山东省青岛市莱西市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省青岛市莱西市九年级(上)期末数学试卷(五四学制) 一、选择题(本题满分24分,共8道小题,每小题3分) 1.(3分)下面四个图形中,既是轴对称图形也是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)2024年10月30日,神舟十九号载人飞船取得圆满成功,3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站,与神舟十八号3名航天员顺利会师.载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注,120000000这个数字用科学记数法表示为( ) A.1.2 109 B.1.2 108 C.12 107 D.0.12 109 3.(3分)几何体的三视图如图所示,这个几何体是( ) A. B. C. D. 4.(3分)下列运算中,计算正确的是( ) A.6m3 2m=3m2 B.(﹣2a2)3=﹣6a6 C.m2+m3=2m5 D.(a﹣b)2=a2﹣b2 5.(3分)某施工队挖掘一条长90米的隧道,开工后每天比原计划多挖1米,结果提前3天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖x米,则依题意列出正确的方程为( ) A.=3 B. C. D. 6.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥BC于点H,连接OH,∠BAD=56 ,则∠DHO的度数是( ) A.38 B.34 C.28 D.24 7.(3分)如图,在 ABC中,∠A=30 ,∠C=45 ,BC=2,则的长度为( ) A. B. C. D.2 8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0;②a+c=b;③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x﹣5);④当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本题满分18分,共6道小题,每小题3分) 9.(3分)计算:= . 10.(3分)如图, ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4),将 ABC向下平移2个单位长度得到 A1B1C1,之后将 A1B1C1绕点B1逆时针旋转90 得到 A2B1C2,则点C2的坐标是 . 11.(3分)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是 . 12.(3分)如表是函数y=2x+b与部分自变量与函数值的对应关系,结合表格,当y=2x+b的图象在的图象上方时,则x的取值范围是 . x ﹣2 1 2x+b ﹣2 1 7 ﹣2 7 13.(3分)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE= . 14.(3分)如图,已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,点E为边BC上一点,连接DE,以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG,连接AF.当点E在边BC上运动时,AF的最小值是 . 三、作图题(本题满分4分)用圆规和直尺作图,不写作法,保留痕迹。 15.(4分)已知:如图, ABC;求作:点P,使PA=PC,且点P在 ABC边AB的高线上. 四、解答题(本题满分74分,共10道小题) 16.(8分)(1)计算:; (2)解不等式组:,并在数轴上表示它的解集. 17.(6分)为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛. (1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是 ; (2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率. 18.(6分)随着快递行业在农村的深入发展,全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势,某农产品种植户经过前期调研,打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此,该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价,并整理、描述、分析如下: 配送速度和服务质量得分统计表: 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 s甲2 乙 8 8 7 s乙2 (1)补全频数分布直方图,扇形统计图中圆心角 的度数为 ; (2)表格中的m= ,s甲2 s乙2(填“>”“<”或“=”); (3)综合表中的统计量,你认为该农产品种植户应选择哪家公司?请说明理由. 19.(6分)拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上.如图1,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面夹角∠ACG=53 ;如图2,当拉杆伸出两节(AM、MB)时,AC与地面夹角∠ACG=37 ,两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度. (参考数据:sin53 ≈,sin37 ≈,tan53 ≈,tan37 ≈) 20.(6分)如图,点A(﹣2,y1)、B(﹣6,y2)在反比例函数y=(k<0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为C、D,AC与BD相交于点E. (1)根据图象直接写出y1、y2的大小关系,并通过计算加以验证; (2)结合以上信息,从①四边形OCED的面积为2,②BE=2AE这两个条件中任选一个作为补充条件,求k的值. 你选择的条件是 (只填序号). 21.(6分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC= ,点D是直线BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE,连接CE,DE. (1)如图①,当 =60 ,且点D在线段BC上时,线段BD和CE之间的数量关系是 ; (2)如图②,当 =90 ,且点D在线段BC上时,猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系,并加以证明; (3)当 =90 ,AB=6,BD=2时,请求出DE的长. 22.(8分)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)求修建每个A种,B种光伏车棚分别需投资多少万元? (2)若修建A,B两种光伏车棚共20个,要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍,问修建多少个A种光伏车棚时,可使投资总额最少?最少投资总额为多少万元? 23.(8分)如今我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处,另一端固定在离地面高2米的墙体B处,现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系满足y=﹣x2+bx+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为6米. (1)直接写出b,c的值; (2)求大棚的最高处到地面的距离; (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜,需搭建高为米的竹竿支架若干,已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿,则共需要准备多少根竹竿? 24.(10分)问题:某兴趣小组开展综合实践活动:如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C B A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系. 探究:(1)[初步感知]:如图1,当点P由点C运动到点B时.①当t=1时,S= . ②求出S关于t的函数解析式; (2)[建立模型]:当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象,请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长. (3)[延伸探究]:若存在3个不同时刻分别为t1,t2,t3(t1<t2<t3),这3个时刻分别对应的正方形DPEF的面积均相等,求t1+t2的值. 25.(10分)如图,在 ABC中,∠C=90 ,AB=5,BC=3.动点P从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动,当点P不与 ABC的顶点重合时,过点P作PD⊥AB于点D,以PD为边作矩形PDEF,使点F、点C始终在直线PD的同侧,且PD=2DE,设点P的运动时间为t秒. (1)当点P在BC边上时,用含t的代数式表示线段PF的长; (2)当点F落在∠A的平分线上时,求t的值; (3)连结FC,当∠PFC为钝角时,求t的取值范围. 2024-2025学年山东省青岛市莱西市九年级(上)期末数学试卷(五四学制) 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C C C C 一、选择题(本题满分24分,共8道小题,每小题3分) 1.(3分)下面四个图形中,既是轴对称图形也是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点选择180 ,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形. 【解答】解:A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意; B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意; C.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意; D.既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意. 故选:D. 2.(3分)2024年10月30日,神舟十九号载人飞船取得圆满成功,3名航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽顺利进驻中国空间站,与神舟十八号3名航天员顺利会师.载人航天飞船的发射场受到我国超过120000000人的关注,120000000这个数字用科学记数法表示为( ) A.1.2 109 B.1.2 108 C.12 107 D.0.12 109 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a 10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:120000000=1.2 108. 故选:B. 3.(3分)几何体的三视图如图所示,这个几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 【解答】解:根据该组合体的三视图发现该几何体为 . 故选:C. 4.(3分)下列运算中,计算正确的是( ) A.6m3 2m=3m2 B.(﹣2a2)3=﹣6a6 C.m2+m3=2m5 D.(a﹣b)2=a2﹣b2 【答案】A 【分析】根据整式除法、积的乘方的运算法则以及合并同类项和完全平方公式计算分析即可. 【解答】解:A、6m3 2m=3m2,原式计算正确,故选项符合题意; B、(﹣2a2)3=﹣8a6,原式计算错误,故选项不符合题意; C、m2和m3不是同类项,不能合并,故选项不符合题意; D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,原式计算错误,故选项不符合题意. 故选:A. 5.(3分)某施工队挖掘一条长90米的隧道,开工后每天比原计划多挖1米,结果提前3天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖x米,则依题意列出正确的方程为( ) A.=3 B. C. D. 【答案】C 【分析】设原计划每天挖x米,根据工作总量=工作时间 工作速度,要注意的是提前3天完成,根据这个等量关系可列出方程求解. 【解答】解:若设原计划每天挖x米, 则开工后每天挖(x+1)米,那么原计划用的时间为,开工后用的时间为, 因为提前3天完成任务,所以得. 故选:C. 6.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥BC于点H,连接OH,∠BAD=56 ,则∠DHO的度数是( ) A.38 B.34 C.28 D.24 【答案】C 【分析】首先根据菱形的一组邻角互补可以求出∠ABC=124 ,再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、OB=OD,所以可得∠BDH=28 ,根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得HO=DO,根据等边对等角可得∠DHO=∠BDO=28 . 【解答】解:如下图所示, 由菱形性质可得∠BAD+∠ABC=180 , ∵∠BAD=56 , ∵∠ABC=124 , ∴, ∵DH⊥BC, ∴∠DHB=90 , 在Rt DBH中,∠BDH=90 ﹣∠DBH=90 ﹣62 =28 , ∵OB=OD, ∴点O是BD的中点, ∴HO=DO, ∴∠DHO=∠BDO=28 . 故选:C. 7.(3分)如图,在 ABC中,∠A=30 ,∠C=45 ,BC=2,则的长度为( ) A. B. C. D.2 【答案】C 【分析】根据题意和图形,可以求得∠AOB和∠BOC的度数,从而可以得到OB的长,然后根据弧长公式即可求得的长度. 【解答】解:连接OA、OB、OC,如图所示, ∵∠CAB=30 ,∠ACB=45 , ∴∠BOC=60 ,∠AOB=90 , ∵OB=OC,BC=2, ∴ OBC是等边三角形, ∴OB=2, ∴的长度为:= , 故选:C. 8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0;②a+c=b;③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x﹣5);④当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据图像信息一一判断即可. 【解答】解:由图象可知:a<0,b>0,c>0, ∴abc<0,故①正确, ∵x=﹣1时,y=0, ∴a﹣b+c=0, ∴a+c=b,故②正确, ∵函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2, ∴抛物线与x轴的另一个交点为(5,0), ∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a(x+1)•(x﹣5),故③错误, ∵抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=a(x2﹣4x﹣5), ∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣9a), 观察图象可知当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根,故④正确. 故选:C. 二、填空题(本题满分18分,共6道小题,每小题3分) 9.(3分)计算:= 2﹣1 . 【答案】2﹣1. 【分析】先化简二次根式、计算零指数幂,然后计算加减法. 【解答】解: =+1 =2﹣2+1 =2﹣1. 故答案为:2﹣1. 10.(3分)如图, ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4),将 ABC向下平移2个单位长度得到 A1B1C1,之后将 A1B1C1绕点B1逆时针旋转90 得到 A2B1C2,则点C2的坐标是 (3,0) . 【答案】(3,0). 【分析】根据平移的性质、旋转的性质可得答案. 【解答】解:如图, ∴点C2的坐标是(3,0). 故答案为:(3,0). 11.(3分)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是 . 【答案】见试题解答内容 【分析】如图(见解析),连接OA,O′A,过点A作AB⊥OO′于点B,先证出 OO′A是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠AOO′=∠AO′O=60 ,OB=1,再根据阴影部分的面积等于S扇形OAO′+S扇形O′AO﹣S OO′A求解即可得. 