第5讲 一次方程（组）及其应用（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等式变形。 2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意义。 3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 等式的基本性质 ☆ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 考点2一次方程（组）的概念 ☆ 考点3一次方程（组）的解法 ☆☆ 考点4一次方程（组）的应用 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一次方程（组）的相关概念： (1)方程是指含有未知数的 ． (2)只含有 未知数，并且未知数的指数是 ，这样的方程叫做一元一次方程． （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有 的方程组，叫做二元一次方程组． (5)方程的解： 使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解． 2.等式的性质： （1）等式的两边都加上(或减去) ，所得结果仍是等式； （2）等式的两边都乘或都除以 ，所得结果仍是等式． 3．解一元一次方程的步骤： (1) ：在方程两边都乘各分母的 ，注意不要漏乘． (2) ：注意括号前的系数与符号． (3) ：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要 ． (4) ：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 4.解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程组的基本思想是消元，有 消元法与 消元法，还有一种常用的解法是换元法． (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解. （2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解. 5．一次方程（组）的应用： 列方程组解应用题的步骤：① ；② ；③找出能够包含未知数的 ；④列出 ；⑤ ；⑥ ． ( 深度讲练 ) ■考点一　等式的基本性质► ◇典例1：（2024•沂源县一模）下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则＝ 【变式训练】 1．（2024•甘州区三模）已知a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．2+a＝2+b B．a﹣b＝0 C．﹣2a＝﹣2b D． 2．（2024•滦南县校级模拟）下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y﹣5 B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若ax＝ay，则x＝y ■考点二 一次方程（组）的相关概念► ◇典例2：1．（2024•甘谷县三模）已知关于x的方程2x﹣a+5＝0的解是x＝2，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024•古浪县二模）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m2的值为（　　） A．4 B．49 C．4或49 D．1或49 【变式训练】 1．（2024•九原区四模）下列方程中方程的解为x＝2的是（　　） A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝3 2．（2024•禅城区三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解x＝1且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（　　） A． B． C． D． 3．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是（　　） A．xy＝1 B．x2﹣1＝0 C．x﹣y＝1 D． 4．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　 　． 5．（2024•台湾）若二元一次联立方程式的解为，则a+b之值为何？（　　） A．﹣28 B．﹣14 C．﹣4 D．14 ■考点三 一次方程（组）的解法► ◇典例3：1．（2024•西安校级模拟）解方程：． 2．（2024•益阳三模）解方程组：． 【变式训练】 1．（2024•陇南模拟）方程的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝1 2．（2024•路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x． 移项，得3x﹣2x＝1+1． 合并同类项，得x＝2． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 3．（2024•尤溪县二模）解二元一次方程组：． ■考点四　一次方程（组）的应用► ◇典例4：1．（2024•辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？ 2．（2024•临潼区一模）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？ 【变式训练】 1．（2024•广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（　　） A．++＝1 B．++＝100 C．3x+4x+5x＝1 D．3x+4x+5x＝100 2．（2024•甘孜州）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间． 4．（2024•西昌市一模）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分钟） 10 10 350 30 20 850 （1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？ （2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a件（a为正整数）． ①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数； ②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a的取值范围． ( 真题演练 ) 1．（2024•凉州区校级三模）若m＝n，则下列等式中错误的是（　　） A．﹣4m＝﹣4n B．1+m＝1+n C．＝ D．3﹣m＝3+n 2．（2024•惠州二模）若x＝2是关于x的方程kx﹣1＝3的解，则k﹣2的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 3．（2024•凉州区三模）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+y＝0 B．xy﹣y＝0 C．x﹣2y＝z D． 4．（2024•清水县校级三模）若是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 5．（2024•滕州市一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　） A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x﹣y＝9 6．（2024•石家庄模拟）关于x的代数式ax+b，当x分别取值﹣1，0，1，2时，对应的代数式的值如下表： x ﹣1 0 1 2 ax+b 3 1 ﹣1 ﹣3 若ax+b＝5，则x的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．5 7．（2024•湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•龙凤区二模）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．（2024•贵州）在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　　． 10．（2024•新疆）解方程：2（x﹣1）﹣3＝x． 11．（2024•广西）解方程组：． 12．（2024•北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 13．（2024•徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 14．（2024•威海一模）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． 若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 15．