第3讲 分式及其运算（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第3讲 分式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 2.利用分式的基本性质进行通分和约分. 3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 分式的相关概念 ☆ 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 考点2 分式的基本性质 ☆☆ 考点3分式的运算 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式的基本概念： (1)形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． (2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0且B≠0时，分式的值为零． (3)最简分式需满足的条件：分子、分母没有公因式． 2．分式的基本性质： (1)基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子可表示为＝，＝(其中M是不等于零的整式)． (2)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：＝－＝＝－，－＝＝． 3．分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分． 4．分式的运算法则： (1)分式的加减： 同分母相加减：±＝； 异分母相加减：±＝． (2)分式的乘除： ·＝；÷＝． (3)分式的乘方： ＝(n为正整数)． 5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． ( 深度讲练 ) ■考点一　分式的有关概念► ◇典例1：（2024•镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2　． 【思路点拨】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围． 【解析】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义． 故答案为：x≠2． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【变式训练】 1．（2024•城中区校级模拟）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．0 【思路点拨】形如（A，B是整式，B中含有字母并且B≠0）的式子即为分式，据此进行判断即可． 【解析】解：，，0不是分式； 是分式； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•宁明县一模）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10 【思路点拨】根据分式有意义的条件，即分母不为0，可得2x+10≠0，即可解出x的范围． 【解析】解：由题意得：2x+10≠0， 解得：x≠﹣5． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分式的分母不为0是解题的关键． 3．（2024•雅安模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【思路点拨】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案． 【解析】解：∵分式的值为0， ∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0， 解得：x＝﹣1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键． 4．（2024•西吉县一模）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2 【思路点拨】首先根据分式的符号求出分母的取值范围（不要忽略分母不为0的条件），再求出x的取值范围． 【解析】解：若分式的值为负数， 则2﹣x＞0，解得x＜2． 则x的取值范围是x＜2． 故选：A． 【点睛】分式的值为负数，那么分子、分母异号，在解题过程中，不要忽略分母不为0的条件． ■考点二 分式的基本性质► ◇典例2：（2024•鼓楼区一模）若m≠n，则下列化简一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【解析】解：A．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意； B．当m＝2，n＝5时，＝﹣，＝，即，故本选项不符合题意； C．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意； D．＝，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值不变）是解此题的关键． 【变式训练】 1．（2024•聊城模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数或式子，分式的值不变，由此判断即可． 【解析】解：A、不成立，故此选项不符合题意； B、成立，故此选项符合题意， C、不成立，故此选项不符合题意； D、不成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 2．（2024•南山区校级三模）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 【思路点拨】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可． 【解析】解：根据题意得：＝•， 所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键，注意：分式的基本性质是分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变． 3．（2024•宜兴市二模）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分式的分子、分母同乘以﹣1，再同乘以10，再化简即可． 【解析】解：原式＝＝＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题． ■考点三 分式的运算► ◇典例3：（2024•陕西）化简：（﹣）÷． 【思路点拨】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可． 【解析】解：原式＝[﹣]• ＝• ＝． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2024•甘肃）计算：＝（　　） A．2 B．2a﹣b C． D． 【思路点拨】根据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”，再进行约分即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减法，掌握“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”是正确解答的关键． 2．（2024•南皮县二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简． 【解析】解： ＝ ＝， 故选：C． 【点睛】此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解． 3．（2024•南开区一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案． 【解析】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键． 4．（2024•绥化）化简：÷（x﹣）＝　　． 【思路点拨】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【解析】解：原式＝÷ ＝• ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 5．（2024•来凤县模拟）计算：． 【思路点拨】根据分式的加减法运算法则计算即可． 【解析】解：原式＝﹣ ＝ ＝ ＝﹣． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 6．（2024•临夏州）化简：（a+1+）÷． 【思路点拨】先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可． 【解析】解：原式＝• ＝• ＝• ＝． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行分式的通分和约分． ■考点四　分式的化简求值► ◇典例4：（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 【思路点拨】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解． 【解析】解：由题意，原式＝•﹣• ＝﹣ ＝ ＝ ＝． 又x＝2cos30°﹣tan45° ＝2×﹣1 ＝﹣1， ∴原式＝＝． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式训练】 1．（2024•宿迁）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝+3． 【思路点拨】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 【解析】解：（1+）• ＝（） ＝ ＝， 当x＝+3时，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，化简求值，一般是先化简分式为最简分式或整式，再代入求值． 2．（2024•广安）先化简（a+1﹣）÷，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【思路点拨】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【解析】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 由题意得：a≠1且a≠﹣2， 当a＝0时，原式＝＝﹣1， 当a＝2时，原式＝＝0． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 3．（2024•深圳）先化简，再代入求值：，其中． 【思路点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解： ＝• ＝• ＝， 当时，原式＝＝＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•从江县校级二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解析】解：＝＝，则A不符合题意； ＝，则B不符合题意； ＝（y≠0），则C符合题意； ＝＝﹣1，则D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024•内蒙古）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2a4）3＝﹣6a12 B．a﹣2+a5＝a3 C． D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 【思路点拨】A．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C．根据同分母的分式加减法则进行计算，然后判断即可； D．根据多项式乘多项式法则进行计算，然后判断即可． 【解析】解：A．∵（﹣2a4）3＝﹣8a12，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则和多项式乘多项式法则． 3．（2024•吉安一模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可． 【解析】解： ＝﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则． 4．（2024•吕梁一模）化简分式的正确结果是（　　） A． B． C． D．2x 【思路点拨】将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【解析】解：原式＝＝； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的除法运算，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 5．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 【思路点拨】根据分式的性质得出a﹣12＝0，进而解答即可． 【解析】解：因为实数a，b满足， ∴a﹣12＝0，b≠0， ∴a＝12， ∴a+b2＞0， 故选：C． 【点睛】此题考查分式的性质，关键是根据分式的性质得出a﹣12＝0解答． 6．（2024•河北）已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 【思路点拨】由﹣＝可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x． 【解析】解：∵﹣＝， ∴＝+， ∴＝+， ∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2， ∴Ax＝x2， ∴A＝x； 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 7．（2024•安徽）若分式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠4　． 【思路点拨】根据分式分母不为0进行计算即可． 【解析】解：∵分式有意义， ∴x﹣4≠0， ∴x≠4， 故答案为：x≠4． 【点睛】本题考查了分式有意义，分式有意义说明分母不为0． 8．（2024•济南）若分式的值为0，则实数x的值为 　1　． 【思路点拨】根据分式的值为0得出x﹣1＝0且2x≠0，再求出x的值即可． 【解析】解：∵分式的值为0， ∴x﹣1＝0且2x≠0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，注意：当分子A＝0且分母B≠0时，分式的值为0． 9．（2024•济宁）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 　2　． 【思路点拨】先根据已知条件求出a2+1＝2b，然后根据偶次方的非负性判断b的取值范围，最后把a2+1＝2b代入所求分式进行化简即可． 【解析】解：∵a2﹣2b+1＝0， ∴a2+1＝2b， ∵a2≥0， ∴a2+1≥1， ∴b＞0， ∴ ＝ ＝2． 【点睛】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求值的方法． 10．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值． 【思路点拨】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【解析】解：∵a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3． 【点睛】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为是解题的关键． 11．（2024•泸州）化简：（+x﹣2y）÷． 【思路点拨】先算括号里面，再算除法． 【解析】解：原式＝÷ ＝• ＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 12．（2023•大连）计算：（+）÷． 【思路点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答． 【解析】解：原式＝[+]• ＝• ＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2024•遂宁）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【思路点拨】先化简分式，再将x＝3代入求出结果． 【解析】解：（1﹣）÷ ＝ ＝ ＝x﹣1， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠1，x≠2， 当x＝3时，原式＝2． 【点睛】本题考查了分式的化简，要注意分母不为0． 14．（2024•乐山）先化简，再求值：﹣，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下： 解：﹣＝﹣…① ＝﹣…② ＝…③ ＝…④ ＝…⑤ 当x＝3时，原式＝1． （1）小乐同学的解答过程中，第 　③　步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【思路点拨】（1）根据上述解题过程可以看出，第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2，而不是2x﹣x+2； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再将x＝3代入计算即可． 【解析】解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2， 故答案为：③． （2） ＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝3时，原式＝． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 15．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． 【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝， ∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2， ∴整数x＝1或﹣1， ∴当x＝1时，原式＝（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第3讲 分式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 2.利用分式的基本性质进行通分和约分. 3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 分式的相关概念 ☆ 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 考点2 分式的基本性质 ☆☆ 考点3分式的运算 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式的基本概念： (1)形如 (A，B是整式，且 中含有字母， ≠0)的式子叫做分式． (2)当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零． (3)最简分式需满足的条件：分子、分母 ． 2．分式的基本性质： (1)基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为＝ ， ＝ (其中M是不等于零的整式)． (2)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：＝－＝＝－，－＝＝． 3．分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做 ． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做 ． 4．分式的运算法则： (1)分式的加减： 同分母相加减：±＝ ； 异分母相加减：±＝ ． (2)分式的乘除： ·＝ ；÷＝ ． (3)分式的乘方： ＝ (n为正整数)． 5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算 ，再将除法化为 ，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算 ．灵活运用运算律，运算结果必须是 或 ． ( 深度讲练 ) ■考点一　分式的有关概念► ◇典例1：（2024•镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 　　． 【变式训练】 1．（2024•城中区校级模拟）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．0 2．（2024•宁明县一模）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10 3．（2024•雅安模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 4．（2024•西吉县一模）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2 ■考点二 分式的基本性质► ◇典例2：（2024•鼓楼区一模）若m≠n，则下列化简一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024•聊城模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•南山区校级三模）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 3．（2024•宜兴市二模）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（　　） A． B． C． D． ■考点三 分式的运算► ◇典例3：（2024•陕西）化简：（﹣）÷． 【变式训练】 1．（2024•甘肃）计算：＝（　　） A．2 B．2a﹣b C． D． 2．（2024•南皮县二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•南开区一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•绥化）化简：÷（x﹣）＝　　． 5．（2024•来凤县模拟）计算：． 6．（2024•临夏州）化简：（a+1+）÷． ■考点四　分式的化简求值► ◇典例4：（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 【变式训练】 1．（2024•宿迁）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝+3． 2．（2024•广安）先化简（a+1﹣）÷，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 3．（2024•深圳）先化简，再代入求值：，其中． ( 真题演练 ) 1．（2024•从江县校级二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•内蒙古）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2a4）3＝﹣6a12 B．a﹣2+a5＝a3 C． D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 3．（2024•吉安一模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 4．（2024•吕梁一模）化简分式的正确结果是（　　） A． B． C． D．2x 5．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 6．（2024•河北）已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 7．（2024•安徽）若分式有意义，则实数x的取值范围是 　　． 8．（2024•济南）若分式的值为0，则实数x的值为 　　． 9．（2024•济宁）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 　　． 10．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值． 11．（2024•泸州）化简：（+x﹣2y）÷． 12．（2023•大连）计算：（+）÷． 13．（2024•遂宁）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 14．（2024•乐山）先化简，再求值：﹣，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下： 解：﹣＝﹣…① ＝﹣…② ＝…③ ＝…④ ＝…⑤ 当x＝3时，原式＝1． （1）小乐同学的解答过程中，第 　　步开始出现了错误； （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 15．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$