【解答】解:如图,连接OA,O′A,过点A作AB⊥OO′于点B, 由题意可知,OA=O′A=OO′=2, ∴ OO′A是等边三角形, ∴∠AOO′=∠AO′O=60 ,OB=OO′= 2=1, ∴AB===, 则阴影部分的面积是S扇形OAO′+S扇形O′AO﹣S OO′A = =, 所以阴影部分的面积是 . 故答案为:. 12.(3分)如表是函数y=2x+b与部分自变量与函数值的对应关系,结合表格,当y=2x+b的图象在的图象上方时,则x的取值范围是 ﹣<x<0或x>1 . x ﹣2 1 2x+b ﹣2 1 7 ﹣2 7 【答案】﹣<x<0或x>1. 【分析】根据表格信息建立方程组求解k,b的值,由表格信息可得两个函数的交点坐标,再结合函数图象可得答案. 【解答】解:当x=﹣时,2x+b=﹣2,即﹣7+b=﹣2, ∴b=5, ∴一次函数为y=2x+5, 当x=1时,y=7, ∵当x=1时,y==7即k=7, ∴反比例函数为:y=, 由表格信息可得:两个函数的交点坐标分别为(﹣,﹣2)(1,7), ∴当y=2x+b的图象在y=图象上方时,x的取值范围为﹣<x<0或x>1. 故答案为:﹣<x<0或x>1. 13.(3分)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE= . 【答案】见试题解答内容 【分析】在Rt ABC中,先求出AB,AC继而得出AD,再由 ADE∽ ACB,利用对应边成比例可求出DE. 【解答】解:∵BC=6,sinA=, ∴AB=10, ∴AC==8, ∵D是AB的中点, ∴AD=AB=5, ∵ ADE∽ ACB, ∴=,即=, 解得:DE=. 故答案为:. 14.(3分)如图,已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,点E为边BC上一点,连接DE,以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG,连接AF.当点E在边BC上运动时,AF的最小值是 10 . 【答案】见试题解答内容 【分析】过点E作EH⊥AD于点H,过点F作FK⊥BE,交BE的延长线于点K,交AB的延长线于点M,利用矩形的判定与性质,正方形的性质,直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF=EH=6,KE=HD,设AH=x,则HD=EK=8﹣x,MH=x,利用勾股定理,配方法以及非负数的意义解答即可得出结论. 【解答】解:过点E作EH⊥AD于点H,过点F作FK⊥BE,交BE的延长线于点K,交AB的延长线于点M,如图, ∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD=6,AD=BC=8,∠C=∠ADC=90 , ∵EH⊥AD, ∴四边形CDHE为矩形, ∴EH=CD=6, ∵四边形DEFG为正方形, ∴EF=ED,∠FED=90 . ∴∠KEF+∠HED=90 . ∵FK⊥BE, ∴∠KFE+∠KEF=90 , ∴∠KFE=∠HED. 在 KFE和 HED中, , ∴ KFE≌ HED(AAS), ∴KF=EH=6,KE=HD. ∵∠BAH=∠AHE=∠MKH=90 , ∴四边形AHKM为矩形, ∴AH=MK,AM=HK,∠M=90 , 设AH=x,则HD=EK=8﹣x,MH=x, ∴AM=HK=HE+EK=14﹣x,MF=KF+MK=6+x, 在Rt AFM中, ∵AM2+MF2=AF2, ∴AF==, ∵2(x﹣4)2≥0, ∴当x=4时,AF取得最小值为=10. ∴AF的最小值是10. 故答案为:10. 三、作图题(本题满分4分)用圆规和直尺作图,不写作法,保留痕迹。 15.(4分)已知:如图, ABC;求作:点P,使PA=PC,且点P在 ABC边AB的高线上. 【答案】见解析. 【分析】根点C作CH⊥AB,作线段AC的垂直平分线EF,EF交CH于点P,点P即为所求. 【解答】解:如图,点P即为所求. 四、解答题(本题满分74分,共10道小题) 16.(8分)(1)计算:; (2)解不等式组:,并在数轴上表示它的解集. 【答案】(1).;(2)空集;数轴表示见详解. 【分析】(1)按照分式的运算法则化简即可; (2)分别求出不等式的解集,再得到原不等式组是解集,数轴上表示即可. 【解答】解:(1)原式=() = =.; (2), 解不等式①得:x, 解不等式②得:x≤1, ∴不等式组的解集为:空集. 在数轴上表示 17.(6分)为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛. (1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是 ; (2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由一共有3种等可能性的结果,其中恰好选中乙同学的有1种,即可求得答案; (2)先求出全部情况的总数,再求出符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率. 【解答】解:(1)∵已确定甲参加比赛,再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果,其中恰好选中乙的只有1种, ∴恰好选中乙的概率为:. 故答案为:. (2)画树状图如图: 共有12种等可能的结果数,其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8, ∴P(1女1男)==. ∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是. 18.(6分)随着快递行业在农村的深入发展,全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势,某农产品种植户经过前期调研,打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此,该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价,并整理、描述、分析如下: 配送速度和服务质量得分统计表: 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 s甲2 乙 8 8 7 s乙2 (1)补全频数分布直方图,扇形统计图中圆心角 的度数为 72 ; (2)表格中的m= 7.5 ,s甲2 < s乙2(填“>”“<”或“=”); (3)综合表中的统计量,你认为该农产品种植户应选择哪家公司?请说明理由. 【答案】(1)补全频数分布直方图见解答;72 . (2)7.5;<. (3)见解答. 【分析】(1)求出甲公司配送速度得分为9分的频数,补全频数分布直方图即可;用360 乘以扇形统计图中“7分”的百分比,即可得扇形统计图中圆心角 的度数. (2)根据中位数的定义可得m的值;根据方差的意义可得答案. (3)根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可. 【解答】解:(1)甲公司配送速度得分为9分的频数为10﹣2﹣3﹣1﹣1=3. 补全频数分布直方图如图所示. 扇形统计图中圆心角 的度数为360 (1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%)=72 . (2)由频数分布直方图可得,m=(7+8) 2=7.5. 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知,甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小, ∴s甲2<s乙2. 故答案为:7.5;<. (3)选择乙公司. 理由:乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司,说明乙公司的整体配送速度较快(答案不唯一,合理即可). 19.(6分)拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上.如图1,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面夹角∠ACG=53 ;如图2,当拉杆伸出两节(AM、MB)时,AC与地面夹角∠ACG=37 ,两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度. (参考数据:sin53 ≈,sin37 ≈,tan53 ≈,tan37 ≈) 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意,设设AB=x cm,分两种情况计算出AF和AH的长,利用AF=AH建立方程(60+x)•sin53 =(60+2x)•sin37 ,求出x值即可. 【解答】解:如图1,作AF⊥CG,垂足为F,设AB=x cm,则AC=60+x, ∵sin53 ==, ∴AF=(60+x)•sin53 , 如图2,作AH⊥CG,垂足为H,则AC=60+2x, ∴AH=(60+2x)•sin37 , ∵AF=AH, ∴(60+x)•sin53 =(60+2x)•sin37 , ∴, 解得:x=30. 答:每节拉杆的长度为30cm. 20.(6分)如图,点A(﹣2,y1)、B(﹣6,y2)在反比例函数y=(k<0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为C、D,AC与BD相交于点E. (1)根据图象直接写出y1、y2的大小关系,并通过计算加以验证; (2)结合以上信息,从①四边形OCED的面积为2,②BE=2AE这两个条件中任选一个作为补充条件,求k的值. 你选择的条件是 ① (只填序号). 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据图象可知,y1>y2,再把点A和点B的横坐标分别代入反比例函数,分别表达出y1,y2的值进行验证即可; (2)由(1)可表达点E的坐标,进而可得结论. 【解答】解:(1)根据图象可知,y1>y2, ∵点A(﹣2,y1)、B(﹣6,y2)在反比例函数y=(k<0)的图象上, ∴y1=﹣,y2=﹣, ∵k<0, ∴﹣>﹣>0,即y1>y2. (2)选择①作为条件; 由(1)可得,A(﹣2,﹣),B(﹣6,﹣), ∴OC=2,BD=6,AC=﹣,OD=﹣ ∴DE=OC=2,EC=OD=﹣, ∵四边形OCED的面积为2, ∴2 (﹣)=2,解得k=﹣6. 21.(6分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC= ,点D是直线BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE,连接CE,DE. (1)如图①,当 =60 ,且点D在线段BC上时,线段BD和CE之间的数量关系是 BD=CE ; (2)如图②,当 =90 ,且点D在线段BC上时,猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系,并加以证明; (3)当 =90 ,AB=6,BD=2时,请求出DE的长. 【答案】(1)BD=CE; (2)BD2+CD2=DE2;证明见解答过程; (3)DE的长度为2或2. 【分析】(1)由将线段AD绕点A逆时针旋转60 得到线段AE,得AD=AE,∠BAC=∠DAE=60 ,从而∠BAD=∠CAE,故 ABD≌ ACE(SAS),得BD=CE; (2)根据AB=AC, =90 ,得∠B=∠BCA=45 ,由 ABD≌ ACE(SAS),即知∠B=∠ACE=45 ,BD=CE,从而∠DCE=∠BCA+∠ACE=90 ,有CE2+CD2=DE2,故BD2+CD2=DE2; (3)根据 =90 ,AB=AC=6,得BC=6,分两种情况:①当D在线段BC上时,CD=BC﹣BD=6﹣2=4,得DE===2,②当D在CB延长线上时,CD=BC+BD=8,得DE===2. 