一点，连接PQ，OQ，当点P在⊙O上运动时，始终保持． （1）当PQ与⊙O相切时，求OQ的长度； （2）当PQ∥AB时，求cos∠PQO的值． 24．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝（售价﹣进价）×售出件数） 25．（8分）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝ 　 　，tan30°＝ 　 　； 发现结论：tanα 　 　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么＝ 　 　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 26．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0）两点． （1）求出该二次函数的表达式和顶点A的坐标； （2）如图2，若将（1）中的二次函数顶点沿直线y＝x+1平移，移动后的抛物线的顶点为P，与y的交点为Q，当时，直接写出此时的函数表达式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$