第09讲 函数与平面直角坐标系（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数（6~10分） （思维导图+2考点+3命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 函数 考点二 平面直角坐标系 04题型精研·考向洞悉 命题点一 函数 ►题型01 函数的概念 ►题型02 函数的变量与常量 ►题型03 求自变量的取值范围 ►题型04 函数的图像识别 ►题型05 从函数图像中获取信息 ►题型06 函数的解析式 ►题型07 动点的函数图像 命题点二 平面直角坐标系内坐标特征 ►题型01 平面直角坐标系内点的坐标 ►题型02 平面直角坐标系内象限点的特征 ►题型03 坐标与图形的变化 ►题型04 点坐标的规律探究 ►题型05 求平面直角坐标系中图形面积 ►题型06 直角坐标系上最短路径存在问题 命题点三 坐标系的应用 ►题型01 用坐标表示位置 ►题型02 方向角和距离表示物体位置 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 函数 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. ⭐⭐⭐ 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数和解析几何的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年浙江中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 平面直角坐标系 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. ⭐⭐⭐⭐ 考点一 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读： ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 3．（2020·浙江·中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间的增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案． 【详解】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间）， ∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为， ∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下 ∴C项图像满足此关系式， 故答案为：C． 【点睛】此题考查根据函数式判断函数图像的大致位置． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 考点二 平面直角坐标系 一、有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 二、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 三、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 四、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 五、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1．（2022·浙江衢州·中考真题）在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点A的横纵坐标都为负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第三象限， 故选：C． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．    【答案】作图见解析， 【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：    ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键． 3．（2023·浙江台州·中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案． 【详解】解：“车”所在位置的坐标为， 确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1， “炮”所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点． 4．（2023·浙江·中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 5．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO， 三个正六边形，O为原点， 同理： 三点共线， 关于O对称， 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键． 命题点一 函数 ►题型01 函数的概念 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m                1 2 3 n                8 3 2 ④图中，曲线表示y是x的函数． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．根据函数的定义分别判断即可． 【详解】解：①∵，∴圆的周长是半径的函数，正确； ②表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，正确； ③是的函数，正确； ④如图中，对于的每一个取值，有不唯一确定的值与之对应，不是的函数． 故选：C． 3．（17-18七年级下·全国·单元测试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（  ） 温度/℃ 声速/（m/s） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为℃时，声音可以传播 D．当温度每升高℃，声速增加 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，解题的关键的掌握函数的定义，掌握自变量和因变量的关系，从表格中读取信息，进行判断，即可． 【详解】由函数的定义可得，在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A正确，不符合题意； ∵由表格信息可得，温度越高，声速越快， ∴选项B正确，不符合题意； ∵当空气温度为℃时，声音可以传播距离为， ∴选项C错误，符合题意； ∵由题意得当温度每升高℃，声速增加， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． ►题型02 函数的变量与常量 1．（2023·浙江杭州·二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称 函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用． 【详解】解：、令，则，即，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 、令，则，即，则，即函数和具有性质M，符合题意； 、令，则，整理得，，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 、令，则，整理得，，则，即函数和不具有性质M，不符合题意； 故选：． 2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【答案】A 【分析】根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，；常量是， 故选：． 【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键． ►题型03 求变量的取值范围 1．（2018·浙江宁波·一模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：B． 2．（2019·四川眉山·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 3．（2023·浙江衢州·一模）函数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于． 【详解】由，得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 4．（2022·江苏无锡·一模）函数y＝，自变量x的取值范围是（　   　） A．x≠－2 B．x≤2 C．x＞－2 D．x≥－2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，2x+4≥0， 解得，x≥-2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． ►题型04 函数的图像识别 1．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键． 根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t， A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意； B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意； C、图象准确反映了题意，符合题意； D、图象函数一直下降，不符合题意． 故选：C． 2．（2024·浙江温州·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上，可得P、Q关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴得P、Q关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵，在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项B错误，选项D正确． 故选：D． 3．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象辨别．熟练掌握一次函数的图象和性质，反例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据“时间=路程÷速度”,得到相应的函数解析式,看属于哪类函数,得到相应图象即可． 【详解】设甲乙两地之间的距离为s， 则（定值）， ， 符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数, 图象应为在第一象限的曲线. 故选：D． 4．（2023·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（    ） A． B． C．   D．   【答案】D 【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，综合分析选出正确答案． 【详解】解：∵（米）=2（千米）， ∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米， 而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B， 又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0， ∴排除选项C， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解函数图象的意义． 5．（2023·浙江温州·模拟预测）小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为开始以正常速度匀速行驶，然后停下，最后加快速度，由此即可作出选择． 【详解】解：根据题意可知： 开始时匀速行驶，此时对应的图象为直线，函数的图象递减． 途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数， 最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线． 故选：C． 【点睛】此题考查了从图象中读取信息的能力，解决此类识图题，要注意分析其中的关键点，还要善于分析各图象的变化趋势． ►题型05 从函数图像中获取信息 1．（16-17八年级下·全国·期末）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D． 【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意； 由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意， 故选：C． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟 C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键． 根据函数关系图算出前10分钟，甲的速度，乙的速度，可判断A；根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过30分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项C；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过20分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D． 【详解】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意； B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意； C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意； D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题主要考查函数图形与几何图形面积的计算，理解图示，掌握动点与面积的关系，函数图象获取信息的知识是解题的关键． 根据题意，第5~7秒时，三角形的面积等于，第2~5秒时，三角形的底边为，第7秒时，长方形的长为，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，第5~7秒时三角形完全覆盖住长方形，可得三角形的面积等于， 第2~5秒时，三角形和长方形从开始覆盖到完全覆盖， ∴三角形的底边为， ∴三角形的高为，即长方形的宽也为， 第7秒时，三角形已经运动到长方形最右端， ∴长方形的长为， ∴长方形的面积等于． 4．（2024·浙江·模拟预测）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（    ） A． B．2 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图像，根据图像可知小明先步行然后等车然后坐车，可知小明步行时间为20分钟，等车时间为分钟，坐车时间为分钟，然后根据的关系式，即可计算出步行的速度和校车的速度，然后比较即可． 【详解】解：根据函数关系图可知，步行的速度为：， 校车的速度为：， ∴校车与步行的速度比是：， 故选：C． ►题型06 函数的解析式 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某函数的图象经过点，请写出一个符合条件的函数表达式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据图象与点的关系，选择正比例函数即可． 本题考查了图象与点的关系，正确理解图象与点的关系，选择适当函数求解即可． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键． 根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式． 【详解】解：由表格中两个变量的对应值可得， ， 所以与成反比例关系， 所以与的函数关系式为， 故选：A． 3．（2021·浙江金华·一模）一个水库的水位在最近的小时内将持续上涨．如表记录了小时内个时间点对应的水位高度，其中表示时间，表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个关于的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围） 小时 米 【答案】/y=0.2t+3 【分析】从表格看，t=0时，y=3，而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，即可求解． 【详解】解：从表格看，时，， 而每半个小时增加米，即每个小时增加， 故函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列函数的关系式，解题的关键是按照找规律的方法，列出函数表达式． 4．（2021·浙江温州·一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝2x B． C．y＝5000x D． 【答案】D 【分析】行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵汽车行驶每100千米耗油x升， ∴1升汽油可走米， ∴y=50×． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是找到行驶千米数的等量关系，注意先求得一升汽油所走的千米数． ►题型07 动点的函数图像 1．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理理，矩形的性质与判断，垂线段最短，动点问题的函数图象； 如图所示，过点C作于D，连接，证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，根据函数图象得出，进而勾股定理求得，根据等面积法求得，勾股定理求得，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， 根据图2可得，在中，， ∴, ∴， ∴， ∴； ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选B． 2．（2024·浙江湖州·一模）向高为的空花瓶（形状如图）中匀速注水，注满为止，则水面高度与注水时间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动态问题与函数图像，根据水瓶的形态判断出水高度与注水时间的变化关系为：先快再慢，最后又变快，找到相应的函数图像即可． 【详解】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始窄，逐渐变宽，再变窄， 则注入的水高度与注水时间的变化关系为：先快再慢，最后又变快，那么从函数的图象上看，D对应的图象变化为先慢后快，最后又变慢，不符合；A、B对应的图象中间没有变化，只有C符合条件， 故选：C． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的动点问题、勾股定理等知识点，正确从函数图像上获取信息成为解题的关键． 由图可知，当与点B重合时，最小，与重合，此时，；当与点C重合时，最大，与重合，根据，矩形的面积，据此列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接． 由函数图像可知：，，，到的距离等于2． ∵，矩形的面积， ∴，解得：（负数已经舍去） ∴矩形的面积为， 故选C． 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．根据勾股定理求出，再分别求出和时的D，的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可． 【详解】解∵，，， ∴， 当时，点P在边上，如图所示，    此时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴ 当时，， ∴， ②当时，点D在边上，如图所示，    此时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故选：B． 命题点二 平面直角坐标系内坐标特征 ►题型01 平面直角坐标系内点的坐标 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，利用x轴下方，y轴右侧得出点位于第二象限，再利用到坐标轴的距离得出点的坐标．先利用，得到，，求出，，再利用点P位于y轴右侧，x轴下方，得到P点在第四象限．从而利用坐标特点求出点P的坐标即可． 【详解】∵， ， ∴，． ∵点P位于y轴右侧，x轴下方， ∴P点在第四象限． 又∵点P距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度， ∴点P的横坐标为2，纵坐标为-4，即点P的坐标为． 故选：A． 2．（18-19七年级下·湖北十堰·期末）已知点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，根据题意，点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，即可得到答案，熟记点的坐标的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3， 点的坐标是， 故选：C． 3．（2023·浙江杭州·二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据y轴上点的横坐标为0求出m的值，即可得到答案． 【详解】∵点在y轴上， ∴， ∴点M的坐标可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 4．（2022·浙江·模拟预测）已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点A在第四象限，且到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度， ∴点A的横坐标是4，纵坐标是， ∴点A的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． ►题型02 直角坐标系内象限点的特征 1．（2024·浙江杭州·二模）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了直角坐标系象限点的特征，掌握每个象限点的特征是解题的关键．根据点在第二象限，判断出和的正负，再判断点中的正负，从而推出其所在的象限． 【详解】解：点在第二象限 ， 则点在第四象限 故答案为：四． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了象限内的点的符号特点，注意加任意一个正数，结果恒为正数成为解题的关键． 先判断出点P的横坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可． 【详解】解：∵为非负数， ∴为正数， ∴点P的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P在第四象限． 故选D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）点所在的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查了点的坐标和算术平方根，立方根，牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键． 根据非负数的性质，即可判断出点的横坐标与纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点所在象限即可． 【详解】解， ， 为非负数， ， 点的横坐标是负数，纵坐标是正数， 点在第二象限． 故答案为：第二象限 4．（2023·浙江台州·一模）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出a、b的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵点在第二象限， ∴， ∴点在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． ►题型03 坐标与图形的变化 1．（24-25八年级上·浙江·期末）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．根据关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，即可解题． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（重庆市渝中区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得． 【详解】解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心． ∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，    ∴旋转中心的坐标是， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． ►题型04 点坐标规律的探究 1．（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题； 【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到； 根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知， 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故答案为 2．（2023·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：由图知，令（n为整数）， 从开始，在第4象限，在第3象限，在第2象限，在第1象限， 由规律可得，， ∴点的在第四象限的角平分线上，坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出４个一循环的规律是解题的关键. 3．（2023·浙江金华·一模）如图，正方形，，，…的顶点，…在直线上，顶点，，，…在x轴上，已知，，那么点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得...的坐标，可以得到规律：，据此即可求解 【详解】∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键． ►题型05 求平面直角坐标系中图形面积 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是根据点的位置求其坐标，三角形的面积，先求解，，再求解三角形的面积即可． 【详解】解：点在x轴上，点在y轴上， ，， 解得，， ∴，， ∴三角形的面积为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)在图中作出关于y轴对称的，写出点的坐标； (2)求的面积； (3)画图：在y轴上找出点Q，使的周长最小；并写出点Q的坐标． 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3)图见解析，． 【分析】本题主要考查了作图-轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，轴对称-最短路线问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系内关于轴对称的点的坐标特征即可得到各顶点的位置， 顺次连接即可，根据各顶点的位置，写出各点坐标即可； （2）用长方形的面积减去周围3个小直角三角形的面积即可得到答案； （3）点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图所示即为，由图形得：，，， （2）的面积为； （3）解：点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求， 由图象可知：点的坐标为． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． (1)求点，的坐标； (2)连接，，求三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据的长度与点A的坐标得出点的坐标，根据的长度得出点的坐标； （2）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点，根据，即可求解． 