精品解析：云南省昆明第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

昆明第一中学2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学 命题：孙思应 审题：易孝荣 总分：150分 时间：120分钟 第I 卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题， 则， . . 故选：B. 【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题. 2. 若函数对任意的都有，则等于（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断函数的图象的对称轴为，说明是函数的最值，从而可判断选项. 【详解】因为函数对任意的都有， 所以函数的图象关于对称，可得是函数的最值， 所以. 故选：A. 3. 与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两圆外离，根据圆M与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆相离， 因为圆M与圆及圆都外切 所以，两式相减得， 所以圆心在双曲线的一支上. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 5. 球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可. 详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球， 设球的半径为，由题意可得：, 据此可得：，外接球的表面积为：. 本题选择D选项. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 7. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助辅助角公式，结合正弦函数的性质求解． 【详解】，其中，， 又当时， 取得最大值，所以，即， 所以 ， 故选：C． 8. 在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点.，，四棱锥的体积为，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可得，且点到平面的距离与点到平面的距离相等，结合求点面距. 【详解】由题设，可得， 为的中点，则点到平面的距离，与点到平面的距离相等， 由，，，且底面为矩形，平面， 所以，则的面积， 由，设点到平面的距离为， 则，可得. 故选：A 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的. 9. 已知实数满足方程，则下列命题是真命题的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，由直线与圆有公共点，从而求得最值判断AB；设，由直线与圆有公共点，可求的最小值判断C；，表示上的点与之间的距离，求得最大值判断D. 【详解】由，可得圆心，半径为， 对于AB：设，由直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值是，的最小值是，故A错误，B正确； 对于C：设，可得， 由直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D：因为表示上的点与之间的距离， 最大距离为点与圆心的距离加半径2，又， 所以的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：转化思想是数学的常用思想方法，本题把求的范围问题转化为直线与圆的交点问题，从而求得最值就是转化思想的应用. 10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】选项A：若，则平行或相交，A说法错误； 选项B：若，则，B说法正确； 选项C：若，则，C说法正确； 选项D：若，则，D说法正确； 故选：BCD 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若直线的斜率为2，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 第II卷（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出基本事件总数,再按照和分类讨论,得出事件数,代入古典概型公式计算即可. 【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有种可能，故基本事件是种， 其中“心有灵犀”的情况包括： ①，即，有种可能； ②， 若甲说的是和时，“心有灵犀”的情况各有种， 若甲说的数字是2，3，4，5，6时，各有种情形， 故共有种情形， 所以他们“心有灵犀”的概率. 故答案为：. 13. 若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线是，所以， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是__________；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式来求解即可. 【详解】周先生到达会议室心到的概率为：； 若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是： ； 故答案为：①；②. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明，演算步摖或推理过程）. 15. 某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. （1）试分别写出随机变量和的分布列； （2）针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【答案】（1） 400 -100 500 -300 0 （2）投资项目一更合理，理由： （万元），（万元）， 又， ， 由，说明项目一､项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 【解析】 【分析】（1）由分布列的概念即可求解； （2）分别计算两个投资项目的期望、方差比较大小即可判断； 【小问1详解】 由题意随机变量和的分布列为： 400 -100 500 -300 0 【小问2详解】 略 16. 已知椭圆过点，离心率是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于,两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为（），利用所给条件列出方程组，解出即可；（2）易判断直线不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线的方程为，与椭圆方程联立方程组消掉得关于的一元二次方程，设，，由可得关于，的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由已知可得，计算得出，， 故椭圆的标准方程为． （2）由已知，①若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为， 此时，，显然不成立． ②若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 由得， ， 设，， 则，①式，，②， ∵，∴，则，③式， ①②③联立计算得出， ∴直线的方程为或． 17. 已知中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简求解即可； （2）解法一：由为的中点可得，两边平方，利用向量数量积的运算公式和余弦定理可得，代入三角形的面积公式即可求解；解法二：分别在，，中利用余弦定理，再结合，联立解出，代入三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 根据题意由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 又因为所以， 而，所以. 【小问2详解】 解法一：由为的中点知， 两边同时平方得， 即，所以， 又在，由余弦定理得， 所以，所以的面积为. 解法二：在中，由余弦定理可得，整理得① 在中，，在中，， 而，所以， 故，即②, 由①②得，，所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ∵正方形，， 平面，平面， 平面，又平面，直线是平面和平面的交线， ； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，由锥体的体积公式求出，再由二面角得到，同理可得点到的距离为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接， 因为二面角和二面角都是， 可知点在正方形内， 四棱锥的体积为，即，可得， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 可得，可得，同理可得点到的距离为， 以为坐标原点，向量，与平面垂直的方向分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为， 有取，可得， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）(y≠0)， （Ⅱ）过点 F，理由如下： ①当直线与x轴不垂直时，设的方程为， 与双曲线联立消去y得 ，由题意知且， 设，则， ＝ ＝ 因为，所以直线AB的方程为， 因此M点的坐标为， ，同理 因此； ②当直线与x轴垂直时，则方程为，则， AB的方程为， 因此M点的坐标为，， 同理可得 因此 综上，即， 故以线段MN为直径的圆经过点F. 【解析】 【详解】本试题主要考查了双曲线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用． （1）设，则 化简得； (2)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明第一中学2024—2025学年度上学期期末考试 高二数学 命题：孙思应 审题：易孝荣 总分：150分 时间：120分钟 第I 卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为 A. B. C. D. 2. 若函数对任意的都有，则等于（ ） A. B. 0 C. 3 D. 3. 与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为 A. B. C. D. 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 7. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点.，，四棱锥的体积为，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 6 二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的. 9. 已知实数满足方程，则下列命题是真命题的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若直线的斜率为2，则 D. 第II卷（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 13. 若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为__________. 14. 周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是__________；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是__________. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明，演算步摖或推理过程）. 15. 某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. （1）试分别写出随机变量和的分布列； （2）针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 16. 已知椭圆过点，离心率是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于,两点，若，求直线的方程． 17. 已知中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $