第10讲 一次函数的图像与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质（5~10分） （思维导图+3考点+3命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的基本概念 考点二 一次函数的图像与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式综合 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 ►题型02 一次函数的图像 ►题型03 正比例函数的性质 ►题型04 一次函数的图像所过象限与系数关系 ►题型05 一次函数的增减性与系数的关系 ►题型06 一次函数的解析式 ►题型07 一次函数与坐标轴交点 ►题型08 一次函数的规律探究问题 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与不等式关系 ►题型02 一次函数与方程关系 ►题型03 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积 命题点三 一次函数与几何综合 ►题型01 一次函数与反比例函数、二次函数综合 ►题型02 一次函数的几何变化 ►题型03 一次函数与几何图形综合 ►题型04 一次函数的动点问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一次函数的相关概念 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； ⭐⭐ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 解正比例函数； 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. ⭐⭐⭐⭐ 一次函数与方程（组）、不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系. ⭐⭐⭐ 考点一 一次函数的基本概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 3．（2020·辽宁·中考真题）若一次函数的图象经过点，则 ． 考点二 一次函数的图像与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1．（2020·浙江舟山·中考真题）一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　） A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2 4．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 考点三 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 1．（2023·浙江杭州·一模）在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 2．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 3．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)每盒铅笔12支，售价元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系； (2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系； (3)一个长方形的面积是，它的一边长与邻边长的关系． ►题型02 一次函数的图像 1．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（21-22八年级下·山东潍坊·期末）若式子有意义，则一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（2021·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），则函数图象可能是（　　） A． B． C． D． ►题型03 正比例函数的性质 1．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大 2．（2022·浙江绍兴·一模）已知中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S ►题型04 一次函数的图像所过象限与系数关系 1．（21-22八年级上·山东济南·期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·浙江·一模）已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 4．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. ►题型05 一次函数的增减性与系数的关系 1．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 2．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ． 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． ►题型06 一次函数的解析式 1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值为（    ） x 1 4 y 3 9 A．－1 B． C．0 D． 2．（2022·浙江温州·二模）如图，过点D(2，3)的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴负半轴，y轴分别交于点A、B．BC∥DO交线段OA于点C．已知OC：AC=1：2，则该一次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）函数图象经过，两点，则 ． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知点关于直线（）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为 ． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点． (1)求直线的函数解析式； (2)直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值． ►题型07 一次函数与坐标轴的交点 1．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕着A点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2019·浙江温州·二模）一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． ►题型08 一次函数的规律探究问题 1．（2020·江西赣州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与不等式关系 1．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 4．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与方程的关系 1．（2023·浙江台州·一模）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 2．（2019·浙江温州·一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 ． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． ►题型03 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积 1．（2023·江苏苏州·一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 ． 2．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 3．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)试问：在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点三 一次函数与几何综合 ►题型01 一次函数与反比例函数、二次函数综合 1．（2024·浙江宁波·三模）如图，直线的表达式为，与坐标轴交于点，，过点作交反比例函数于点，若的中点也在反比例函数图象上，则 ． 2．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A、B两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点． (1)若点A坐标为，求M点坐标． (2)若，连接，若的面积是34，求k值． (3)设直线分别与x轴相交于P、Q两点，且，求的值． 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 4．（2022·浙江杭州·一模）已知：一次函数的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标． ►题型02 一次函数的几何变化 1．（2023·浙江宁波·三模）直线过点，将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 ． 2．（18-19八年级下·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． ►题型03 一次函数与几何图形综合 1．（2021·浙江温州·一模）如图，直线y＝kx+5（k≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，点P是OA上一动点，过点P作PB的垂线交AB于点C，BP与OC交于点D，D恰好是OC的中点，若△BOD的面积是△DPC的面积的4倍，则C点的坐标为 ． 2．（15-16八年级上·江苏无锡·期末）【建立模型】：如图1，已知，，，顶点在直线上． 