【解答】解:(1)BD=CE,理由如下: 如图: ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60 得到线段AE, ∴AD=AE,∠BAC=∠DAE=60 , ∴∠BAD=∠CAE, 在 ABD与 ACE中, , ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴BD=CE; (2)线段BD、CD、DE之间的数量关系为BD2+CD2=DE2,证明如下: 如图: ∵AB=AC, =90 , ∴∠B=∠BCA=45 , 同(1)可证 ABD≌ ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE=45 ,BD=CE, ∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=90 , ∴CE2+CD2=DE2, ∴BD2+CD2=DE2; (3)∵ =90 ,AB=AC=6, ∴BC=6, ①当D在线段BC上时,如图: ∵BD=2, ∴CD=BC﹣BD=6﹣2=4, 由(2)知BD2+CD2=DE2, ∴DE===2, ②当D在CB延长线上时,如图: ∵BD=2, ∴CD=BC+BD=8, ∴DE===2, 综上所述,DE的长度为2或2. 22.(8分)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)求修建每个A种,B种光伏车棚分别需投资多少万元? (2)若修建A,B两种光伏车棚共20个,要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍,问修建多少个A种光伏车棚时,可使投资总额最少?最少投资总额为多少万元? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元,修建一个B种光伏车棚需投资y万元,根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设修建A种光伏车棚m个,则修建B种光伏车棚(20﹣m)个,根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍,可列出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,设修建A,B两种光伏车棚共投资w万元,利用总价=单价 数量,可找出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元,修建一个B种光伏车棚需投资y万元, 根据题意得:, 解得:. 答:修建一个A种光伏车棚需投资3万元,修建一个B种光伏车棚需投资2万元; (2)设修建A种光伏车棚m个,则修建B种光伏车棚(20﹣m)个, 根据题意得:m≥2(20﹣m), 解得:m≥. 设修建A,B两种光伏车棚共投资w万元,则w=3m+2(20﹣m), 即w=m+40, ∵1>0, ∴w随m的增大而增大, 又∵m≥,且m为正整数, ∴当m=14时,w取得最小值,最小值为14+40=54. 答:修建A种光伏车棚14个时,投资总额最少,最少投资总额为54万元. 23.(8分)如今我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处,另一端固定在离地面高2米的墙体B处,现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系满足y=﹣x2+bx+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为6米. (1)直接写出b,c的值; (2)求大棚的最高处到地面的距离; (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜,需搭建高为米的竹竿支架若干,已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿,则共需要准备多少根竹竿? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据题意可推出点A坐标为(0,1),点B坐标为(6,2),将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得b、c的值; (2)将二次函数一般式化为顶点式,即可求得大棚的最高点; (3)先求出大棚内可以搭建支架土地的宽,再求需要搭建支架部分的面积,进而求得需要准备的竹竿. 【解答】解:(1)b=,c=1. (2)由y==, 可知当x=时,y有最大值, 故大棚最高处到地面的距离为米; (3)令y=,则有=, 解得x1=,x2=, 又∵0≤x≤6, ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣=(米), 又大棚的长为16米, ∴需要搭建支架部分的土地面积为16 =88(平方米), 故共需要88 4=352(根)竹竿, 答:共需要准备352根竹竿. 24.(10分)问题:某兴趣小组开展综合实践活动:如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C B A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系. 探究:(1)[初步感知]:如图1,当点P由点C运动到点B时.①当t=1时,S= 3 . ②求出S关于t的函数解析式; (2)[建立模型]:当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象,请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长. (3)[延伸探究]:若存在3个不同时刻分别为t1,t2,t3(t1<t2<t3),这3个时刻分别对应的正方形DPEF的面积均相等,求t1+t2的值. 【答案】(1)①3;②S=t2+2(0≤t<2); (2)S=t2﹣8t+18,6; (3)4. 【分析】(1)①当t=1时,即PC=1,CD=,即可求解; ②在Rt PCD中,CD=,PC=t,则S=PD2=t2+2,即可求解; (2)用待定系数法求出函数表达式,进而求解; (3)从图象看,t1、t2关于x=2对称,则(t1+t2)=2,即可求解. 【解答】解:(1)①当t=1时,即PC=1, ∵CD=, 则PD2=CD2+PC2=2+1=3, S=PD2=3, 故答案为:3; ②在Rt PCD中,CD=,PC=t, 则S=PD2=t2+2, 当S=6时,即t2+2=6(0≤t<2), 解得:t=2(负值已舍去), 即BC=2, 当t=1时,S=t2+2=3; (2)由(1)知,抛物线过点(2,6),顶点为:(4,2), 则抛物线的表达式为:S=a(t﹣4)2+2, 将(2,6)代入上式得:6=a(2﹣4)2+2, 解得:a=1, 则抛物线的表达式为:S=(t﹣4)2+2=t2﹣8t+18(t>2), 当S=18时,则t2﹣8t+18=18, 解得:t=0(舍去)或8, 则AB=8﹣2=6; (3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2),如图: 从两个函数表达式看,两个函数a相同,都为1, 若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等, 则t1,t2,t3如图所示,此时符合题意. 从图象看,t1、t2关于t=2对称, 则(t1+t2)=2 2, 则t1+t2=4. 25.(10分)如图,在 ABC中,∠C=90 ,AB=5,BC=3.动点P从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动,当点P不与 ABC的顶点重合时,过点P作PD⊥AB于点D,以PD为边作矩形PDEF,使点F、点C始终在直线PD的同侧,且PD=2DE,设点P的运动时间为t秒. (1)当点P在BC边上时,用含t的代数式表示线段PF的长; (2)当点F落在∠A的平分线上时,求t的值; (3)连结FC,当∠PFC为钝角时,求t的取值范围. 【答案】(1)PF=2t; (2)t的值为; (3)当∠PFC为钝角时,t的取值范围为0<t<或<t<. 【分析】(1)运用勾股定理求得AC=4,再证得 BPD∽ BAC,根据全等三角形的性质即可求得答案; (2)分两种情况:当点P在BC边上时,当点P在AC边上时,分别求出t的值即可; (3)当点P在BC边上,∠PFC=90 时,可证得 BCE∽ BAC, CPF∽ ABC,利用相似三角形性质求得t的值;当点P在AC边上,∠PFC=90 时,同理求得t的值,即可得出t的取值范围. 【解答】解:(1)在 ABC中,∠C=90 , ∵AB=5,BC=3. ∴AC==4, 由题意得BP=5t, ∵PD⊥AB, ∴∠PDB=∠ACB=90 , ∵∠PBD=∠ABC, ∴ BPD∽ BAC, ∴==, ∴==, ∴PD=4t,BD=3t, ∵PD=2DE, ∴DE=PD=2t, ∵四边形PDEF是矩形, ∴PF=DE=2t; (2)当点P在BC边上时,如图1,连接AF,BF,CF,过点F作FG⊥AC于点G,作FH⊥BC于点H, ∵AF平分∠BAC,FE⊥AB,FG⊥AC, ∴FG=FE, ∵四边形PDEF是矩形, ∴FE=PD=4t, ∴FG=4t, ∵AE=AB﹣BD﹣DE=5﹣3t﹣2t=5﹣5t, ∴AG=AE=5﹣5t, ∴CG=AC﹣AG=4﹣(5﹣5t)=5t﹣1, ∵∠CGF=∠CHF=∠ACB=90 , ∴四边形CGFH是矩形, ∴FH=CG=5t﹣1, ∵S ABF+S BCF+S ACF=S ABC, ∴AB•EF+BC•FH+AC•FG=AC•BC, 即 5 4t+ 3 (5t﹣1)+ 4 4t= 4 3, 解得:t=; 当点P在AC边上时,如图2,过点F作FG⊥AC于点G,作FH⊥BC于点H,连接AF,BF,CF, 由题意得AP=7﹣5t, ∵∠ADP=∠ACB=90 ,∠PAD=∠BAC, ∴ APD∽ ABC, ∴==, ∴==, ∴PD=(7﹣5t),AD=(7﹣5t), ∵PD=2DE, ∴DE=PD=(7﹣5t), ∵四边形PDEF是矩形, ∴FE=PD=(7﹣5t),DE=PF, ∴AE=AD+DE=(7﹣5t)+(7﹣5t)=(7﹣5t), ∵AF平分∠BAC,FE⊥AB,FG⊥AC, ∴FG=FE=(7﹣5t), 同理可得四边形CGFH是矩形, ∴FH=CG=AC﹣AG=AC﹣AE=4﹣(7﹣5t)=t﹣, ∵S ABF+S BCF+S ACF=S ABC, ∴AB•EF+BC•FH+AC•FG=AC•BC, 即 5 (7﹣5t)+ 3 (t﹣)+ 4 (7﹣5t)= 4 3, 解得:t=, 当t=时,点P与点A重合,不符合题意; 综上所述,t的值为; (3)当点P在BC边上,∠PFC=90 时,如图3,连接CF, 则C、F、E在同一条直线上, ∵∠BEC=∠ACB=90 ,∠CBE=∠ABC, ∴ BCE∽ BAC, ∴==, ∴==, ∴CE=,BE=, ∴CF=﹣4t, ∵PF∥AB, ∴∠CPF=∠B, ∵∠CFP=∠ACB=90 , ∴ CPF∽ ABC, ∴=, ∴=, 解得:t=, ∴0<t<; 当点P在AC边上,∠PFC=90 时,如图4, 同理可得:t=, ∴<t<; 综上所述,当∠PFC为钝角时,t的取值范围为0<t<或<t<. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$