第4讲 二次根式及其运算（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第4讲 二次根式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数并且也是非负数. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质. 3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 二次根式的相关概念 ☆ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 考点2 二次根式的基本性质 ☆☆ 考点3二次根式的运算 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．二次根式的有关概念： (1)二次根式：式子 叫做二次根式． (2)最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数 ． ②被开方数中 的因数或因式． （3）二次根式有意义的条件：被开方数非负 2．二次根式的性质： （1）()2＝ (a≥0)． （2）＝ ＝ （3）＝ (a≥0，b≥0)． （4）＝ (a≥0，b＞0)． 二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数． 3．二次根式的运算： (1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式． (2)二次根式的乘法：·＝ (a≥0，b≥0)． (3)二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式． ( 深度讲练 ) ■考点一　二次根式的相关概念► ◇典例1：（2024•东莞市三模）若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞2 【变式训练】 1．（2024•沂源县二模）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥0 3．（2024•甘南州）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 ■考点二 二次根式的性质► ◇典例2：（2024•乐山）已知1＜x＜2，化简+|x﹣2|的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【变式训练】 1．（2024•德阳）化简：＝　 ． 2．（2024•桓台县一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a B．2b C．﹣2b D．0 3．（2024•永昌县三模）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•邯郸模拟）已知P＝A×B﹣C． （1）若A＝（﹣2）0，，，求P的值； 如图是佳佳同学的计算过程：佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值； （2）若A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，当x为何值时，P的值是7． ■考点三 二次根式的运算► ◇典例3：（2024•甘肃模拟）计算： 【变式训练】 1．（2024•南通）计算×的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 2．（2024•咸安区模拟）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．＝2 3．（2024•合肥模拟）计算：﹣2＝　　． 4．（2024•凉州区三模）计算． 5．（2024•泾川县校级模拟）计算：×﹣+÷． 6．（2024•甘州区二模）计算：4×﹣（+）2+． ■考点四　 二次根式的化简求值及应用► ◇典例4：（2024•昌黎县一模）已知x＝，y＝，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【变式训练】 1．（2024•曲靖二模）若，则代数式m2﹣2m+2的值为（　　） A．7 B． C． D．6 2．（2024•钱塘区一模）已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为 　3　． 3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：，其中a＝﹣2． ( 真题演练 ) 1．（2024•徐州）若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 2．（2024•金昌三模）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•湖南）计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 4．（2024•南阳模拟）下列计算正确的是（　　） A．＝× B． C．2＝ D．﹣＝ 5．（2024•甘谷县三模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•山西模拟）化简的结果为 　 　． 7．（2024•淄博）计算：＝　　． 8．（2024•天津）计算的结果为 　 　． 9．（2024•兰州）计算：﹣×． 10．（2024•陇南模拟）计算：． 11．（2024•石狮市模拟）计算：|﹣2|﹣×+（）0． 12．（2024•新城区模拟）计算． 13．（2024•河北一模）如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数． （1）试确定a和b的值； （2）求的值． 14．（2024•沅江市一模）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空：∵＝　 　，＝　　， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC， ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 15．（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第4讲 二次根式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数并且也是非负数. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质. 3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 二次根式的相关概念 ☆ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 考点2 二次根式的基本性质 ☆☆ 考点3二次根式的运算 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．二次根式的有关概念： (1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式． (2)最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分母． ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式． （3）二次根式有意义的条件：被开方数非负 2．二次根式的性质： （1）()2＝a(a≥0)． （2）＝|a|＝ （3）＝·(a≥0，b≥0)． （4）＝(a≥0，b＞0)． 二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数． 3．二次根式的运算： (1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式． (2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)． (3)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式． ( 深度讲练 ) ■考点一　二次根式的相关概念► ◇典例1：（2024•东莞市三模）若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞2 【思路点拨】根据分母不为0，二次根式内的式子为非负可求得． 