【操作】：过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】： （1）如图2，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式． （2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 3．（2023·浙江衢州·三模）如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．    (1)推断与计算 ①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________； ②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积； (2)猜想与证明 请猜想与的数量关系，并证明这个结论： (3)拓展与应用 当是等腰三角形时，求的值． ►题型04 一次函数的动点问题 1．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．    (1)求证：． (2)求出点的坐标及的长． (3)点从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记， ①求出关于的函数表达式． ②连结，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值． 3．（18-19八年级上·广东深圳·期中）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B． (1)求k的值及△AOB的面积； (2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； (3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标． 基础巩固 1．在①，②，③，④，⑤中，一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．将的图像向上平移2个单位长度，则平移后的图像相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 5．若点在正比例函数的图象上，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 6．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 8．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，点在轴上，点在轴上，正比例函数图象经过点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．已知一次函数是正比例函数，则a的值为 ． 11．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 12．如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ． 13．一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后的函数表达式为 ． 14．已知、是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 15．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，则的面积为 ． 16．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 17．已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 18．在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 19．已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 20．如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 21．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 22．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 能力提升 23．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 24．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 25．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，点是轴上的一动点，当的值最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 26．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 27．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 28．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．直线经过点，则a的值为 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是 ． 31．如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，一次函数的图像经过点C，则k的值为 ． 32．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时， ． 33．若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．如图1，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为，则点到直线的距离的长为 ；如图2，当时，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 34．如图，已知，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C． (1)求点A、C的坐标； (2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的B点坐标． (3)直线绕A点顺时针旋转得到新的直线，求新的直线解析式． 35．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线与y轴交于点D．直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值． (2)点M在直线上，轴，交于点N，若，求点M的坐标． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质（5~10分） （思维导图+3考点+3命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的基本概念 考点二 一次函数的图像与性质 考点三 一次函数与方程（组）、不等式综合 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 ►题型02 一次函数的图像 ►题型03 正比例函数的性质 ►题型04 一次函数的图像所过象限与系数关系 ►题型05 一次函数的增减性与系数的关系 ►题型06 一次函数的解析式 ►题型07 一次函数与坐标轴交点 ►题型08 一次函数的规律探究问题 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与不等式关系 ►题型02 一次函数与方程关系 ►题型03 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积 命题点三 一次函数与几何综合 ►题型01 一次函数与反比例函数、二次函数综合 ►题型02 一次函数的几何变化 ►题型03 一次函数与几何图形综合 ►题型04 一次函数的动点问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一次函数的相关概念 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； ⭐⭐ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 解正比例函数； 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. ⭐⭐⭐⭐ 一次函数与方程（组）、不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系. ⭐⭐⭐ 考点一 一次函数的基本概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化． 【详解】解：点在直线上， ， 将上式代入中， 得：， 解得：， 由，得：， （两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况． 3．（2020·辽宁·中考真题）若一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】8 【分析】将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值． 【详解】解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中， 即：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一次函数，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可． 考点二 一次函数的图像与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1．