【详解】（1）解： 三角形是直角三角形，，，轴， ，即， ∵， ，即． （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点， 则，，，，， ． 在平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解. ►题型06 直角坐标系上最短路径存在问题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．    (1)请画出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接D，E，F即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，，此时周长最小．根据勾股定理分别求出，，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：由图可得：，，． ；    （3）解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，， 周长最小． ，，， ， ， 周长最小值为．    2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______； (2)的面积是_______； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称-最短路线问题、三角形面积等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）如图：连接，交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，． （2）解：的面积是． 故答案为：． （3）解：如图：连接，交y轴于点P，连接， 此时， ∴点P即为所求.的最小值为． 故答案为：． 命题点三 坐标系的应用 ►题型01 用坐标表示位置 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（    ）      A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了坐标位置确定，根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，点的位置用表示， ∴表示的位置是先向东走步，再向北走步，即为点， 故选：B． 2．（2021·山西临汾·三模）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,找到坐标系，再读出“尾部”点坐标即可． 【详解】解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,,可建立坐标系如图： 则由图表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为, 答案选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的坐标的找法，正确确定坐标系是解题关键． 3．（2020·浙江金华·模拟预测）如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进，P的位置为五列二行，表示为（5，2），则（4，3）表示的位置是（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据P在第五列第二行，用（5，2）表示，可知用有序数对表示点的位置时，列号在前，行号在后，进而得出即可． 【详解】∵P在第五列第二行，用（5，2）表示， ∴有序数对（4，3）表示点应在第四列第三行． 故选：C． 【点睛】此题考查坐标确定位置，根据已知得出横纵坐标的意义是解题关键． ►题型02 方向角和距离表示物体位置 1．（2020·浙江金华·模拟预测）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（　　）    A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km 【答案】D 【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断． 【详解】小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km； 小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km； 游船在小艇A的南偏西30°，且距游船3km； 小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法． 2．（2022·浙江丽水·三模）如图，射线表示北偏西，若射线，则射线表示的方向为 ． 【答案】北偏东 【分析】求出的度数，根据方向角的概念得出答案即可． 【详解】如图 ∵， ∴， ∵由射线OA表示北偏西30°，得， ∴， ∴射线OB表示的方向为北偏东， 故答案为：北偏东． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 基础巩固 1．在白银市大地影院里，如果用表示4排7号，那么9排8号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数对表示实际意义，理解数对的定义是解题的关键． 【详解】解：9排8号可以表示为， 故选：A． 2．点到轴的距离是（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，解答即可． 【详解】解：∵点， ∴点到x轴的距离是， 故选：A． 3．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐标分别为，，则“科”所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系的建立与象限，熟练掌握坐标系的建立与象限的特点是解题的关键．根据“创”“新”对应的坐标分别为，，判定“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线，这样就可以判定“科”在第二象限，解答即可． 【详解】解：根据“创”“新”对应的坐标分别为，， 故“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线， 故“科”在第二象限， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质；根据菱形的性质得出，进而可得是等腰直角三角形，进而求得的长，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，， ，…，得到规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为；当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为；按照规律计算解答即可． 本题考查了坐标系中点的坐标规律问题，熟练掌握规律探索的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ，…， 故规律是当右下角的角码是奇数时，横坐标为，纵坐标为； 当右下角的角码是偶数时，横坐标为，纵坐标为； 故点的坐标是． 故选：B． 6．外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【答案】B 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．根据图形逐项分析即可． 【详解】解：A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处，故不正确； B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处，正确； C洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处，故不正确； D．医院在外婆家南偏东方向，距离300米处，故不正确； 故选B． 7．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，熟练掌握圆柱的体积等于底面积高是解答本题的关键． 根据圆柱的体积等于底面积高列式即可． 【详解】解：∵圆柱的半径为，高为， ∴圆柱的体积． 故选：A． 8．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设 ， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， 当时，，解得， 故选：D 9．如图①，动点从点出发，以的速度沿的路线运动，记三角形的面积为，与点的运动时间的关系如图②所示，若，则，的值分别为（   ） A．24，17 B．12，17 C．24，18 D．12，18 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据动点的路程与运动时间的关系依次求出点在不同线段上运动的状态，分别计算即可． 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， ， ； 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：A． 10．函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值方法，分式有意义的条件，解不等式，理解分式有意义的条件，函数自变量的取值方法是解题的关键． 根据分式的性质确定函数自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数中自变量的取值范围是， 故答案为： ． 11．