精品解析：江苏省盐城市大丰区联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024−2025学年江苏省盐城市大丰区联考九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 4. 若抛物线经过点，则的值是（ ） A. 7 B. -1 C. -2 D. 3 5. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 6. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 8. 老师给出了二次函数的部分对应值如表： … -3 -2 0 1 3 5 … … 7 0 －8 －9 －5 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是方程的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 二次函数图像的顶点坐标是____________． 10. 若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为____________. 11. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 12. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________． 14. 如图，是的直径，C、D是上的两点，，则_______°． 15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为_____． 17. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为_____． 18. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）解方程：； （2）计算：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； （2）以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 21. 二次函数的图象与轴交点坐标是． （1）求此二次函数解析式； （2）在图中画出二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围为____________． 22. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的________，________； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________； （3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数． 23. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练． （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________； （2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率． 24. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为，隔离区面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）求隔离区面积的最大面积． 25. 如图，是的直径，是的切线，交于E，点D在上，满足． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 26. 【动手操作】如图1是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿异于的直径对折，点B落在上的点C处（不与点A重合），将纸片还原后，连接．若的直径为8． （1）【数学思考】试确定弦与直径的位置关系，并说明你的理由； （2）【问题探究】如图2，上述操作方法、条件不变，当时，求的长； （3）【类比拓展】如图3，上述操作方法、条件不变，当时，求的长． 27. 如图，二次函数的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，点为的中点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为，与分别交于点两点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年江苏省盐城市大丰区联考九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大． 【详解】解：该日的气温极差为． 故选：D． 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1． 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解. 4. 若抛物线经过点，则的值是（ ） A. 7 B. -1 C. -2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把（-2，3）代入即可解得的值 【详解】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7 故选A. 【点睛】本题考查二次函数，解题关键在于熟练掌握计算法则. 5. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该选手的成绩是，（分）， 故选：D． 6. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的余弦，熟记余弦的定义是解本题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案. 【详解】∵AB是直径， ∴∠C=90°， ∵∠ABC=30°， ∴AB=2AC=8， ∴OA=OB=4， 故选A． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 8. 老师给出了二次函数的部分对应值如表： … -3 -2 0 1 3 5 … … 7 0 －8 －9 －5 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是方程的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格，任选三点，确定抛物线的解析式，根据抛物线的解析式，结合题意，逐一判断即可. 【详解】∵(-3，7)和（5，7）是对称点， ∴抛物线的对称轴为x=1， ∴结论②错误； 设抛物线的解析式为y=a， 把（-2，0）和（0，-8）分别代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y=， ∴抛物线开口向上， ∴结论①正确； 令y=0，得 =0， 解得，， ∴当时，， ∴结论③正确； ∵， ∴=0， 当x=3时， =0， ∴结论④正确； 当y=5时，得 =5， 整理，得， 解得x==， ∴， 当y=6时，得 =6， 整理，得， 解得x==， ∴， ∴， ∴结论⑤正确； 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，解答时，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法确定解析式，灵活处理二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 二次函数图像的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的顶点式解析式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．如果，那么函数图像的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标是， 故答案为：． 10. 若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 11. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 两人射击成绩比较稳定的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 12. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律即可得出解析式． 【详解】 抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移规律，即“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律并能够应用数形结合的思想是解题的关键． 14. 如图，是的直径，C、D是上的两点，，则_______°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 先利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为30． 15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m． 【答案】8 【解析】 【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高． 【详解】如图： ∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°， ∴△ABC∽△DBE， ∴BC：BE=AC：DE， 即1：5=1.6：DE， ∴DE=8m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为_____． 【答案】1：4 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质和相似三角形的判定证明△BFE∽△DFC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点， ∴BE∥CD，CD=AB=2BE， ∴∠EBF=∠CDF，∠BEF=∠DCF， ∴△BFE∽△DFC， ∴， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键． 17. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接OC，根据等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，求得，然后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接OC， ∵CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD，即∠OCD=90°， ∴∠D+∠COD=90°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=2∠A， ∵∠A=∠D， ∴∠COD=2∠D， ∴3∠D=90°， ∴∠D=30°， ∴∠COD=60°， ∵CD=3， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 18. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、实数的运算，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程解答即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， ∴； （2）原式 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； （2）以点O为位似中心在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）已知点在线段上，则点P在位似上的对应点坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了平移变换． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后描点可得； （2）把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点可得； （3）把点P的横纵坐标都乘以2得到其对应点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：点P在位似上的对应点坐标为． 故答案为：． 21. 二次函数的图象与轴交点坐标是． （1）求此二次函数解析式； （2）在图中画出二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围为____________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法，把点代入计算，即可得到答案； （2）先求出抛物线的顶点和与x轴的交点坐标，然后画出图像即可； （3）根据所画的图像，即可得到答案． 【详解】解：（1）把代入， 得：， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为：，， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 抛物线的图像如图， （3）由（2）可知， 当时，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质． 22. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的________，________； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________； （3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数． 【答案】（1）4，5；（2）4次；4次；（3）90人． 【解析】 【分析】（1）观察所给数据即可得到a，b的值； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论． 【详解】解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人， 所以，a=4，b=5 故答案为：4，5； （2）完成表格如下 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 4 6 5 2 由表格知，参加4次志愿活动的人数最多，为6人， ∴众数是4次 20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4， ∴中位数为（次） 故答案为：4次；4次； （3）20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为， 所以， ∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：（人） 答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人． 【点睛】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练． （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________； （2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式，直接求解即可； （2）画出树状图，展示所有等可能的结果，在利用概率公式即可求解． 【详解】解：（1）根据题意：取走的是写有“自我暗示”的概率=1÷4=， 故答案是：； （2）画树状图如下： ∵一共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的情况有6种， ∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率=6÷12=． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，画树状图，展示等可能的结果数，是解题的关键． 24. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为，隔离区面积为． （1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）求隔离区面积的最大面积． 【答案】（1）；（2）隔离区面积最大为 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为，然后根据长方形面积公式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为， ∴； （2）∵， ∵，，， ∴当时，有最大值，最大值， ∴隔离区面积最大为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出S与x的关系式． 25. 如图，是的直径，是的切线，交于E，点D在上，满足． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 证明：由（1）可知：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角及相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）易证，然后根据相似三角形的性质可求证； （3）由题意可设，则，由（2）可得，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可设，则， 由（2）可知， ∴， 解得：，（负根舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 26. 【动手操作】如图1是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿异于的直径对折，点B落在上的点C处（不与点A重合），将纸片还原后，连接．若的直径为8． （1）【数学思考】试确定弦与直径的位置关系，并说明你的理由； （2）【问题探究】如图2，上述操作方法、条件不变，当时，求的长； （3）【类比拓展】如图3，上述操作方法、条件不变，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据圆的性质，得到；根据折叠的性质，得；根据等腰三角形的性质，得，继而得到即可得证． (2)根据，结合，得到，利用勾股定理，垂径定理计算即可． (2)根据得；根据得，根据对顶角的性质，得继而得，；根据圆的性质，得到，得证，运用，列比例式建立方程即可． 【小问1详解】 弦与直径的位置关系是．理由如下： 根据圆的性质，得 ； 根据折叠的性质，得； ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 根据圆的性质，得 ； 根据折叠的性质，得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的直径为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，点为的中点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为，与分别交于点两点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ② （3）存在，， 【解析】 【分析】（）利用交点式解答即可求解； （）①先求出直线的表达式，设点的坐标为，可表示点的坐标，再把纵坐标相减即可表示线段的长度；②先求出直线的表达式，表示出点的坐标，进而表示出线段的长，利用等式建立方程，求解即可； （）先得出抛物线的对称轴为直线，取的中点为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由此建立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点，两点， ∴抛物线的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：①∵二次函数， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， ∴， ∴直线的表达式为， ∵， ∴， ∴； ②∵为的中点， ∵， ∴， 设的表达式为，把、代入得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 【小问3详解】 解：存在． ∵，， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，中点坐标公式，两点间距离公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $