专题03 全等三角形中常见六种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题03 全等三角形中常见六种模型 模型一、一线三等角构造全等模型 1 模型二、手拉手模型-旋转型全等 4 模型三、倍长中线模型 9 模型四、平行线+线段中点构造全等模型 15 模型五、角平分线+垂直构造全等模型 17 模型六、半角模型 20 25 模型一、一线三等角构造全等模型 三步模型抽离法 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下: 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个三角形共顶点; 特征2:是否存在一条直线上有三个等角; 特征3:是否存在等线段 第二步：抽离模型 在题图中抽离出两个全等三角形 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 1．（2023·江苏扬州·一模）如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（江苏·专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： (1)如图1，是等腰直角三角形，，，则_______； (2)如图2，为正三角形，，，则________； (3)如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 3．（江苏·专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】 (3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 4．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 模型二、手拉手模型-旋转型全等 三步模型抽离法 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个等腰三角形; 特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点 第二步：抽离模型 以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下： 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 1．（2023•泰州模拟）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到，连接、． (1)求证：； (2)若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 2．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．    (1)当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________； ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； (2)当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】 如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】 如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】 如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 4．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 模型三、倍长中线模型 倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 1．（24-25江苏南京·阶段练习）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决计算和证明问题． (1)【初步尝试】如图1，中， 为中线，延长到点，使，连接，可得结论，． 请按照上述步骤， 完成操作并说明理由． (2)【解决问题】如图2，中，为中线，点在中线上，且．求证：． 2．（24-25江苏泰州）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 3．（24-25江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】 （2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 4．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 5．（2022·江苏淮安·二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 模型四、平行线+线段中点构造全等模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏苏州·一模）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连接，．若，则的长为 ． 3．（江苏连云港·学业考试）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为 ． 4．（2023·湖南长沙·二模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40．求菱形的周长． 5．（23-24江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证； (1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明； (2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系． 模型五、角平分线+垂直构造全等模型 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) 1．（22-23江苏徐州·阶段练习）已知：如图，在中，，在边上取，过点作交于点若，，求的长． 2．（江苏苏州）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 3．（2020•徐州模拟）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 4．（22-23江苏）如图，在中，．点D是边上一点，，垂足为E．F是的中点，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 5．如图，已知在中，，，平分，交的延长线于点． 求证：． 模型六、半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 2．（山东德州·二模）如图1，在正方形中，E、F分别是上的点，且．则有结论成立； (1)如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． (2)若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 3．（22-23江苏）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC为外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；此时＝_____（直接写出结果）； (2)如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明； (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明； (4)在（3）问的条件下，若此时AN＝x，则Q＝_____（用x、L表示，直接写出结果）． 4．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 5．（23-24江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，点是边上的中点，平分于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，且，若，则的长为（　　）． A． B．2 C． D． 二、填空题 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，且满足，连，则，与三者之间有什么数量关系？ 7．（2023七年级下·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究图中线段、、之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ． (2)如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 8．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E、F分别是边、所在直线上的点，且，请画出图形（除图②外），并求证线段，，之间的数量关系． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 11．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：． （2）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，若，，求的长． （3）如图，中，，是高，，，求的长． 12．（江苏盐城·阶段练习）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 13．【一线三等角模型】如图1：点、、在一条直线上，，当时，有.理由： ，，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整.    【模型运用】如图2：，，，求的面积； 【能力提升】如图3：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 14．（江苏连云港）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 15．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 16．（2024•灌云县校级一模）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”． (1)如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝BC，求证：四边形ABCD是“准筝形”； (2)小军同学研究 “准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长； 小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC.请你按照小军的思路求的AC的长. (3)如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形中常见六种模型 模型一、一线三等角构造全等模型 1 模型二、手拉手模型-旋转型全等 11 模型三、倍长中线模型 24 模型四、平行线+线段中点构造全等模型 40 模型五、角平分线+垂直构造全等模型 48 模型六、半角模型 55 70 模型一、一线三等角构造全等模型 三步模型抽离法 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下: 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个三角形共顶点; 特征2:是否存在一条直线上有三个等角; 特征3:是否存在等线段 第二步：抽离模型 在题图中抽离出两个全等三角形 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 1．（2023·江苏扬州·一模）如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于，构造出一个P点，再画出的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意． 【详解】解：如图，在边上取点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作的外接圆交网格于， 根据圆周角定理，得， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识． 2．（江苏·专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： (1)如图1，是等腰直角三角形，，，则_______； (2)如图2，为正三角形，，，则________； (3)如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【答案】(1)； (2)； (3)3． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及角之间的关系，可得； （2）根据等边三角形的性质及角之间的关系，可得； （3）根据正方形的性质及角之间的关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （3）解：∵为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质． 3．（江苏·专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】 (3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【答案】(1)DE (2)见解析 (3) (4)2 【分析】（1）利用全等三角形对应边相等，可知； （2）分别过点和点作于点，于点．利用“字”模型证，，同理得出，推出．再证明，推出，即可证明点是的中点； （3）过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．先证，，推出，，．再证，推出，再通过等量代换证明； （4）同（3）可证， ，由勾股定理解直角可得，等量代换可得，可知，由此可解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：分别过点和点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 即点是的中点； （3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M． ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，． 同理可以证明， ∴，， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ． 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查“字”模型的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握“字”模型和类比推理思想． 4．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 【答案】(1) (2)8或9秒 【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解； (2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：      当t=2.5时，BE=2.5， ∵EF=10， ∴OE=EF=5， ∴OB=2.5， ∴EB=OB， 在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB， ∴△MBE≌△MBO(SAS)， ∴ME=MO， ∴ME=EO=MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM=60°， ∴． （2）解：连接GO和HO，如下图所示：      ∵∠GOH=90°， ∴∠AOG+∠BOH=90°， ∵∠AOG+∠AGO=90°， ∴∠AGO=∠BOH， 在△AGO和△OBH中，， ∴△AGO≌△BOH(AAS)， ∴AG=OB=BE-EO=t-5， ∵AB=7， ∴AE=BE-AB=t-7， ∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2， ∴(t-5)2+(12-t)2=52， 解得：t1=8，t2=9， 即t的值为8或9秒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键． 模型二、手拉手模型-旋转型全等 三步模型抽离法 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个等腰三角形; 特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点 第二步：抽离模型 以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下： 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 1．（2023•泰州模拟）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到，连接、． (1)求证：； (2)若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】（1）由，证出，由旋转的性质得到，，再证明可得到结论． （2）四边形是平行四边形，理由：由旋转的性质得，，又，得到，证明，得到，又，，所以，两组对边分别相等，从而证出是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， 绕点旋转得到， ，， ， 即， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． 当点恰好在线段上，如图示： 理由如下：如图，由（1）得，， ，， 由旋转的性质得，，， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的判定，解题的关键是利用好旋转的性质即旋转前后的图形是全等形． 2．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．    (1)当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________； ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； (2)当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 【答案】(1)①；②成立，证明见解析； (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定，易证和是等边三角形，得到，，，再利用“”证明，即可得到与的数量关系； ②由①可知，和是等边三角形，进而证明，得到，即可证明结论； （2）①根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定，易证和是等腰直角三角形，得到，，，进而得到，，易证，从而得到，即可得到与的数量关系； ②设，则，根据等腰直角的性质，得到，，分两种情况讨论：点在上和点在的延长线上，利用旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求解，即可求出，的值． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， 线段绕点旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②成立，理由如下： 由①可知，和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①，理由如下： ，， 是等腰直角三角形， ，， 线段绕点旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ； ②， 设，则， ，， 是等腰直角三角形， ，， 如图，当点在上时，此时，    由旋转的性质可知，是等腰直角三角形， ，， ，， 由勾股定理得：， ； 如图，当点在的延长线上时，此时，    同理可知，，， 由勾股定理得：， ， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握手拉手—旋转型全等是解题关键． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】 如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】 如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】 如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据正切的定义求解即可； （3）如图，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，，根据等边三角形的性质可得， ，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：如图，，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴； （2）如图，过点作于点，    ∵是边长为3的等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∴； （3）如图，过点作于点，    ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则，， ∵，是边长为3的等边三角形， ∴， ， ∴，   ∵， ∴， 即， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）①，②∠AEB的度数为；（2），∠BEC的度数为；（3）点到直线的距离为或． 【分析】（1）①由“SAS”可证△CDA≌△CEB，由全等三角形的性质可求AD=BE； ②由全等三角形的性质可得∠CEB=∠ADC=120°，即可求解； （2）首先证明△CAE∽△BAD，由相似三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=135°，，即可求解； （3）由题意可得点P在以点D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求出点C到BP的距离． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△CDA和△CEB中， ， ∴△CDA≌△CEB（SAS）， ∴； ②∵△CDA≌△CEB， ∴∠CEB=∠ADC， ∵∠CDE=60°， ∴∠ADC=120°=∠CEB， ∴∠AEB=120°-60°=60°， 故答案为①，②∠AEB的度数为； （2）证明：和均为等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ，， ， ， ， ， 故，； （3）∵点P满足PD=， ∴点P在以点D为圆心，为半径的圆上， ∵∠BPD=90°， ∴点P在以BD为直径的圆上， ∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连结BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E， ∵CD==BC，∠BCD=90°， ∴BD=2， ∵∠BPD=90°， ∴BP=， ∵∠BPD=90°=∠PHE=∠PEH， ∴PH=PE，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2，四边形PHED是矩形， ∴PH=DE， 在△BCH和△CDE中， ∴△BCH≌△CDE（AAS） ∴BH=CE，CH=DE， ∴CH=PH， ∵BP=3，BC=， ∴CH=PH=3-BH， 在Rt△CHB中，， 即， 解得BH=或， ∴点到直线的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 模型三、倍长中线模型 倍长中线 图一 图二 图三 3、过端点向中线作垂线 1．（24-25江苏南京·阶段练习）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决计算和证明问题． (1)【初步尝试】如图1，中， 为中线，延长到点，使，连接，可得结论，． 请按照上述步骤， 完成操作并说明理由． (2)【解决问题】如图2，中，为中线，点在中线上，且．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据题意作出图形，利用“”证明，结合全等三角形的性质即可证明结论； （2）延长到点，使，连接，首先证明，易得，，结合可得，进而证明，然后证明即可． 【详解】（1）根据题意，作图如下， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）如下图，延长到点，使，连接， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中线、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、对顶角等知识，理解并熟练运用“倍长中线”的方法构造全等三角形是解题关键． 2．（24-25江苏泰州）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）10 【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， 故答案为： ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 3．