第6讲 一元二次方程及其应用（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 一元二次方程及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式； 2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程； 3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系； 4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1一元二次方程的相关概念 ☆ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 考点2一元二次方程的解法 ☆☆ 考点3一元二次方程的根与系数的关系 ☆ 考点4 一元二次方程的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元二次方程的定义： 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 2．一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解． (3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 3．一元二次方程根与系数的关系： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根． ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根． ③当Δ＜0时，方程没有实数根． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 4．一元二次方程的实际应用： 常见的等量问题： (1)平均增长率(下降率)问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b． (2)利润问题： 利润＝售价－成本，利润率＝×100%， 销售价＝(1＋利润率)×进货价． (3)利息问题： 利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息． (4)面积问题： 如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积． 设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)． ( 深度讲练 ) ■考点一　一元二次方程的有关概念► ◇典例1：（2024•历城区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2022的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把2a2﹣4a+2023表示为2（a2﹣2a）+2022，然后整体代入计算即可得到答案． 【解析】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴2a2﹣4a+2022＝2（a2﹣2a）+2022＝2×1+2022＝2024， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算． 【变式训练】 1．（2024•林州市模拟）下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．+2x＝5 C．2x2+3x＝2（x﹣2）2+1 D．ax2+2x+1＝0（a为常数） 【思路点拨】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答． 【解析】解：A、x2+1＝0，是一元二次方程，故A符合题意； B、+2x＝5，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、2x2+3x＝2（x﹣2）2+1，整理得：11x﹣9＝0，是一元一次方程，故C不符合题意； D、ax2+2x+1＝0（a为常数，a≠0），是一元二次方程，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　3　． 【思路点拨】将x＝1代入一元二次方程，求出a的值即可． 【解析】解：由题知， 将x＝1代入一元二次方程得， 1﹣4+a＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 3．（2024•凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【思路点拨】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ■考点二 一元二次方程的解法► ◇典例2：（2025•大渡口区模拟）解下列方程 （1）（x+3）2﹣9＝0； （2）x2+2x﹣3＝0． 【思路点拨】（1）利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解析】解：（1）（x+3+3）（x+3﹣3）＝0， （x+6）x＝0， x+6＝0或x＝0， ∴x1＝﹣6，x2＝0； （2）（x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式训练】 1．（2024•海东市一模）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 【思路点拨】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解析】解：∵x2+8x+7＝0， ∴x2+8x＝﹣7， ⇒x2+8x+16＝﹣7+16， ∴（x+4）2＝9． ∴故选：A． 【点睛】此题考查配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【思路点拨】解方程求得x的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【解析】解：x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用． 3．（2024•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0． 【思路点拨】利用因式分解法求解可得． 【解析】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． ■考点三 一元二次方程根的判别式► ◇典例3：（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可列出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0， ∴k≤﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2024•长沙县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　m＞4　． 【思路点拨】根据根的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：Δ＜0， ∴16﹣4m＜0， ∴m＞4 故答案为：m＞4 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 3．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解析】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k≤． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． ■考点四 一元二次方程根与系数的关系► ◇典例4：（2024•眉山）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 【思路点拨】根据根与系数的关系求出x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，再把要求的式子进行通分，然后代值计算，即可得出答案． 【解析】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， ∴＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 【变式训练】 1．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　4　． 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解析】解：令方程的另一个根为m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝2， 解得m＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．（2024•肇源县二模）m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，再由根与系数的关系得到mn＝2024，进而得到m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，据此代值计算即可． 【解析】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根， ∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024， ∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024， ∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024） ＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024） ＝mn ＝2024， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握相关知识． 3．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值． 【思路点拨】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【解析】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵+﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． ■考点五　 一元二次方程的应用► ◇典例5：1．（2024•云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 【思路点拨】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024•凉州区三模）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【思路点拨】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，然后根据底面积是264cm2即可列出方程求出即可． 【解析】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 （30﹣2x）（20﹣2x）＝264． 整理，得 x2﹣25x+84＝0． 解方程，得 x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 【变式训练】 1．（2024•呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•＝864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 【思路点拨】根据长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据面积得出x（60﹣x）＝864． 【解析】解：若设长为x步，则宽为（60﹣x）步， ∴x（60﹣x）＝864， 故选：C． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　10%　． 【思路点拨】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024•肥东县模拟）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个．为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． 【思路点拨】设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（700﹣10y）个，利用月销售利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【解析】解：设该品牌头盔的售价定为每个y元，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）（个）， 根据题意得：（y﹣30）（700﹣10y）＝3960， 整理得：y2﹣100y+2496＝0， 解得：y1＝48，y2＝52， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝48． 答：该品牌头盔的售价应定为每个48元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•贵州）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【思路点拨】直接提取公因式x，进而分解因式解方程即可． 【解析】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝0． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 2．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【思路点拨】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【解析】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 3．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【思路点拨】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【解析】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0． 4．（2024•内江）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 【思路点拨】由某市2021年底森林覆盖率为64%，2023年底森林覆盖率已达到69%即可列出方程． 【解析】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.69， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 5．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【思路点拨】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【解析】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用． 