精品解析：广东省汕尾市2024-2025学年九年级上学期义务教育阶段教学监测数学试题

汕尾市2024—2025学年度第一学期义务教育阶段教学质量监测 九年级 数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 2. 辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨．数据67500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一边靠墙，其他三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形花圃．设边，则下面关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 若方程一个根是1，则a的值是______． 13. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 14. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点继续旋转至次得到正方形，则点的坐标是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解方程：． 17. 如图，已知的三个顶点坐标为、、． （1）请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标______． 18. 学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到黑球的次数m 26 51 74 127 199 250 753 摸到黑球的频率 0.260 0255 0.247 0.254 0.249 0.250 0.251 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到黑球的概率约______．（结果精确到） （2）若盒子里装有4个球，则根据统计数据可知黑球有______个；若从盒子里一次性随机摸出两个球，请用列表法或画树状图法求摸出的两个球同色的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知二次函数的图象交轴于点，，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式；（结果用一般式表示） （2）当时，求函数值y的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 2024年巴黎奥运会吉祥物（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物5月份到7月份销售量月平均增长率； （2）经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大?最大为多少元? 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． （1）利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 23. 【建立模型】 （1）如图1，点B是线段上的一点，，垂足分别为点C，B，D，．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，点A在一次函数的图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若一次函数经过点A，B． ①求的值； ②求经过点A，B的直线的解析式． 【拓展延伸】 （3）如图3，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得?若存在，求出点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汕尾市2024—2025学年度第一学期义务教育阶段教学质量监测 九年级 数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的计算，根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的绝对值的定义即可解决． 【详解】解：， 故选：A． 2. 辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨．数据67500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成的形式，其中，n是正整数且n的值比原数的整数位少1；根据科学记数法的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此作答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，掌握由顶点式的形式得出顶点坐标是关键．根据顶点式的顶点坐标为，可直接得出答案． 【详解】解：抛物线为顶点式，顶点坐标为， 故选：C． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据若，是方程的两个根，则，，即可解题． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：A． 6. 下列诗句所描述事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意； B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意； C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形．首先根据圆周角定理可知，再根据圆内接四边形对角互补可以求出的度数． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故选：C． 8. 如图，一边靠墙，其他三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形花圃．设边，则下面关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意先用代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：∵矩形的边米，面积平方米， ∵一边靠院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃， ∴米， ∴米， ∴可列出方程：， 故选：B． 9. 如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出是解答此题的关键，根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出即可求出的半径． 【详解】解：如图，连结， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长是2， ∴， 故选：B． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向以及与y轴的交点情况可对①进行判断；根据对称轴的位置结合开口方向，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，的取值范围是，所以④正确； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若方程的一个根是1，则a的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．由题意可把代入一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意把代入一元二次方程得： ，解得：， 故答案为：2． 13. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为， 故答案为：． 14. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点继续旋转至次得到正方形，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的规律探究、正方形的性质、勾股定理，分别计算出、、、的坐标，可以得出“次一个循环”，根据规律可得点的坐标． 【详解】解：正方形的边长为， ， 第一次旋转后到达的位置， 如下图所示， 则有，， ， 点的坐标为， 第二次旋转后到达的位置， 如下图所示， 则的坐标为， 第三次旋转后到达的位置， 如下图所示， 则的坐标为， 根据规律可知的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为， 点的坐标是次一个循环， 又， 是第次循环的第一个位置， 的坐标是． 故答案为： ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二方程的解法．用因式分解法求解. 【详解】解： ， ， 解得：或． 17. 如图，已知的三个顶点坐标为、、． （1）请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标______； （2）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标______． 【答案】（1）图见详解，； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质对角线互相平分是中心对称图形，分类讨论即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得，根据中心对称的性质对称中心即为对称点连线的中点，找到中的点、、，连接、、，由图像得； 【小问2详解】 解：由题意可得， 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 当是的对角线时，中点坐标是 ，即， 则，即； 故D点坐标是：或或． 【点睛】本题考查作中心对称图形及平行四边形的性质，解题的关键是知道对称中心即为对称点连线的中点，知道中点公式 ，． 18. 学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到黑球的次数m 26 51 74 127 199 250 753 摸到黑球的频率 0.260 0.255 0.247 0.254 0.249 0.250 0.251 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到黑球的概率约______．（结果精确到） （2）若盒子里装有4个球，则根据统计数据可知黑球有______个；若从盒子里一次性随机摸出两个球，请用列表法或画树状图法求摸出的两个球同色的概率． 【答案】（1）摸到黑球的概率约为 （2）1；摸出两个球同色的概率为 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率及用树状图求概率． （1）根据利用频率估计概率求即可； （2）根据部分的具体数目=总体数目×相应频率计算即可；根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格知，摸到黑球的频率约为， ∴当n很大时，摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率约为； 小问2详解】 解：（个）， 则估计黑球有1个； 树状图如图； 共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色相同的情况有6种， ∴随机摸出的2个球的颜色相同的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知二次函数的图象交轴于点，，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式；（结果用一般式表示） （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）设交点式，然后把点坐标代入求出值即可； （2）结合函数性质，写出当时对应的函数值的范围即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，函数最大值为， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 解得：或， ∵， ∴． 21. 2024年巴黎奥运会吉祥物（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大?最大为多少元? 【答案】（1） （2）当该吉祥物降价元时，8月份的销售利润可达最大，最大为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设吉祥物降价为m元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，设8月份的销售利润为元，得到，根据二次函数的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该吉祥物降价为m元，则每件的销售利润为元，月销售量为 件，设8月份的销售利润为元， 根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时， 取得最大值为． 答：当该吉祥物降价元时，8月份的销售利润可达最大，最大为元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． （1）利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； （2）求证：为的切线； （3）连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）先证明，得出，再证明求出，进而求出，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为圆的切线； 【小问2详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴ ． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：设与交于点H， 由题意得即为的切线， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ， ． 23. 【建立模型】 （1）如图1，点B是线段上的一点，，垂足分别为点C，B，D，．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，点A在一次函数的图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若一次函数经过点A，B． ①求值； ②求经过点A，B的直线的解析式． 【拓展延伸】 （3）如图3，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得?若存在，求出点M的横坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②直线的解析式为（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证； （2）①点A在一次函数的图象上，代入表达式求出结论； ②先求出点，将点代入得直线的解析式求出结论； （3）如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．证明，可得，，可得，求解，令， 可得M的横坐标为；如图，当M点位于x轴下方，且，同理可得，为．由，可得M的横坐标是． 【详解】（1）证明：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）①∵点A在一次函数的图象上， ∴， 解得：； ②如图所示，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， 一次函数经过点A，B， 将代入得：， 解得： ∴直线的解析式为； （3）存在； 如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E． ∵，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 令，得，， ∴， 又， ∴， ∴， 设表达式为，则 ， 解得：， ∴直线表达式， 令，得，(舍去)， ∴M的横坐标为； 如图，当M点位于x轴下方，且， 同理可得，直线表达式为． 由，得，(舍去) ∴M的横坐标是． 综上：M的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$