精品解析：辽宁省鞍山市部分高中（百师联盟）2024-2025学年高三上学期一轮复习联考（五）数学试卷

2025届高三一轮复习联考（五） 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 13 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象.若方程在内有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的平均数为9.7 C. 这组数据的众数为10 D. 这组数据的第70百分位数是10 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆没有公共点 B. 直线可能是圆与圆的公切线 C. 当圆的圆心到直线的距离为时，圆上有两个点到直线的距离为2 D. 当直线与圆有公共点时，点到直线的距离有最小值1 11. 已知定义域为的函数满足以下性质：（1），均有；（2）；（3）当时，.则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的解集为 C. 当时， D. 三､填空题：本题共小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 在中，为边的中点，中线上有一点，满足，且，则的最小值为__________. 14. 如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在中秋节期间在市公园广场举办“贺中秋､庆团圆”灯谜展猜活动，活动采取积分制：小孩答对一个灯谜积80分，答错扣20分；大人答对一个灯谜积30分，答错扣10分.小学生笑笑和爸爸是猜灯谜爱好者，他们答对灯谜的概率分别为90%和80%. （1）设为笑笑和爸爸各答一个灯谜积分之和，求随机变量的数学期望； （2）求笑笑爸爸答4个灯谜所得的积分不少于80分的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 已知抛物线.点为的焦点.点在上，且抛物线在点处的切线交于点. （1）设，证明：抛物线在点处的切线方程为； （2）设的重心为，若G在直线上，求的最大值. 19. 已知数列的前项和分别为，定义数列的“关联数列”为，且. （1）若.求； （2）若，求的值； （3）已知当时，，当且仅当时“”成立.若数列为正项数列，且，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一轮复习联考（五） 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由题意，集合， 又集合，所以. 故选：A. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算再由模长公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积运算律及已知条件得，再由数量积的坐标表示列方程求参数. 【详解】将两边同时平方，得，整理得. 因为，解得. 故选：B 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 5. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算可得所求代数式的值. 【详解】在等比数列中，，解得， 所以，， 所以，. 故选：A. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象.若方程在内有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的平移和伸缩变化求出，根据，结合方程，可得，即可得出答案. 【详解】将函数的图象向右平移个长度单位， 所得图象的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象. 方程，即，所以. 因为，所以. 因为方程在内有两个不相等的实数根， 所以，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】把求最小距离问题转化为曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方的最小值问题,转化为曲线的切线到直线的距离问题，借助平行线间的距离公式求得最小距离. 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 8. 在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出点，将其坐标代入双曲线的方程可得求出，代入，即可求出的范围，进而求出双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由双曲线的对称性，设. 由，可得， 即. 将其坐标代入双曲线的方程，得， 化简得因为双曲线的渐近线方程为：， 因为，所以， 所以， . 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的平均数为9.7 C. 这组数据的众数为10 D. 这组数据的第70百分位数是10 【答案】BC 【解析】 【分析】由极差、平均数、众数和百分位数的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，这组数据的极差为，故A错误； 对于B，这组数据的平均数为，故B正确； 对于C，这组数据中出现次数最多的数是10，所以这组数据的众数为10，故C正确； 对于D，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数10和第8个数11的平均值10.5，故D错误. 故选：BC. 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆没有公共点 B. 直线可能是圆与圆的公切线 C. 当圆的圆心到直线的距离为时，圆上有两个点到直线的距离为2 D. 当直线与圆有公共点时，点到直线的距离有最小值1 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用圆心距大于两圆半径和，判断两圆相离；选项B，利用圆心到直线的距离等于半径求得无解；选项C，利用到直线的距离求得，再求得到直线的距离即可；选项D，利用到直线的距离求得的范围，再利用点到直线的距离有最小值1，求得的范围，验证两个范围是否一致即可. 【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外离，两圆没有公共点.故A正确. 对于B，若直线是圆与圆公切线，则 解得方程组无解，所以直线不可能是圆与圆的公切线，故B错误. 