（24-25江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】 （2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，证明，得到，， ，再证明垂直平分，得到，据此根据线段的和差关系可得答案； （3）延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图：   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴垂直平分， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点G是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 4．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 5．（2022·江苏淮安·二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)；存在最小值，其最小值为 【问题情境】延长到E，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系解答即可； 【类比探究】延长至点G，使，连接，利用全等三角形的判定与性质解答即可； 【应用1】 过点O作于点E，于点F，利用全等三角形的判定与性质，垂径定理和勾股定理解答即可； 【应用2】 取的中点F，连接，延长至点H，使，连接，，利用全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】（1）解：延长到E，使得，连接，如图①， ， 在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：； （2）解：与的数量关系为：． 理由如下： 延长至点G，使，连接，如图， 则． 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． （3）解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． ； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下： 取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ∴点E，D，G、B四点共圆， ， ， ∵F为的中点， ∴． ，， ∴四边形为平行四边形， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，的值最小为： ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，垂径定理，平行四边形的判定与性质，四点共圆的判定，本题是阅读型，探究型题目，利用题干中的方法和解题思想解答是解题的关键． 模型四、平行线+线段中点构造全等模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，可证得点E在射线上运动（证明），点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接，，则，可得是等边三角形，从而得到点三点共线，进而得到，从而可得答案． 【详解】解：如图，∵都是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴   ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接，，则， ∵由对称可得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点三点共线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线上运动（）． 2．（2023·江苏苏州·一模）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连接，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，如图，延长交的延长线于Q，连接，设，首先证明，得出，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于Q，连接，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得或(舍弃)， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（江苏连云港·学业考试）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明△ADM≌△BHM，得出AD=HB=4，MD=MH，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x，即BE，结合AB得出cosB的值. 【详解】解：延长DM交CB的延长线于点H．如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=4，AD∥CH， ∴∠ADM=∠H， ∵M是AB的中点， ∴AM=BM， 在△ADM和△BHM中， ， ∴△ADM≌△BHM（AAS）， ∴AD=HB=4，MD=MH， ∵∠EMD=90°， ∴EM⊥DH， ∴EH=ED， 设BE=x， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB=∠EAD=90°， ∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2， ∴42-x2=（4+x）2-42， 解得：x=，或x=（舍）， ∴BE=， ∴cosB=. 故答案为：. 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023·湖南长沙·二模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40．求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， ∴或（负根舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质是解题的关键． 5．（23-24江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证； (1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明； (2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）延长、相交于点，证明，推出，利用证明即可得到； （2）当点在边的延长线上，是的外角平分线时，延长交于点，同理得到． 【详解】（1）结论：． 证明：如图②，延长、交于点G， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ； （2）结论：． 证明：如图③，延长AD交EF于点G， 平分， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 模型五、角平分线+垂直构造全等模型 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) 1．（22-23江苏徐州·阶段练习）已知：如图，在中，，在边上取，过点作交于点若，，求的长． 【答案】6 【分析】连接，利用“”证明得出，再由，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“”证明是解题的关键． 2．（江苏苏州）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，是定值 【分析】（1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的值； （3）过点作交延长线于点连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得； 【详解】（1）解：∵ 是边长为的等边三角形， ∴ ， 设 ， 则 ， ， （2）解： ， 解得： （3）解：线段的长度不改变， 如图：过点作交延长线于点连接 ∵点 速度相同， 是等边三角形， ， ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． 3．（2020•徐州模拟）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形 （2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证 【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G ∵AECE ∴ 在和 ∴ ∴GE=EC ∵BD=CD ∴DE为的中位线 ∴DEAB ∵DE=BF ∴四边形BDEF是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点 ∴BF=DE=BG ∵ ∴AG=AC BF=（AB-AG）=（AB-AC）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键． 