（2020·浙江舟山·中考真题）一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，由函数解析式得，根据一次函数的图象与性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图像经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意， 故选：B． 2．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线y=−2x+3 ∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5 ∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3 ∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 3．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　） A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2 【答案】C 【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可． 【详解】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B． ∴A（﹣1，0），B（﹣3，0） A.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； B.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； C.　y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上； D.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上； 故选：C 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式． 4．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得解析式即可判断． 【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2）， ∴2＝a+a，解得a＝1， ∴y＝x+1， ∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2）， 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 考点三 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：， 即的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 1．（2023·浙江杭州·一模）在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 【答案】D 【分析】根据正比例函数和反比例函数的概念及性质分析即可． 【详解】解：A、， ， 波长是频率的反比例函数，故此选项错误，不符合题意； B、，让， ，故此选项错误，不符合题意； C、，让， ，波长大于时，频率小于Hz，故此选项错误，不符合题意； D、，让， ，波长小于时，频率大于Hz，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例和反比例函数的概念、反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质得应用． 2．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 3．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)每盒铅笔12支，售价元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系； (2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系； (3)一个长方形的面积是，它的一边长与邻边长的关系． 【答案】(1)，是的一次函数，也是的正比例函数 (2)，是的一次函数，不是的正比例函数 (3)，既不是的一次函数，也不是的正比例函数 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数，熟记各定义是解题关键． （1）根据铅笔售价铅笔单价铅笔支数即可得； （2）根据汽车距天津的路程 速度时间即可得； （3）根据长方形的面积长宽即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 所以是的一次函数，也是的正比例函数． （2）解：由题意得：， 所以是的一次函数，不是的正比例函数． （3）解：由题意得：， 所以既不是的一次函数，也不是的正比例函数． ►题型02 一次函数的图像 1．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象辨别．熟练掌握一次函数的图象和性质，反例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据“时间=路程÷速度”,得到相应的函数解析式,看属于哪类函数,得到相应图象即可． 【详解】设甲乙两地之间的距离为s， 则（定值）， ， 符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数, 图象应为在第一象限的曲线. 故选：D． 2．（21-22八年级下·山东潍坊·期末）若式子有意义，则一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求出k的取值范围，然后利用一次函数的图象及性质与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，解得， ∴， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查的是判断一次函数的图象，掌握二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和一次函数的图象及性质与系数的关系是解题的关键． 3．（2021·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），则函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），可判断经过x轴的负半轴，由k＞0可判断图象经过第一、二、三象限，综合分析即可． 【详解】∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）， ∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过x轴的负半轴． ∵k＞0， ∴y随x的增大而增大． ∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过第一、二、三象限． ∴函数图象可能是：A． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键 ►题型03 正比例函数的性质 1．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可． 【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误； B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误； C、关于原点成中心对称，故错误； D、因为，所以随的增大而增大，故正确． 故选：D． 2．（2022·浙江绍兴·一模）已知中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【分析】假设其中一个点在上，将坐标代入求出k值，再验证另外三个点的坐标是否满足，即可求解． 【详解】解：假设在直线上， 则， ， ， 当时，，可知不在该直线上， 当时，，可知在该直线上， 当时，，可知在该直线上， 综上可得，不在此直线上的点是， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数（正比例函数）图象上点的坐标的特征，属于基础题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． ►题型04 一次函数的图像所过象限与系数关系 1．（21-22八年级上·山东济南·期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图像和系数之间的关系，根据直线经过的象限，判断出的符号，进而判断出另一条直线的图像经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴直线的图像经过一，三，四象限； 故选D． 2．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了判断一次函数经过的象限，由一次函数解析式得出，，从而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故选：C． 3．（2024·浙江·一模）已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到，，即，分；两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于，两点， ∴，即， ∴，， ∵，且满足， ∴，， ∴， 当时，，即， ∴直线经过第一、二、三象限； 当时，，即， ∴直线经过第二、三、四象限， 综上，直线一定经过第二、三象限， 故选：B． 4．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键． 由已知函数图象得到，，然后根据第二象限点的坐标特点求解即可． 【详解】∵一次函数的图象如图所示， ∴， ∵小兔子在第二象限 ∴横坐标为负，纵坐标为正， ∴点A的坐标可能是． 故选：D． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. ►题型05 一次函数的增减性与系数的关系 1．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 2．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可． 【详解】解： ，， ， ， 故选D． 3．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求得一次函数过点1的函数值，再把点代入，求得对应的m的值，再结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：把代入， 把点代入， 求得：， ∵当时，对于x的每一个值函数 的值大于一次函数的值， ∴， 故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义及图象与性质，一元一次不等式的解法，根据，，得出，即可求出m的取值范围． 【详解】解：当时，， 解得：， 时，， ， ， 故答案为：． 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． ►题型06 一次函数的解析式 1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值为（    ） x 1 4 y 3 9 A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，设一次函数解析式为，把两组对应值分别代入得到，的方程组，然后解方程组求出，的值，则可确定一次函数解析式，再根据，，得，是解决问题得关键． 【详解】解：设一次函数的解析式为． 把，；，代入得， 解得：， 所以一次函数的解析式为， ∵，， 则，即：， 即的值为． 故选：B． 2．（2022·浙江温州·二模）如图，过点D(2，3)的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴负半轴，y轴分别交于点A、B．BC∥DO交线段OA于点C．已知OC：AC=1：2，则该一次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据BC∥DO，易证△BAC∽△DAO，可得AB：AD=2：3，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△DAE∽△BAO，可得OB：DE=2：3，可得点B坐标，再用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵BC∥DO， ∴∠ACB=∠AOD， 又∵∠BAC=∠DAO， ∴△BAC∽△DAO， ∴AB：AD=AC：AO， ∵OC：AC=1：2， ∴AC：AO=2：3， ∴AB：AD=2：3， 过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： 则∠DEA=90°， ∵∠BOA=90°， ∴∠DEA=∠BOA， ∵∠DAE=∠BAO， ∴△DAE∽△BAO， ∴OB：DE=AB：AD=2：3， ∵D（2，3）， ∴DE=3， ∴OB=2， ∴B（0，2）， 将B，D点坐标代入y=kx+b， 得，解得， ∴一次函数解析式：y=x+2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，涉及相似三角形的判定和性质等，根据相似三角形的性质求出点B坐标是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·二模）函数图象经过，两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数的解析式，根据待定系数法求出的值，然后代入即可求值，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵函数图象经过，两点， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知点关于直线（）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数及轴对称的性质，要熟知对称轴是对称点连线的垂直平分线，本题还利用了中位线的性质及推论，这此知识点要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．求正比例函数的解析式，就是求直线上一点的坐标即可． 当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时，作辅助线，构建点与轴和轴的垂线，先根据点的坐标得出的长，再根据中位线定理和推论得：是的中位线，所以 ，也可以求的长，表示出点的坐标，代入直线中求出的值．当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时，同理，即可求解． 【详解】解：当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时， 设关于直线的对称点为，连接，交直线于，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，    ∵， ∴， ∴， ∵和关于直线对称， ∴是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 当点关于直线（）的对称点恰好落在轴上时， 当设关于直线的对称点为，连接，交直线于，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，      ∵， ∴， ∴， ∵和关于直线对称， ∴是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 故答案为：或． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点． (1)求直线的函数解析式； (2)直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值． 【答案】(1)直线l2的函数解析式为 (2)或2 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）利用求得的坐标，进一步求得点的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）当时，即，，则，，则，即可求解． 【详解】（1）解：令，则，即点， 为中点，则点， 将点的坐标代入得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：； （2）当时，即，， 则，， 则， 则或2． ►题型07 一次函数与坐标轴的交点 1．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据函数图象判断出的取值范围，用表示出的值，再用取特殊值法即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵的图象与轴交于， ∴当时，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴． 故选：D． 2．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕着A点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数图像上点的坐标特征求出点和点坐标，则可得到，，，然后根据第一象限点的坐标特征写出点的坐标． 【详解】解：当时，， 解得，则， ， 当时，，则， ， 由于把绕着A点旋转得到， ， ， ， 故选C．    【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握坐标与图形变化是解题的关键． 3．（2019·浙江温州·二模）一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令y=0，则2x-5=0，即可求交点坐标． 【详解】解：令y=0，则2x-5=0， ∴x=， ∴与x轴交点为（，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象与坐标轴交点的方法是解题的关键． ►题型08 一次函数的规律探究问题 1．（2020·江西赣州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解． 【详解】∵、…都是等边三角形， ∴, ∵直线与轴的成角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，…，， ∴，，…，， 易得，…，， ∴，，…，， ∴，，…，； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查锐角三角函数，一次函数，勾股定理，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据图形得到规律，进行解答，即可． 【详解】解：过点作交轴于点，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ∵以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于，……， ∴，，，……， ∵点在直线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， ， ∴以为圆心，，， ∴， ∴的纵坐标为；的纵坐标为． 故答案为：；． 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与不等式关系 1．（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 2．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想求解是解答的关键． 根据图象得到与x轴的交点，求得图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是， 故选：B． 3．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024·浙江绍兴·二模）根据图象，可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 根据图象得出，再由不等式的性质得出，再由图象确定交点为，即可求解． 【详解】解：根据图象得：， ∵， ∴， 当时，， ∴两直线的交点为， ∴当时，， 即的解集是． 故选：C． ►题型02 一次函数与方程的关系 1．（2023·浙江台州·一模）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴关于x的方程的解为． 故选A． 【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键． 2．（2019·浙江温州·一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 ． 【答案】x=2 【分析】依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3）， ∴ ， 解得， ∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3， 解得x＝2， 故答案为x＝2． 【点睛】本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是， ， 一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是， 方程组的解． 故答案为：． ►题型03 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积 1．（2023·江苏苏州·一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可． 【详解】解：恒过，也恒过，k为正整数，那么，如图， 直线与x轴的交点是，与y轴的交点是 直线与x轴的交点是，与y轴的交点是， 那么， = 又， ∴当时，值最小， 因此，当时，四边形的面积最小，最小值． 故答案为： 【点睛】本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识求最值问题． 2．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 3．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)试问：在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数图象与坐标轴交点坐标，两函数交点坐标，三角形面积公式，是解决问题的关键． （1）设直线的解析式是，根据过点和，列方程组，解方程组，即得直线的解析式是； （2）根据求得D的坐标，得到，根据，得到C的坐标，根据即得； （3）过点P作轴于点E，根据， ，得到，在中，根据得到，即得． 【详解】（1）设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是； （2）在中， 令，解得：． 则D的坐标是． ∴， 根据题意得：， 解得：， 则C的坐标是， ∴； （3）存在，理由： 过点P作轴于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 当时，， ∴． 命题点三 一次函数与几何综合 ►题型01 一次函数与反比例函数、二次函数综合 1．（2024·浙江宁波·三模）如图，直线的表达式为，与坐标轴交于点，，过点作交反比例函数于点，若的中点也在反比例函数图象上，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 作轴，则，可得，设点坐标为，由中点坐标公式得到点坐标，列出方程求出，则点坐标可知，继而求出值即可． 【详解】 解：如图，作轴，垂足为， ∵直线的表达式为， 当时，， 当 时， ， ∴，． ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴， 设点坐标为， ∵为线段中点， ∴ ， ∵点、都在反比例函数图象上， ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：14． 2．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A、B两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点． (1)若点A坐标为，求M点坐标． (2)若，连接，若的面积是34，求k值． (3)设直线分别与x轴相交于P、Q两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）把点代入可求得反比例函数解析式，进而可得点B的坐标，设，运用勾股定理即可求得答案； （2）设，则，代入代入可求得，，则，，过点O作交于点D，过点B作轴于点E，过点D作轴于点F，可证得，进而求得点D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组可求得点M的坐标，再由的面积是34，建立方程求解即可得出答案； （3）设，代入得：，联立方程组求出A、B两点的坐标，过点A、B、M分别作x轴的垂线，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交于R，交于L，利用相似三角形性质即可得出：，，再由，得出：，从而得出的值． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为， 设，又， ∴，，， ∵， ∴， 整理化简得， ∴， 解得（与A重合，舍去）或（舍去）或或（舍去）， ∴； （2）设，则， 将代入，得：， ∴， ∴，则， ∴， 如图2，过点O作交于点D，过点B作轴于点E，过点D作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或，， ∵M是第一象限内的双曲线上任意一点， ∴， ∴， 过点A作于点H， 则， ∴， ∵的面积是34， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）设代入得：， ∴， 解得：，， ∴， 过点A、B、M分别作x轴的垂线，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交于R，交于L， 则，，， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的值为2． 【点睛】此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 4．（2022·浙江杭州·一模）已知：一次函数的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】(1) (2)和 【分析】(1)先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； (2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 设反比例函数的解析式为， 把，代入得，， ∴该反比例函数的解析式为 （2）解：平移后的图象对应的解析式为 ， 解方程组，得 或． ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为和． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质． ►题型02 一次函数的几何变化 1．（2023·浙江宁波·三模）直线过点，将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】直线过点可求出，即可得到直线的解析式，再根据直线平移的规律“上加下减”即可得到答案． 【详解】解：直线过点， ， ， 直线表达式为：， 将直线向下平移2个单位后所得直线的表达式是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”，是解题的关键． 2．（18-19八年级下·湖南长沙·期中）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键． 分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得：，则， 当直线过点时，， 解得：， ， 解得． 当直线过点时， ， 解得：， ， 解得． 故若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． ►题型03 一次函数与几何图形综合 1．（2021·浙江温州·一模）如图，直线y＝kx+5（k≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，点P是OA上一动点，过点P作PB的垂线交AB于点C，BP与OC交于点D，D恰好是OC的中点，若△BOD的面积是△DPC的面积的4倍，则C点的坐标为 ． 【答案】（4，2） 【分析】由点D是OC的中点得到△DPC和△DPO的面积相等，进而得到△BOD的面积是△DPO的面积的4倍，由OD⊥BP得到BD：DP＝4：1，∠ODP＝∠ODB＝90°，结合∠DOB+∠OBD＝∠DOB+∠DOP＝90°，得到∠OBD＝∠DOP，得证△ODB∽△PDO，设点P（m，0），结合点B（0，5）得到OP和OB的长，进而利用相似三角形的性质得到m的值，然后求出点D的坐标，最后由中点的坐标公式求得点C的坐标． 【详解】∵点D是OC的中点， ∴S△DPC＝S△DPO． ∵S△BOD＝4S△DPC， ∴S△BOD＝4S△DPO， ∴BD：DP＝4：1． ∵OD⊥BP， ∴∠ODP＝∠ODB＝90°， ∴∠DOB+∠OBD＝90°． ∵∠DOB+∠DOP＝90°， ∴∠OBD＝∠DOP， ∴△ODB∽△PDO， ∴ ， 设点P（m，0），则OP＝m， 对直线y＝kx+5， 当x＝0时，y＝5， ∴点B（0，5）， ∴OB＝5， ∴， ∴PD＝OD，BD＝OD， ∴， 解得m＝ ， ∴点P（，0），OP＝． 如图，过点D作DM⊥y轴于点M，作DN⊥x轴于点N，过点C作CH⊥x轴于点H， 2．（15-16八年级上·江苏无锡·期末）【建立模型】：如图1，已知，，，顶点在直线上． 