【解析】解：要使式子有意义， 则x+2＞0， 解得：x＞﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查分母不为零、二次根式有意义的条件，如本题，二次根式做分母，则要求二次根式内的式子为正数．掌握分母不为零、二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•沂源县二模）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解析】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2024•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥0 【思路点拨】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解析】解：由题可知， x≥0且x≠0， 解得x＞0． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 3．（2024•甘南州）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件求出x＝3，由此得到y的值，再进行计算即可． 【解析】解：∵，， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴， ∴xy＝32＝9． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出x＝3是解题的关键． ■考点二 二次根式的性质► ◇典例2：（2024•乐山）已知1＜x＜2，化简+|x﹣2|的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【思路点拨】根据1＜x＜2运用二次根式的知识对该式进行化简、计算． 【解析】解：∵1＜x＜2， ∴+|x﹣2| ＝x﹣1+2﹣x ＝1， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行化简、计算． 【变式训练】 1．（2024•德阳）化简：＝　3　． 【思路点拨】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：＝|﹣3|＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法是掌握解答的关键． 2．（2024•桓台县一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a B．2b C．﹣2b D．0 【思路点拨】利用数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：由数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a﹣b＞0， 则＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 3．（2024•永昌县三模）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【解析】解：A、属于最简二次根式，故本选项符合题意； B、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4．（2024•邯郸模拟）已知P＝A×B﹣C． （1）若A＝（﹣2）0，，，求P的值； 如图是佳佳同学的计算过程：佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值； （2）若A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，当x为何值时，P的值是7． 【思路点拨】（1）由，可得佳佳在第一步运算错误；根据运算法则进行运算求解即可； （2）把A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，P＝7代入P＝A×B﹣C运算即可． 【解析】解：（1）∵， ∴佳佳的计算过程有错，第一步错了； 正确的过程为：； （2）把A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，P＝7代入P＝A×B﹣C可得： 7＝3×2x﹣（﹣2x+1）， 7＝6x+2x﹣1， 8x＝8， x＝1， ∴当x＝1时，P的值是7． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，一元一次方程等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． ■考点三 二次根式的运算► ◇典例3：（2024•甘肃模拟）计算： 【思路点拨】先根据二次根式的性质进行计算，再算除法，最后算减法即可． 【解析】解：﹣÷ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【变式训练】 1．（2024•南通）计算×的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可． 【解析】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．（2024•咸安区模拟）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．＝2 【思路点拨】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【解析】解：A、与不能合并，不符合题意； B、2﹣＝，不符合题意； C、×＝，符合题意； D÷＝，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024•合肥模拟）计算：﹣2＝　　． 【思路点拨】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【解析】解：原式＝3﹣2 ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减，熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键． 4．（2024•凉州区三模）计算． 【思路点拨】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解析】解：原式＝2﹣3+5 ＝4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 5．（2024•泾川县校级模拟）计算：×﹣+÷． 【思路点拨】先算乘除，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：×﹣+÷ ＝3﹣2+ ＝2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 6．（2024•甘州区二模）计算：4×﹣（+）2+． 【思路点拨】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案． 【解析】解：原式＝2﹣（3+2+2）+ ＝2﹣5﹣2﹣（2+） ＝2﹣5﹣2﹣2﹣ ＝﹣7﹣． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． ■考点四　 二次根式的化简求值及应用► ◇典例4：（2024•昌黎县一模）已知x＝，y＝，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【思路点拨】先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可． 【解析】解：原式＝（x+y）2﹣xy ＝（+）2﹣× ＝（）2﹣ ＝5﹣1 ＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2024•曲靖二模）若，则代数式m2﹣2m+2的值为（　　） A．7 B． C． D．6 【思路点拨】把m2﹣2m+2化为（m﹣1）2+1后代入求值即可． 【解析】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，整体代入是解题的关键． 2．（2024•钱塘区一模）已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为 　3　． 【思路点拨】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可． 【解析】解：∵x＝1﹣，y＝1+， ∴x+y＝（1﹣）+（1+）＝2，xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1， 则x2+3xy+y2 ＝x2+2xy+y2+xy ＝（x+y）2+xy ＝22﹣1 ＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 3．（2024•浙江模拟）先化简，再求值：，其中a＝﹣2． 【思路点拨】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把a的值代入计算即可． 【解析】解：原式＝2（a2﹣5）﹣（a2﹣4a）+14 ＝2a2﹣10﹣a2+4a+14 ＝a2+4a+4 ＝（a+2）2， 当a＝﹣2时，原式＝（﹣2+2）2＝6． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•徐州）若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解析】解：∵二次根式有意义， ∴x+1≥0，解得x≥﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数． 2．（2024•金昌三模）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，符合题意； C、是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．（2024•湖南）计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解析】解：×＝． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．（2024•南阳模拟）下列计算正确的是（　　） A．＝× B． C．2＝ D．﹣＝ 【思路点拨】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解析】解：A.＝×，故此选项不合题意； B.＝2，故此选项不合题意； C．（）2＝，故此选项符合题意； D.﹣＝﹣2，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 5．（2024•甘谷县三模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可． 【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6．（2024•山西模拟）化简的结果为 　2﹣　． 【思路点拨】根据＝|a|进行化简求值即可． 【解析】解：＝|﹣2|＝2﹣， 故答案为：2﹣． 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．（2024•淄博）计算：＝　　． 【思路点拨】首先化简二次根式进而合并求出即可． 【解析】解： ＝3﹣2 ＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 8．（2024•天津）计算的结果为 　10　． 【思路点拨】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解析】解：原式＝（）2﹣12 ＝11﹣1 ＝10． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，正确运用平方差公式计算是解题关键． 9．（2024•兰州）计算：﹣×． 【思路点拨】先化简二次根式，再按照实数的运算法则进行计算． 【解析】解：﹣× ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 10．（2024•陇南模拟）计算：． 【思路点拨】先计算二次根式乘方，乘除法，再计算二次根式加减法即可． 【解析】解：原式＝+1﹣2+2+2 ＝4+1﹣2+2+2 ＝7． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 11．（2024•石狮市模拟）计算：|﹣2|﹣×+（）0． 【思路点拨】根据绝对值、零指数幂和二次根式乘法的计算法则来计算即可． 【解析】解：|﹣2|﹣×+（）0 ＝2﹣4+1 ＝﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来计算． 12．（2024•新城区模拟）计算． 【思路点拨】先化简，然后计算加减法即可． 【解析】解：原式＝ ＝4﹣9+2﹣ ＝． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（2024•河北一模）如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数． （1）试确定a和b的值； （2）求的值． 【思路点拨】（1）先找出正方体展开图各个面的对面，然后根据题意，列出关于a，b的方程，求出答案即可； （2）把（1）中所求a，b代入所求代数式进行计算即可． 【解析】解：（1）由图可知：﹣1与2a+3相对，b与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴2a+3﹣1＝0①，②， 由①得：a＝﹣1， 把a＝﹣1代入②得：， ∴a＝﹣1，； （2）由（1）可知：a＝﹣1，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值和正方体的展开图，解题关键是找出正方体展开图各个面的对面． 14．（2024•沅江市一模）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空：∵＝　5+2　，＝　5　， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC， ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【思路点拨】（1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【解析】解：（1）∵＝2+2+3＝5+2，＝5， ∴， ∴． 故答案为：5+2，5； （2）①△ABC是直角三角形． 理由：∵（）2+（）2＝（）2， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． ②∵AB+AC＞BC， ∴+＞． 【点睛】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　12　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【思路点拨】（1）根据阅读材料分别代入即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导； （3）设一边长为x cm，三角形的面积为S cm2，则另一边为（18﹣x）cm，根据三角形的面积公式可解答． 【解析】解：（1）设a＝5，b＝5，c＝6， ∴p＝＝8，S＝＝12； （2）S＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵p＝， ∴2p＝a+b+c， S＝ ＝； （3）设一边长为x cm，三角形的面积为S cm2，则另一边为（18﹣x）cm， ∴p＝12， ∴S2＝12×（12﹣6）×（12﹣x）×[12﹣（18﹣x）]＝﹣72（x﹣9）2+648， ∴当x＝9时，S有最大值为cm2， 此时三边长分别为6cm，9cm，9cm，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式，计算量大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$