4．（22-23江苏）如图，在中，．点D是边上一点，，垂足为E．F是的中点，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（ 1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可． （2 ）利用四边形内角和定理，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． （2）解：结论：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图，已知在中，，，平分，交的延长线于点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 分别延长交于点F，首先结合题意推出，即可证明，从而得到，再根据平分，可证明，得到，即可证明． 【详解】证明：分别延长交于点F，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型六、半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 2．（山东德州·二模）如图1，在正方形中，E、F分别是上的点，且．则有结论成立； (1)如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． (2)若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】(1)结论仍然成立，理由见解析 (2)结论不成立，应为，理由见解析 【分析】（1）结论仍然成立，延长到G，使，根据已知条件容易证明，由此可以推出，而，所以得到，进一步得到，现在可以证明，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立； （2）结论不成立，应为，如图，在上截取，使，由于，可以得到，再利用已知条件可以证明，由此可以推出，而，所以得到，现在可以证明，再根据全等三角形的性质就可以证明． 【详解】（1）解：如下图，延长到G，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论不成立，应为， 如下图，在上截取，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（22-23江苏）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC为外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；此时＝_____（直接写出结果）； (2)如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明； (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明； (4)在（3）问的条件下，若此时AN＝x，则Q＝_____（用x、L表示，直接写出结果）． 【答案】(1)MN＝BM＋NC， (2)MN＝BM＋CN，证明过程详见解析 (3)MN＝CN－BM，证明过程详见解析 (4)2x＋ 【分析】（1）如图1，先证明△MDN是等边三角形，则MN=DM=DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN，得∠BDM=∠CDN=30°，所以DM=2BM，可得结论：MN=2BM=BM+NC，分别计算Q和L的值，并计算比值即可； （2）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM≌△DCE（SAS），得DM=DE，∠BDM=∠CDE，再证明△MDN≌△EDN（SAS），得MN=NE，可得结论：MN=BM+CN，第2个结论不成立，利用特殊位置说明即可； （3）在NC上截取CF＝BM，连接DF，证明△DBM≌△DCF（SAS），得到∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，再证明△MDN≌△EDN（SAS），得到MN＝EN，即可得出结论； （4）先根据等边△ABC的周长为L，得AB=，由△AMN的周长Q=MN+AN+AM，进行等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图1，猜想：MN＝BM＋NC，理由如下： ∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， 在Rt △DBM和Rt △DCN中， ∴Rt △DBM ≌ Rt △DCN(HL)， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM， ∴DM＝2BM＝BM＋NC， ∴MN＝DM＝BM＋NC； ∵AB＝AC，BM＝CN， ∴AM＝AN， ∵∠A＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN＝MN＝2BM， ∴△AMN的周长Q＝3MN＝6BM， 等边△ABC的周长L＝3AB＝3(AM＋BM)＝9BM， ∴＝＝； 故答案为MN＝BM＋NC， （2）解：MN＝BM＋CN， 证明：如图2，延长AC到E，使CE＝BM，连接DE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB， 即∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴∠DCE＝180°−∠ACD＝90°＝DBM， 在△DBM和△DCE中， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE， ∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠BDM＋∠CDN＝120°−60°＝60°， ∴∠CDE＋∠CDN＝60°， 即∠EDN＝60°＝∠MDN， 在△MDN和△EDN中， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN， ∵EN＝CE＋CN，CE＝BM， ∴MN＝BM＋CN； （3）解：CN＝BM＋MN， 证明：在NC上截取CF＝BM，连接DF， 由（2）知：∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴∠MBD＝90°＝∠FCD， 在△DBM和△DCF中， ∴△DBM≌△DCF（SAS）， ∴∠BDM＝∠CDF，DM＝DF， ∵∠MDN＝∠BDM＋∠BDN＝∠CDF＋∠BDN＝60° ∵∠BDC＝120°， ∴∠FDN＝60°＝∠MDN， 在△MDN和△FDN中， ∴△MDN≌△FDN（SAS）， ∴MN＝FN， ∵CN＝CF＋FN，CF＝BM， ∴CN＝BM＋MN； （4）解：如图3，∵等边△ABC的周长为L， ∴AB＝， △AMN的周长Q＝MN＋AN＋AM， ＝FN＋AN＋AB＋BM， ＝AN＋AF＋AN＋AC＋CF， ＝2AN＋2AC， ＝2x＋． 故答案为 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 4．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【详解】（1）． 正方形， ， ， ， ． （2）解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ．    ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ．    综上，的度数为45°或135°． （3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（23-24江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，点是边上的中点，平分于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及中位线定理的运用，延长交于D，运用三角形全等的判定和性质，可得N为的中点，得到是的中位线，由中位线定理，计算即可得到所求值． 【详解】解：如图，延长交于D， ， ， ，， 为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，且，若，则的长为（　　）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把沿翻折至，连接，则，，，，再证明得到， ，接着证明，则，． 【详解】解：把沿翻折至，连接， ∴，，，， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ， ， 故选：C． 二、填空题 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 【答案】3 【详解】本题考查直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质的应用，理解题意，搞清楚数量关系是关键． 根据平分，，得出，根据直角三角形全等的判定得出，，再结合其性质求解即可． 【解答】解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即， 解得：， 故答案为：3． 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【分析】延长和相交于点，构造出，从而求出的值；根据当时， 有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 此时，即： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长交于，证明，利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，且满足，连，则，与三者之间有什么数量关系？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用旋转思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题．延长到，使，连接，先证，再证，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】证明：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 7．（2023七年级下·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究图中线段、、之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ． (2)如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)不成立；，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，可得，再证明，然后根据全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再证明，然后根据全等三角形的性质解决问题即可； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由：延长到点，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∴， ， ， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ，． ， ． ． ， ∴， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)海里 【分析】（1）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到G，使，连接，先证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到：四边形中：且，符合探索延伸具备的条件，则，即可得到答案． 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【详解】（1）如图1，延长到G，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，延长交于点C，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴四边形中，且， ∴四边形符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是海里． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E、F分别是边、所在直线上的点，且，请画出图形（除图②外），并求证线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析 （3）或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，四边形内角和的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）延长到G，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出， （2）延长到点G，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出， （3）在上截取，使，连接．方法同（1）（2）可得出结论． 【详解】（1）证明：延长到G，使，连接，， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由：延长到G，使，连接，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）结论不成立，应当是或， ① 证明：在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②． 证明：在上截取，如图， 同第一种情况方法，证， 证， ∴． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）的周长为10 【详解】解：（1） （2）（1）中结论仍然成立．理由如下： 如图①，延长到点，使，连接． ， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）的周长为10． （3）如图②，延长到点，使，连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在与中， ， ． 又， ， 的周长为． 11．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：． （2）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，若，，求的长． （3）如图，中，，是高，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，，根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）过点作，截取，使，连接、．证明．得出，，再证明，得出，最后由勾股定理计算即可得出答案． （3）将沿折叠得到，将沿折叠，得到，延长，交于点G，证明四边形为正方形，得出，，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，截取，使，连接、． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）将沿折叠得到，将沿折叠，得到，延长，交于点G，如图所示： ∵是的高线， ∴， 根据折叠可知：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．（江苏盐城·阶段练习）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或 【分析】（1）先证明，再根据证明即可； （2）先根据证明，得到，即可解决问题； （3）分点B在第一象限和点B在第二象限两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （3）如图3，点B在第一象限 过点C作直线轴，交y轴于点G，过A作于点E，过B作于点F，交x轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为． 如图4，点B在第二象限． 过点C作于E，过点B作于点F，交y轴于点G． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为． 综上，B点坐标为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，坐标与图形，以及“一线三垂直”模型等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 13．【一线三等角模型】如图1：点、、在一条直线上，，当时，有.理由： ，，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整.    【模型运用】如图2：，，，求的面积； 【能力提升】如图3：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【答案】【一线三等角模型】见解析；【模型运用】；【能力提升】不变，理由见解析 【分析】一线三等角模型：根据三角形外角性质求出，利用即可得出；模型运用：过点作交的延长线于点，利用可证明，得出，即可求出的面积；能力提升：根据等边三角形的性质推出，由得到，进而证明，推出，因为，得出最后结论即可． 