【操作】：过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】： （1）如图2，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式． （2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 【答案】操作：见解析；模型应用：（1）直线的解析式为：；（2）点能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或 【分析】操作：根据同角的余角相等得出，利用“”证明即可； 模型应用： （1）求出，，得到，，过点作交直线于点，过点作轴于，证明得出，，从而得到，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分两种情况分别画出图形，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，分别建立一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】操作： 证明：如图，过点作于点，过点作于点， ， 则， ，， ， 在和中， ， ； 模型应用： （1）在直线中，当时，，当时，，解得， ，， ，， 如图，过点作交直线于点，过点作轴于， ， 则， ，， ， 将直线绕着点顺时针旋转得到， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：； （3）点位于第一象限内， 点是直线上的一点， 点，作轴于点，作轴于点， ，， 如图，当在下方时，是等腰直角三角形，过点作轴，分别交轴和直线于点、， ， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：； 如图，当Q在上方时，是等腰直角三角形，过点作轴，分别交轴和直线于点、， ， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，点能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 3．（2023·浙江衢州·三模）如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．    (1)推断与计算 ①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________； ②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积； (2)猜想与证明 请猜想与的数量关系，并证明这个结论： (3)拓展与应用 当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）①如图所示，连接，证明，即可得到； ②先根据正方形的性质得到，，则，由，得到，再由E是的中点，可得； （2）如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，求出 则，，即可得到，进而证明； （3）如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，时，三种情况建立方程求出m的值，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵，B、D、P三点共线， ∴， ∴， 故答案为：；    ②∵正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴ ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；    （3）解：由（2）得 如图3-1所示，当时，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在直线上， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴在中，；    如图3-2所示，当时， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴在中，；    如图3-3所示，时， ∴， ∴，即 解得或（所去）， 经检验是原方程的解， ∴在中，； 综上所述，的值为或或．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，求角的正切值，等腰三角形的定义等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． ∵S△BOD＝4S△DPO， ∴S△BOP＝5S△DPO， ∴， ∴DM＝2，DN＝1． ∵DM⊥y，DN⊥x，MO⊥NO， ∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°， ∴四边形OMDN是矩形， ∴ ON＝DM＝2，MO＝DN＝1， ∴点D（2，1）． ∵ ∠DNO＝∠CHO＝90°，∠DON＝∠HOC， ∴△DNO∽△CHO， ∴． ∵点D是OC的中点， ∴， ∴CH＝2，OH＝4， ∴点C的坐标为（4，2）， 故答案为（4，2）． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用相似三角形的判定与性质． ►题型04 一次函数的动点问题 1．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或或或或． 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可； （3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：当点在轴上时，设点的坐标为； 过作于点，则，，，    ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； 当点在轴上时，同理可求：    ，， ； 的面积为或； （3）解：①过点、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形， ， ，， 由题意可得（相似比为．    ，，，， ， ， ， 同理， 又， （相似比为， ， 解得：，， ，， 即， 解得： 点的坐标为； ②当点在上时，则， 的坐标为，点的坐标为， 在中，， ， ， ∴轴，即， ， ， ， 符合题意；    ③当点在上时，作于点，于点， 同①可得： 点的坐标为， 直线的解析式为：， 把点代入解析式为， 可求得， 点，， 由两点间的距离公式求得：，，， ， ， 点符合题意；    ④当轴时，作于点，于点， 同②可求点的坐标为；    ⑤当点在线段上时，作于点，于点， 同③可求点的坐标为；    点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键． 2．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．    (1)求证：． (2)求出点的坐标及的长． (3)点从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记， ①求出关于的函数表达式． ②连结，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，通过证明，即可得到； （2）先求出点的坐标，可得，设，则，在由勾股定理可知，求出的值即可得到点的坐标，过作于点，根据可得到，由等腰直角三角形的性质可得； （3）①由等腰三角形的性质可得，，由题意可知，即，从而即可得到答案；②分两种情况：当时，；当时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：设， ， 当时，，当时，， ， ， ， 在，由勾股定理可知， 解得， ， 过作于点，    ，，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴； （3）解：①如图所示：    为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴； ②Ⅰ如图1，当时，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； Ⅱ如图2，当时，延长至点，      ∵由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质、勾股定理等知识，熟练在掌握三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（18-19八年级上·广东深圳·期中）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B． (1)求k的值及△AOB的面积； (2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； (3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1)；3 (2)或或 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求得k值，从而得到直线解析式，再根据三角形面积公式求解△AOB的面积． （2）分AC=AB，BC=AB进行讨论，分别求出每种情况下的C点坐标． （3）点P在x轴下方和点P在x轴上方，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：将点A（2，0）代入直线y=kx+3， 得，0=2k+3， 解得， ∴． ∵直线y=kx+3与y轴交于点B， ∴令x=0，得y=3． ∴B（0，3），OB=3． ∵A（2，0）， ∴OA=2， ∴； （2）解：①如图1，当AC=AB，且C点在A点右侧时， ∵A（2，0），B（0，3）， ∴， ∴； ②如图2，当AC=AB，且C点在A点左侧时， ∵， 又∵， ∴； ③如图3，当BC=AB时， ∵，， ∴， ∴， 综上，C点坐标为或或； （3）解：∵M（0，3），   ∴OM=3， ∴AM=3-2=1， 由（1）知，S△AOB=3， ∴S△PBM=S△AOB=3， ①如图1，当点P在x轴下方时， ∵， ∴|yP|=3， ∵点P在x轴下方， ∴yP=-3， 当y=-3时，代入得，， 解得x=4， ∴P（4，-3）； ②如图2，当点P在x轴上方时， ∵， ∴|yP|=9， ∵点P在x轴上方， ∴yP=9， 当y=9时，代入得，， 解得x=-4． ∴P（-4，9）． 综上，符合条件的P点坐标为（4，-3）或（-4，9）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，包括待定系数法求一次函数解析式，求解相关三角形面积及求解符合条件的点坐标，充分运用数形结合思想是解题的关键． 基础巩固 1．在①，②，③，④，⑤中，一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义“形如（为常数，且）的函数称y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量”判断即可，熟练掌握一次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：根据一次函数的定义，①，③，⑤中均是一次函数， ∴一次函数有3个，分别是①③⑤， 故选：C． 2．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的知识，先根据一次函数的解析式可以判断其必过点，再根据一次函数是递增函数，将点与选项各点逐一比较即可得解． 【详解】， 当时，，即必过点 A．，，此时满足y随x的增大而增大，故A项正确，符合题意； B．，，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意； ，，在平行于轴的同一直线上，C，D不符合题意； 故选：A． 3．将的图像向上平移2个单位长度，则平移后的图像相应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，解决本题的关键是熟练掌握函数图像的平移规律；根据函数图像平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量求解即可． 【详解】解：将的图像向上平移2个单位长度，则平移后的图像相应的函数表达式是， 故选：． 4．一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】D 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据，得出直线经过第一、二、三象限，即可． 【详解】解：∵，， ∴直线经过第一、二、三象限； 故选D． 5．若点在正比例函数的图象上，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：把代入， 得 故选C． 6．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点代入即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线为：； 故选：C 7．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 8．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图像在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知， 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故选：A． 9．如图，在长方形中，，，点在轴上，点在轴上，正比例函数图象经过点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质可得点的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，，，且点在第四象限， ∴， ∵正比例函数图象经过点， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求正比例函数的系数，掌握长方形的性质，待定系数法求解析式的方法是解题的关键． 10．已知一次函数是正比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 11．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系是解题的关键．先利用正比例函数确定点坐标，利用即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故， ∵即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围， 结合图象得当时，， 则不等式的解集为． 故答案为：． 12．如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．将点代入函数求出的值，再根据函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得：， 随着的增大而减小， 故答案为：减小． 13．一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数平移的规律，熟练掌握一次函数平移的规律：上加下减，左加右减，是解题的关键．根据“上加下减”进行解答即可． 【详解】解：根据直线平移的规律， 得一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后的函数表达式为， 故答案为：． 14．已知、是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据题意可知，可知函数值y随着x的增大而减小，再由，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据题意求出A、B点的坐标，然后求出面积即可． 【详解】解：直线交x轴于点A． 令，则，解得： 点A的坐标为 直线交y轴于点B． 令，则，解得： 点B的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数中求与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握坐标轴上点的特征并利用函数表达式求出关键点的坐标是解本题的关键． 16．已知，当m，n 取何值时，y是x的一次函数? 【答案】，n为任何数 【分析】本题考查了一次函数定义，根据一次函数的定义得出且，为任何数，再求出答案即可． 【详解】解：当且时是一次函数， 解得：， 为任何实数，都是一次函数 所以，为任何实数，是的一次函数． 17．已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质， （1）把点代入正比例函数中，可得； （2）由（1）得，，再把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得：； （2）解：在 理由：由（1）得：， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 18．在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 【答案】(1)图象见详解； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用两点法画出函数的图像即可； （2）根据图像即可求得． 【详解】（1）解：当时， 当时，，， 过点作直线， 画出函数图像如图； （2）解：对于，当时，； 对于，当时，； ∴． 19．已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，熟记相关结论即可． （1）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，此时为正比例函数，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵y是x的正比例函数 ∴ 解得 ∴ 20．如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为： (2) 【分析】（1）根据直线的图象经过点和点，把，两点的坐标代入，解出，，即可； （2）由（1）得，函数的解析式：，根据，解出不等式，即可． 【详解】（1）∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）由（1）得，一次函数的解析式为：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出解析式，一次函数的图象和性质． 21．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【分析】（1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式； （2）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值． 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是分类讨论，求出的长． 22．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）首先求得直线的解析式，然后根据面积求得点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解； （2）根据题意得平移后的抛物线为，把代入即可得到结论． 【详解】解：设点，直线的解析式为， 将、分别代入， 得，， 故， 的面积 ， 再把代入，得， 所以， 把代入到中得：； （2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点， 则平移后的抛物线为， 把代入得， 向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与图象相结合的应用，难度中等．解题关键是利用三角形面积求出点P的坐标． 能力提升 23．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 24．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由，解得或， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 25．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，点是轴上的一动点，当的值最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键． 作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，当A、P、三点共线时，有最小值，求出直线的解析式为与x轴的交点即可． 【详解】解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， ∴， ∴， 当A、P、三点共线时，有最小值， ∵，两点的坐标分别为，， ∴， 设直线的解析式为， ， ∴， ∴， 令，则， ∴， 故选C． 26．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，一次函数的性质等等，先根据三角形面积公式推出，再把点代入一次函数解析式中得到，据此推出，再由勾股定理得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， 故选：B． 