6．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 【思路点拨】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 【思路点拨】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案． 【解析】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a＝+1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 8．（2024•垦利区模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝　2　． 【思路点拨】根据根与系数的关系得：x2+1＝3，求出即可． 【解析】解：则根据根与系数的关系得： x1+x2 ＝1+x2 ＝ ＝3， 解得：x2＝2， 即方程的另一个根为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，． 9．（2025•深圳模拟）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　2028　． 【思路点拨】将x＝a代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【解析】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则a2+2a+2025＝3+2025＝2028． 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 10．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　． 【思路点拨】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【解析】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　16　． 【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝﹣2，化简所求代数式，代入即可得到结果． 【解析】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b， ∴a+b＝﹣2， ∴4a2+8ab+4b2 ＝4（a2+2ab+b2） ＝4（a+b）2 ＝4×（﹣2）2 ＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【思路点拨】（1）利用因式分解法即可求出方程的解； （2）根据勾股定理分类讨论即可求出答案． 【解析】解：（1）x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边＝＝2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边＝＝， ∴第三边的长为2或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键． 13．（2024•仁怀市模拟）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【思路点拨】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【解析】解：（1）设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2， 解得：x＝﹣，a＝， 即a＝，方程的另一个根为﹣； （2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，要记牢公式，灵活运用． 14．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　p　，x1x2＝ 　1　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 【思路点拨】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【解析】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴+＝＝＝p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键． 15．（2024•河口区校级模拟）用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为x m． （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为78m2时，求x的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，花园面积能否为110m2？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）设平行于墙的一边DE的长为x m，则CD的长为m，利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于8的值即可得出结论； （2）设BF的长为y，利用矩形的面积公式即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结论． 【解析】解：（1）由题意得：； 解得：x1＝6，x2＝26， ∵26＞8， ∴x＝26舍去， ∴x＝6m； 答：x的值为6m； （2）设BF＝y m；则； 整理得，y2﹣4y+14＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×14＝16﹣56＜0， ∴原方程无实数根， 即花园面积不能为110m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 16．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【思路点拨】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解析】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵240000÷1600＝150（套）， ∴m＞100， 由题意得：m（1600﹣×40）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300， 当m＝200时，1600﹣×40＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意； 当m＝300时，1600﹣×40＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 一元二次方程及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式； 2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程； 3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系； 4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1一元二次方程的相关概念 ☆ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 考点2一元二次方程的解法 ☆☆ 考点3一元二次方程的根与系数的关系 ☆ 考点4 一元二次方程的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元二次方程的定义： 两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 2．一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有 ， ， ， 四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为 ；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 ；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用 求出方程的解． (3)公式法：求根公式 (其中 )． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为 ；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 3．一元二次方程根与系数的关系： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程 实数根． ②当Δ＝0时，方程 实数根． ③当Δ＜0时，方程 实数根． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 4．一元二次方程的实际应用： 常见的等量问题： (1)平均增长率(下降率)问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为 ． (2)利润问题： 利润＝售价－ ，利润率＝ ， 销售价＝(1＋ )×进货价． (3)利息问题： 利息＝本金× ×时间，本息和＝ ＋利息． (4)面积问题： 如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积． 设通道的宽为x，则S空白＝ ． ( 深度讲练 ) ■考点一　一元二次方程的有关概念► ◇典例1：（2024•历城区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2022的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式训练】 1．（2024•林州市模拟）下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．+2x＝5 C．2x2+3x＝2（x﹣2）2+1 D．ax2+2x+1＝0（a为常数） 2．（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　　． 3．（2024•凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． ■考点二 一元二次方程的解法► ◇典例2：（2025•大渡口区模拟）解下列方程 （1）（x+3）2﹣9＝0； （2）x2+2x﹣3＝0． 【变式训练】 1．（2024•海东市一模）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 2．（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 3．（2024•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0． ■考点三 一元二次方程根的判别式► ◇典例3：（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 2．（2024•长沙县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　　． 3．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． ■考点四 一元二次方程根与系数的关系► ◇典例4：（2024•眉山）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 【变式训练】 1．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　　． 2．（2024•肇源县二模）m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值． ■考点五　 一元二次方程的应用► ◇典例5：1．（2024•云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 2．（2024•凉州区三模）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【变式训练】 1．（2024•呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•＝864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 2．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 3．（2024•肥东县模拟）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个．为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． ( 真题演练 ) 1．（2024•贵州）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 2．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 3．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 4．（2024•内江）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 5．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 7．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 8．（2024•垦利区模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝　　． 9．（2025•深圳模拟）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　　． 10．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　　． 11．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　　． 12．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 13．（2024•仁怀市模拟）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 14．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　　，x1x2＝ 　　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 15．（2024•河口区校级模拟）用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为x m． （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为78m2时，求x的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，花园面积能否为110m2？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由． 16．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$