对于C，由点到直线的距离，得或，此时点到直线的距离或. 因为且，所以圆上有两个点到直线的距离为2.故C正确. 对于D，由题意，点到直线的距离，解得； 若点到直线的距离的最小值为1，则，解得，与矛盾， 所以点到直线的距离不可能有最小值1，故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义域为的函数满足以下性质：（1），均有；（2）；（3）当时，.则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的解集为 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法并根据函数奇偶性定义可判断A正确，结合奇函数性质可得B正确，结合已有分析可得当时，，即C错误；将表达式化简计算可判断D正确. 【详解】对于A，令，由性质（1）得， 再令，得， 结合性质（2）得，所以， 所以函数是奇函数，A正确. 对于B，令，由性质（1）得， 又，所以. 当时，，结合性质（3）得. 因为是奇函数，所以的解集是，B正确. 对于C，令，由性质（1）得， 由B选项的分析，得， 当时，，当时，，C错误. 对于D，在性质（1）中，令，得， 再令，得，分别代入的表达式， 得.D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用赋值法计算即可. 【详解】令，得， 令，得，所以. 故答案为：. 13. 在中，为边的中点，中线上有一点，满足，且，则的最小值为__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先利用向量数量积的运算法则求得，再根据余弦定理、结合基本不等式求得进而可得的最小值 【详解】在中，是边的中点，所以 ， 又. 又 . 又 ， 又易知，， 最小值为.当且仅当时取最小值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求最值的常见方法：1，利用基本不等式求最值；2，利用三角函数有界性求最值；3，利用已知函数的单调性求最值；4，利用导数求最值；5，数形结合求最值. 14. 如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点，的中点为，连接，三棱锥外接球的球心为，可得点在上，设，由条件建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且. 设的中点为，连接，则平面. 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得点在上， 设，外接球的半径为，连接. 因为，所以，即，又， 则，因为，所以，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在中秋节期间在市公园广场举办“贺中秋､庆团圆”灯谜展猜活动，活动采取积分制：小孩答对一个灯谜积80分，答错扣20分；大人答对一个灯谜积30分，答错扣10分.小学生笑笑和爸爸是猜灯谜爱好者，他们答对灯谜的概率分别为90%和80%. （1）设为笑笑和爸爸各答一个灯谜的积分之和，求随机变量的数学期望； （2）求笑笑的爸爸答4个灯谜所得的积分不少于80分的概率. 【答案】（1）92 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值，及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列，再由均值公式即可求出的数学期望； （2）设笑笑的爸爸答对灯谜的个数为，则，由二次分布概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，笑笑和爸爸答对灯谜的概率分别为0.9和0.8， 随机变量的可能取值为. 则，， 所以随机变量的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 随机变量的数学期望（分）. 【小问2详解】 设笑笑的爸爸答对灯谜的个数为，则. 设笑笑的爸爸答4个灯谜所得的积分为， 则， 令，解得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. 【小问2详解】 设，因为，则，则， 所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，，故. 18. 已知抛物线.点为的焦点.点在上，且抛物线在点处的切线交于点. （1）设，证明：抛物线在点处的切线方程为； （2）设的重心为，若G在直线上，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）由（1）的结论，求出交点的坐标，利用三角形重心坐标及位置建立关系求出点横坐标和的范围，再借助抛物线的定义求出函数关系，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 由抛物线，得，求导得， 则抛物线在点处的切线的斜率为， 因此抛物线在点处的切线方程为， 又，因此， 所以抛物线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 设， 由（1）知：直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 由为的重心，得， 又点在直线上，则，即， 整理得，令，则， 由，得，解得， 由抛物线的定义得 ，令， 求导得， 而在时恒成立， 函数在单调递增，在单调递减，因此， 所以的最大值为，当且仅当或时取得最大值. 19. 已知数列的前项和分别为，定义数列的“关联数列”为，且. （1）若.求； （2）若，求的值； （3）已知当时，，当且仅当时“”成立.若数列为正项数列，且，，证明：. 【答案】（1）16 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）若，根据数列的递推公式即可求得的值； （2）若，根据，分别令，得，而时，，进而求； （3）将整理为，利用累加法以及，可得，进一步可得，进而可证得. 【详解】 【小问1详解】由题意得， . 【小问2详解】由题意，当时，； 当时， ， 故. 【小问3详解】由，，可得， 即得， 则 ， 则有：（*）. ， 由（*）可得：. 因时，，由已知不等式可得： ， 故得， 即得证. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问的关键在于发现与、、与的关系，关键点在于利用和将递推公式进行变形，对数学思维要求较高；第3小问关键是需要构造出，再结合第2小问的结论利用已知条件进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$