16.1(第2课时)二次根式的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.1(第2课时) 二次根式的性质 第16章 二次根式 面积为a 的正方形的边长 表示非负数a的算术平方根. 具有双重非负性： ①被开方数的非负性a ②二次根式值的非负性 （1）当a>0时 （2）当a=0时0 思考： 有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？ 输入 x x是否为非负数 求其算术平方根 平方 输出 是 否 算术平方根 平方运算 a(a≥0) 0 2 9 π a 观察两者有什么关系？ 思考： 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据. 　()2= ; ()2 = ; ()2 = ; ()2 = . 0 4 2 结论推广到一般，如何用字母表示? 思考： 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 不要忽略a≥0这一限制条件. 这是使二次根式有意义的前提条件. 例1 化简： （1） ； （3） 解：（1） ＝ ＝ （3） ＝ ＝ 14 5 例2 在实数范围内分解因式： 解： 有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？ 输入 x 求其算术平方根 平方 输出 思考： 算术平方根 平方运算 a 0 2 -9 -π a 观察两者有什么关系？ a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质： 例3 化简： 解： ，而3.14＜π，要注意a的正负性. 例4 下列五个等式中一定成立的有（　　） ① ()2=a；② =a；③ =a2；④a0=1；⑤＝2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 解析：① ()2=a的条件是a≥0，故①不一定成立； ②当a＜0时， =a不成立，故②不一定成立； ③ =a2一定成立； ④ a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立； ⑤ ＝ =，故⑤错误.故选：A． 例5 计算: 解： (1) (2) =2 (2) 例6 化简下列各式： 解：（1）∵y＞0， ∴ = =72|| =72 （2）∵π＞3，则3-π＜0 ∴ =π-3 例6 化简下列各式： 解：（3）∵x≥，则1-3x≤0 ∴ = =|1-3x|=3x-1 （4）∵1＜x＜3 则有x-3＜0，1-x＜0 ∴ + =|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2 例7 已知- 例8 实数a在数轴上的位置如图所示，化简. 如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 思考： 例9 已知1＜x＜8，化简++ 解：∵1＜＜8， ∴ ++ =|-8|+|+8|+ =8-++8-1 =15 例10 例10 例11 计算：+ 例12 设S=+ +...+, 则与S最接近的整数是多少？ 判断下列式子是否为代数式？ (1) (2) x+y=5 (3) (4) x (5) 32 这种用等号或不等号连接起来的式子都不是代数式. 是 不是 是 是 不是 思考： 概念学习：代数式 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 数 表示数的字母 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 例13 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h． （2）果果要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系， 如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 01 02 03 二次根式 的性质 ＝a (a≥0) ＝a (a≥0) ( a 为全体实数 ) 1．下列各式正确的是（    ） 2．若， 则（    ） 3．若=4， 则（    ） D C A 4.化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4 C 5. 当1<x<3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 D 6.化简： （1） ＝ ; （2） ＝ ; （3） ; （4） . 3 7 4 81 7. 计算： 解: 8.已知3＜a＜4，化简 +|a-5|． 解析：∵3＜a＜4， ∴3-a＜0，a-5＜0， ∴原式=a-3+|a-3|=a-3+5-a=2． 9.已知a,b在数轴上的位置如图, 化简代数式: 10. $$