【详解】一线三等角模型： 证明：如图1：， ，， ， 在和中， ， ； 模型运用： 如图2：过点作交的延长线于点，    同法可证， ， ； 能力提升： 解：不变， 理由：如图3中，在上取一点，使得，   ，都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题． 14．（江苏连云港）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值． 【答案】【问题情境】AD＝BE，理由见解析； 【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC，理由见解析； 【拓展应用】①BD+BF＝DC，理由见解析； ②EA+EG的最小值为，理由见解析． 【分析】问题情境：证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可． 【详解】解： AD＝BE，理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC=90°， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE； 【变式探究】解：∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； ∵∠EDB+∠BED＝180°﹣∠B， ∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠FDE ∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠C， ∠B＝∠FDE＝∠C， ∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC； 【拓展应用】①解：BD+BF＝DC理由如下： ∵AB＝BC， ∴AF+BF＝BD+DC， ∵AF＝2BD， ∴2BD+BF＝BD+DC， ∴BD+BF＝DC； ②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN， ∵∠B＝45°，∠EDF＝45°， ∴∠BFD＝∠EDM， ∵DF＝DE，DM＝BF， ∴△BDF≌△MED（SAS）， ∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°， ∵CD＝BD+BF＝CM+DM，BF=DM ∴CM＝BD， ∴EM＝CM， ∴△MEC是等腰三角形 ∴∠MCE＝∠MEC， ∵∠EMD＝45°，∠EMD＝∠MCE+∠MEC ∴∠ECM＝∠MEC＝∠EMD =22.5°， ∴E点在射线CE上运动， ∵G点与N的关于CE对称， ∴EG＝EN， ∴EA+EG＝EA+EN≥AN， ∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN， ∵∠B＝45°，AB＝BC， ∴ △ABC是等腰三角形 ∴∠ACB＝∠ BAC=(180°－∠B)= 67.5°， ∴∠ACE＝∠ACB －∠ECM =45°， 由对称性可知，∠ACE＝∠ECN=45°， ∴∠ACN＝90°， ∵点G是AC的中点，AC＝2， ∴CG＝1， ∴CN＝1， 在Rt△ANC中，AN2＝AC2+CN2=5 ∴AN=， ∴EA+EG的最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 15．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF； ②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD； ③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长． 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示 ∵四边形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜ ∵AD⊥x轴，CE⊥x轴∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD 在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD ∵∴OD=1，∴CE=1， ∵点C在第二象限∴点C的坐标为故答案为：； （3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． 16．（2024•灌云县校级一模）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”． (1)如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝BC，求证：四边形ABCD是“准筝形”； (2)小军同学研究 “准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长； 小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC.请你按照小军的思路求的AC的长. (3)如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)AC＝7； (3)或或． 【分析】（1）由四边形内角和定理求出∠B=60°，由AB=CB，即可得出结论； （2）)以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证△ADC≌△BDE得AC=BE，求出∠CEF=30°，由直角三角形的性质得出CF=CE=，由勾股定理求出EF=再由勾股定理即可得出答案； （3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，求出∠BCH=30°，由直角三角形的性质得出HC=x， BC=2BH=2x，构建方程求出x，进而得出AC的长，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）证明：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠A+∠C＝270°，∠D＝30°， ∴∠B＝360°﹣（∠A+∠C+∠D）＝360°﹣（270°+30°）＝60° 又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是“准筝形” （2）解：以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，如图2所示， 则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°， ∵AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE， 在△ADC和△BDE中，， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴AC＝BE， ∵∠BCD＝∠DCE＝60°， ∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵∠EFC＝90°， ∴∠CEF＝30°， ∴CF＝CE＝， 由勾股定理得：EF＝＝＝，BF＝BC+CF＝5+＝， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE＝＝7， ∴AC＝7； （3）解：过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，如图3所示， ∠ABC=120°，CH⊥AH， ∠BCH=30°， .HC=x， BC=2BH=2x=， x=，HC=3， 又∠A=45°， △HAC是等腰直角三角形， HA=HC=3， AB=， AC=HC=3， 如图4所示， 当AB=AD=，∠BAD=60°时，连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，则BD=，∠ABD=60°， BK=AB= ()， ∠ABC= 120°， ∠CBG=60°=∠CBH， 在△CBG和△CBH中， ， ， GC=HC=3， 在中，由勾股定理得，AK= ， ， ，， S四边形ABCD ； ②图5所示， 当BC=CD=2，∠BCD=60°时，连接BD，作CG⊥BD于点G， AK⊥BD于K，如 则BD=2，， AK=， ，， S四边形ABCD=； ③如图6所示， 当AD=CD=AC=3，∠ADC=60°时，作DM⊥AC于M，则DM= ， ， ， S四边形ABCD 综上所述，四边形A BCD的面积为或或． 【点睛】本题是考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$