（2024•临沭县一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s，开水的温度为100℃，流速为15ml/s． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度＝开水的体积×开水降低的温度 （1）用空杯先接7s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水 　　ml，水温为 　　℃； （2）某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为50℃的水（计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等式变形。 2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意义。 3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 等式的基本性质 ☆ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 考点2一次方程（组）的概念 ☆ 考点3一次方程（组）的解法 ☆☆ 考点4一次方程（组）的应用 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一次方程（组）的相关概念： (1)方程是指含有未知数的等式． (2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程． （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． (5)方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． 2.等式的性质： （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式； （2）等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式． 3．解一元一次方程的步骤： (1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘． (2)去括号：注意括号前的系数与符号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号． (4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 4.解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法． (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解. （2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解. 5．一次方程（组）的应用： 列方程组解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答． ( 深度讲练 ) ■考点一　等式的基本性质► ◇典例1：（2024•沂源县一模）下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则＝ 【思路点拨】根据等式的性质即可求出答案． 【解析】解：（D）当m＝0时， 与无意义，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 【变式训练】 1．（2024•甘州区三模）已知a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．2+a＝2+b B．a﹣b＝0 C．﹣2a＝﹣2b D． 【思路点拨】根据等式的性质逐个判断即可． 【解析】解：A．∵a＝b， ∴2+a＝2+b，故本选项不符合题意； B．∵a＝b， ∴a﹣b＝b﹣b， 即a﹣b＝0，故本选项不符合题意； C．∵a＝b， ∴﹣2a＝﹣2b，故本选项不符合题意； D．当c＝0时，由a＝b不能推出＝，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 2．（2024•滦南县校级模拟）下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y﹣5 B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若ax＝ay，则x＝y 【思路点拨】根据等式的基本性质进而判断即可． 【解析】解：A：若x＝y，则x+5＝y+5，故A不正确，不合题意； B：若a2＝b2，则a＝±b，故B不正确，不合题意； C：若，则a＝b，故C正确，符合题意； D：若ax＝ay，则a≠0时x＝y，故D不正确，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查等式的基本性质，正确把握相关性质是解题的关键． ■考点二 一次方程（组）的相关概念► ◇典例2：1．（2024•甘谷县三模）已知关于x的方程2x﹣a+5＝0的解是x＝2，则a的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】把x＝2代入原方程中即可解答． 【解析】解：把x＝2代入方程2x﹣a+5＝0中得： 4﹣a+5＝0， 解得：a＝9， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把x＝2代入原方程中进行计算是解题的关键． 2．（2024•古浪县二模）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m2的值为（　　） A．4 B．49 C．4或49 D．1或49 【思路点拨】先解方程组，由条件方程组的解为整数，再讨论即可求得m的值，进一步计算m2即可． 【解析】解：解方程组可得， ∵方程组有整数解， ∴m+3为10和15的公约数，且m为正整数， ∴m+3＝5，解得m＝2， ∴m2＝4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，求出方程组的解得出m满足的条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•九原区四模）下列方程中方程的解为x＝2的是（　　） A．2x＝6 B．﹣x＝1 C．2+x＝0 D．2x﹣1＝3 【思路点拨】分别求出每个方程的解或者将x＝2代入每个方程进行判断可得． 【解析】解：A．2x＝6的解为x＝3； B．﹣x＝1的解为x＝﹣2； C．2+x＝0的解为x＝﹣2； D．2x﹣1＝3的解为x＝2； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力． 2．（2024•禅城区三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解x＝1且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设被墨水遮盖的常数是a，则把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【解析】解：设被墨水遮盖的常数是a， ∵方程的解是x＝1， ∴3×1+＝2×1+a， 解得：a＝， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．理解定义是关键． 3．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是（　　） A．xy＝1 B．x2﹣1＝0 C．x﹣y＝1 D． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义可得答案． 【解析】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意； B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意； C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意； D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 4．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　　． 【思路点拨】将方程组整理得，然后结合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可． 【解析】解：将方程组整理得， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴x﹣2＝3，2y＝﹣2， 解得：x＝5，y＝﹣1， 即关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键． 5．（2024•台湾）若二元一次联立方程式的解为，则a+b之值为何？（　　） A．﹣28 B．﹣14 C．﹣4 D．14 【思路点拨】把代入得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求出a+b的值即可． 