27．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令代入，求得，，即可判定①正确；由，，，得到，即，求得，，则点为“零和点”， 即可判定②正确；把代入二次函数，求得，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则即有且只有一个根，所以，求得，，从而求得，根据二次函数的增减性即可求得当或时，二次函数的最小值为，最大值为，即可求出当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是，可判定③正确． 【详解】解：把，代入，得 解得： ∴ 即点在直线上， ∴直线上存在“零和点”，故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴ ∴点为“零和点”，故②正确； ∵点是二次函数的图象上的“零和点”， ∴ ∴ ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点” ∴即有且只有一个根， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， ∵ ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，则， 解得：，， ∴当或时，二次函数的最小值为，最大值为， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴实数k的取值范围是，故③正确； ∴①②③都要正确，共3个正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象性质，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“零和点”，结合求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 28．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握图形的性质，图形交点的计算，根据交点求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据直线与坐标轴的交点可得，，，，，可判定①；根据图象的性质，增减性可判定②；先算出反比例函数解析式，再联立方程组求解可判定③；根据图示的交点可判定④；由此即可求解． 【详解】解：直线与坐标轴交于、两点， 令时，，令，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，故②正确； ∵， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，或， ∴方程的解为，故③错误； 由图可知，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 29．直线经过点，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将点代入计算即可得． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 故答案为：5． 30．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角形的全等是解题的关键；过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据定理得出，故可得出及的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， ∴， 又， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为， 故答案为：． 31．如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，一次函数的图像经过点C，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和一次函数解析式的求法，解题关键是利用菱形性质求C的坐标． 设菱形的两条对角线相交于点D，根据菱形的性质可确定，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求k的值． 【详解】解：设菱形的两条对角线相交于点D，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的对角线在y轴上， ∴轴， ， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 故答案为：． 32．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求出E、F点坐标是解题关键． 设，依题意得，可设，，用待定系数法求得，，从而求得，，则，把代入，得，再代入计算即可求解． 【详解】解：设，依题意得，可设，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ， 当时， ∵点E在y轴负半轴上， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得： ∴， 当时， ∵点F在y轴负半轴上， ∴， ， 把代入，得， ， ， ， ． 故答案为：2． 33．若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．如图1，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为，则点到直线的距离的长为 ；如图2，当时，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，坐标与图形，作出辅助线是解决本题的关键． 本题①需要先求出，，然后证明和全等，然后即可求解；②先做辅助线，作，垂足为，在延长线上找一点，令，然后求出勾股定理，再根据勾股定理求得，然后即可求解； 【详解】解：①当时，，当时，；当时，； ∴，， ∴； 由题意得：，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②作，垂足为，在延长线上找一点，令，当点在点处，点在点处时，取得最小值； 如图： ， ∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：；． 34．如图，已知，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C． (1)求点A、C的坐标； (2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的B点坐标． (3)直线绕A点顺时针旋转得到新的直线，求新的直线解析式． 【答案】(1)点A的坐标为，点C的坐标为； (2)B点坐标为或或； (3)新的直线解析式为． 【分析】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键． （1）点A和点C是直线与坐标轴的交点，分别令，，求其对应的值即可； （2）根据题意，分类讨论即可； （3）过点作，在上截取，作直线，过点作轴于点，证明，求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）得，； ∴， ①当时， 此时x轴为线段的垂直平分线， ∴， ∴点B的坐标为； ②当， ∴点B的坐标为或； 综上，B点坐标为或或； （3）解：过点作，在上截取，作直线，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 即新的直线解析式为． 35．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等，是解题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，，解得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴， 由题意得：， ∴，同底等高， ∵， ∴． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线与y轴交于点D．直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值． (2)点M在直线上，轴，交于点N，若，求点M的坐标． 【答案】(1)点横坐标为1， (2)或 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，坐标与图形； （1）由点纵坐标为，求解，再代入得的值； （2）先求解，，设，由轴，得，再利用方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点，点纵坐标为， ，解得， ， 代入得， ，解得，    ，； （2）解：， 直线：， 直线：和直线：中， 令，分别得与， ，， ， 设，由轴，得， ， 解得或， 或． 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键． （1）先求出点，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）联立直线与反比例函数解析求得，联立直线与直线求得，而，设，过点作轴交直线于点，可求，则，当点在直线右侧时，可得，由，得到，则；当点在直线作侧时，此时，同理可求； （3）如图，过点作于点，由可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，则，故，那么或，即可求解点坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立直线与反比例函数解析式得，， ∴， 解得：或， ∴， 联立直线与直线得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴，如图： 当点在直线右侧时，∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在直线作侧时，∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图，过点作于点， 则； ∵， ∴点距离轴和轴的距离相等且为， ∴直线与轴负半轴夹角为， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$