【解析】解：把代入得：， 把②代入①得：5a﹣3×（﹣3a）＝28， 5a+9a＝28， 14a＝28， a＝2， 把a＝2代入②得：b＝﹣6， ∴a+b＝2+（﹣6）＝﹣4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值． ■考点三 一次方程（组）的解法► ◇典例3：1．（2024•西安校级模拟）解方程：． 【思路点拨】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解． 【解析】解：去分母得，2（x+1）﹣6＝5x﹣1， 去括号得，2x+2﹣6＝5x﹣1， 移项、合并同类项得，﹣3x＝3， 系数化为1得，x＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 2．（2024•益阳三模）解方程组：． 【思路点拨】把第二个方程整理得到y＝2x﹣5，然后利用代入消元法求解即可． 【解析】解：， 由②得，y＝2x﹣5③， ③代入①得，3x+4（2x﹣5）＝2， 解得x＝2， 把x＝2代入③得，y＝2×2﹣5＝﹣1， 所以，方程组的解是． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【变式训练】 1．（2024•陇南模拟）方程的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝1 【思路点拨】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解析】解：去分母，可得：3（3x+5）﹣2（2x+2）＝6， 去括号，可得：9x+15﹣4x﹣4＝6， 移项，可得：9x﹣4x＝6﹣15+4， 合并同类项，可得：5x＝﹣5， 系数化为1，可得：x＝﹣1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 2．（2024•路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x． 移项，得3x﹣2x＝1+1． 合并同类项，得x＝2． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【思路点拨】根据一元一次方程的解题步骤检查并求解即可． 【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下： 去分母，得3x﹣1﹣2＝2x， 移项，得3x﹣2x＝1+2， 合并同类项，得x＝3． 【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键． 3．（2024•尤溪县二模）解二元一次方程组：． 【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可． 【解析】解：， ①+②得：3x＝6， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：2+y＝1， 解得：y＝﹣1， 则方程组的解为 ． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． ■考点四　一次方程（组）的应用► ◇典例4：1．（2024•辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？ 【思路点拨】（1）设甲池的排水速度是x m3/h，根据“36﹣3×甲池的排水速度＝2×（36﹣3×乙池的排水速度）”列方程并求解即可； （2）设排水t小时，根据“t小时后这两个水池剩余水量的和≥24”列关于t的一元一次不等式并求解即可． 【解析】解：（1）设甲池的排水速度是x m3/h． 根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8）， 解得x＝4， ∴甲池的排水速度是4m3/h． （2）设排水t小时． 根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24， 解得t≤4， ∴最多可以排水4小时． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列一元一次方程和一元一次不等式并求解是解题的关键． 2．（2024•临潼区一模）陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？ 【思路点拨】设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨，由题意：满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】解：设1辆A型车满载时一次运苹果x吨，1辆B型车满载时一次运苹果y吨， 依题意，得：， 解得：， 答：1辆A型车满载时一次运苹果3吨，1辆B型车满载时一次运苹果2吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（　　） A．++＝1 B．++＝100 C．3x+4x+5x＝1 D．3x+4x+5x＝100 【思路点拨】根据题意列出方程式，整理即可得出答案． 【解析】解：设出租的田有x亩，根据题意得， ×1+×1+×1＝100， 整理得，++＝100． 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，找到等量关系是解题的关键． 2．（2024•甘孜州）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解析】解：由题意可得：． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 3．（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间． 【思路点拨】设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量＝总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h， 根据题意得：+＝1， 解得：x＝2． 答：这次小峰打扫了2h． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2024•西昌市一模）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分钟） 10 10 350 30 20 850 （1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？ （2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a件（a为正整数）． ①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数； ②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，根据所用总时间为等式得出方程组求出即可； （2）①根据（1）中生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间，得出生产甲种产品a件需要的时间，进而得出生产乙种产品的件数； ②根据每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，小王四月份的工资不少于1500元得出不等式求出即可． 【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，由题意得： ， 解这个方程组得：； 答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟； （2）①∵生产一件甲种产品需15分钟，生产一件乙种产品需20分钟， ∴一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件， 所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25×8﹣）＝； ②依题意：， 1680﹣0.6a≥1500， 解得：a≤300． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组以及不等式的应用，通过表格当中的信息，利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间是解题关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•凉州区校级三模）若m＝n，则下列等式中错误的是（　　） A．﹣4m＝﹣4n B．1+m＝1+n C．＝ D．3﹣m＝3+n 【思路点拨】等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．由性质即可求解． 【解析】解：A．等式的两边同时乘以﹣4，等式成立，故A正确，不符合题意； B．等式的两边同时加上1，等式成立，故B正确，不符合题意； C．等式的两边同时乘以，等式成立，故C正确，不符合题意； D.3﹣m＝3+n，则﹣m＝n与m＝n矛盾，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 2．（2024•惠州二模）若x＝2是关于x的方程kx﹣1＝3的解，则k﹣2的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】将x＝2代入方程kx﹣1＝3，求出k的值，从而求出k﹣2的值． 【解析】解：将x＝2代入方程kx﹣1＝3， 得2k﹣1＝3， 解得k＝2， 则k﹣2＝2﹣2＝0． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握其解法是本题的关键． 3．（2024•凉州区三模）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+y＝0 B．xy﹣y＝0 C．x﹣2y＝z D． 【思路点拨】利用二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可． 【解析】解：A．方程3x+y＝0是二元一次方程，选项A符合题意； B．方程xy﹣y＝0是二元二次方程，选项B不符合题意； C．方程x﹣2y＝z是三元一次方程，选项C不符合题意； D．方程是分式方程，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键． 4．（2024•清水县校级三模）若是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【思路点拨】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【解析】解：把代入方程得：3﹣2a＝5， 解得：a＝﹣1， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．（2024•滕州市一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（　　） A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x﹣y＝9 【思路点拨】方程组中的两个方程相加得出x+y+m﹣5＝4+m，整理后即可得出答案． 【解析】解：， ①+②得：x+y+m﹣5＝4+m， 即x+y＝9， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键． 6．（2024•石家庄模拟）关于x的代数式ax+b，当x分别取值﹣1，0，1，2时，对应的代数式的值如下表： x ﹣1 0 1 2 ax+b 3 1 ﹣1 ﹣3 若ax+b＝5，则x的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．5 【思路点拨】在表格任意选取两组数据代入ax+b中，即可确定a、b的值，进而求解． 【解析】解：当x＝0时，ax+b＝1， ∴b＝1， 当x＝1时，ax+b＝﹣1， ∴a+1＝﹣1， ∴a＝﹣2， ∴﹣2x+1＝5， ﹣2x＝4， x＝﹣2． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值以及解一元一次方程，掌握代数式求值的方法是解题的关键． 7．（2024•湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（2024•龙凤区二模）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】把第二个方程组变形得出，再根据方程组的解是得出方程组中，再求出x、y即可． 【解析】解：方程组化为：， ∵方程组的解是， ∴方程组中， 解得：， 即方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能根据题意求出方程组中是解此题的关键． 9．（2024•贵州）在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　20天　． 【思路点拨】设快马追上慢马需要的天数是x天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马跑的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：设快马追上慢马需要的天数是x天， 根据题意得：240x＝150（12+x）， 解得：x＝20， ∴快马需要20天追上慢马． 故答案为：20天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．（2024•新疆）解方程：2（x﹣1）﹣3＝x． 【思路点拨】先去括号，再移项，合并同类项即可． 【解析】解：2（x﹣1）﹣3＝x， 2x﹣2﹣3＝x， 2x﹣x＝2+3， x＝5． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 11．（2024•广西）解方程组：． 【思路点拨】利用加减消元法求解即可． 【解析】解：， ①+②，得2x＝4，解得x＝2； ①﹣②，得4y＝2，解得y＝； ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 12．（2024•北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【思路点拨】设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解． 【解析】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下： 设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km， 根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40， 解得x＝68， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34， ∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，百分数的应用，解答时充分理解题意是关键． 13．（2024•徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【思路点拨】设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程，求解即可． 【解析】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 【点睛】本题考查了一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 14．（2024•威海一模）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． 若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【思路点拨】设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个，根据两种纸箱每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【解析】解：设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；明确题意，列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2024•临沭县一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s，开水的温度为100℃，流速为15ml/s． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度＝开水的体积×开水降低的温度 （1）用空杯先接7s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水 　200　ml，水温为 　51　℃； （2）某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为50℃的水（计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【思路点拨】（1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积×温水升高的温度＝开水的体积×开水降低的温度列方程即可求解； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为x s，y s，根据开水和温水的体积和为280ml温度，混合温度为50℃列出方程组求解即可． 【解析】解：（1）温水的体积为7×20＝140（ml），开水的体积4×15＝60（ml）， 则接完后杯中共有水140+60＝200（ml）， 设接完后杯中水温为T，则140（T﹣30）＝60（100﹣T）， 解得T＝51， 即接完后杯中水温为51℃， 故答案为：200，51； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为x s，y s， 由题意得，， 解得， 答：学生接温水的时间为10s，接开水的时间为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程或方程组． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$