下列式子中，y是x的函数关系的有 个． ①；②；③；④； 【答案】3 【解析】略 12．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，以及三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． 直接利用三角形的面积公式解答． 【详解】解：如图，． 所以． 故答案为：9． 13．乐乐在公园的石墩上发现了如图所示的“晋”字图案，整体为轴对称图形非常美观，他拍照打印后将其置于平面直角坐标系中．若图中点A，B，C的坐标分别为，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，轴对称图形，轴对称变换．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据B、C的坐标确定出坐标轴的位置，即可得到点D的坐标． 【详解】解：∵关于y轴对称， 又∵“晋”字图案为轴对称图案， ∴“晋”字图案的对称轴为平面直角坐标系的y轴， ∴A、D两点关于y轴对称， ∵， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 14．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 【答案】/ 【分析】本题考查了函数关系式，根据表格得出行驶速度是解题的关键． 由表格得出每小时行驶，用开始时离福州的距离减去行驶的距离即可． 【详解】解：由表格可知，汽车每半小时行驶, ∴汽车的行驶速度为， 则． 故答案为： ． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)； (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质写出坐标系中点的坐标， 求网格图中三角形的面积，数形结合，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别作出三个顶点关于轴的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据坐标系，写出点的坐标； （3）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解∶如图所示，即为所求； （2）解：由图可得：； （3）解：． 16．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． (1)求点，的坐标； (2)连接，，求三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据的长度与点A的坐标得出点的坐标，根据的长度得出点的坐标； （2）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点，根据，即可求解． 【详解】（1）解： 三角形是直角三角形，，，轴， ，即， ∵， ，即． （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，，的延长线交于点， 则，，，，， ． 17．梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8． (1)求梯形面积y与上底长x之间的关系式； (2)用表格表示当x从11变到20（每次增加1）时，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由； (4)当时，y等于什么？此时它表示什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)当x每增加1时，y的值增加4，理由见解析 (4)当时，，见解析 【分析】本题主要考查了用关系式和表格表示变量之间的关系，求函数值等等，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据梯形面积计算公式进行求解即可； （2）根据（1）所求求出对应x值时y的值，进而列出表格即可； （3）分别求出当时，当时的函数值即可得到结论； （4）把代入（1）所求关系式求出y的值，再根据时，可知此时y表示的是的面积． 【详解】（1）解：． （2）解： 见下表： x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 （3）解：当x每增加1时，y的值增加4．理由：． （4）解：当时，，此时它表示底为15，高为8的三角形的面积． 18．甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． (1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时； (2) 先到达终点，时间相差 小时； (3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇． 【答案】(1)乙队，16 (2)乙队， (3) 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，乙队的速度始终不变，利用路程除以时间进行求解即可； （2）乙队先到达终点，利用路程除以速度求出乙队所用时间，进而求出时间差即可； （3）求出甲队在段的速度，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，乙队的速度始终不变，1小时行驶了16千米， ∴乙队的速度为：千米/小时； 故答案为：乙队，16； （2）由图象可知，乙队先达到终点，所用时间为：，甲队到达终点所用时间为：小时， ∴时间相差小时； 故答案为：乙队，； （3）甲队段的速度为：千米/小时， 当他们第一次相遇时，，解得：； 故比赛开始后小时，他们第一次相遇． 能力提升 19．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 20．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过次旋转后，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点的坐标即可． 【详解】解：连接，，如图， 在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ， ， 点的坐标为， 将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过2025次旋转后，顶点的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， 过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴ ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 经过2025次旋转后，顶点的坐标为， 故选：C． 21．如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据黑棋①和黑棋②的坐标建立坐标系，再根据白棋③的位置其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是． 故选：A． 22．A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲车行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲车出发后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶或时，甲、乙两车相距．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在行程问题中的应用；①由图象得，由第小时乙追上甲，列出方程，即可判断；②由图象得甲车出发后，即可判断；③求出甲到达所用时间，即可判断；④甲出发时，甲、乙两车相距，分类讨论：当乙没有追上甲时， 当乙超过甲后，但未到达地时， 当乙到达地时，即可判断；理解横纵坐标的实际意义，能将图象与实际行程过程的各个时段相联系是解题的关键． 【详解】解：①由图象得 ， ， 解得：，故①正确； ②由图象得： 甲车出发后， 甲车出发后被乙车追上，故②正确； ③（） （）， 甲车比乙车晚到，故③正确； ④甲出发时，甲、乙两车相距， 当乙没有追上甲时， ， 解得：(不合题意，舍去) 此种情况不存在； 当乙超过甲后，但未到达地时， ， 解得：； 当乙到达地时， ， 解得：； 甲车行驶或时，甲、乙两车相距．故④错误； 故选：C． 23．如图1，在中，，P是斜边上一动点．过点P作，垂足为P，交的边或于点Q，设，的面积为y．若y与x之间的函数关系如图2所示，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数图形问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，观察图象可发现：当点Q在上时，的面积y随x的增大而增大，当点Q运动到点C时，此时y最大，过点C作于点D，则，当点P运动到点B时，y为0，即，然后证明，可求出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶过点C作于点D， 根据题意，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 24．在平面直角坐标系中，有两点，，将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第一次坐标变化操作；将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第二次坐标变化操作． 例如：，两点第一次坐标变化操作后的点为，点为；下列说法中： ①当，时，经过次坐标变化操作后，的面积为； ②经过次坐标变化操作后，直线的解析式为； ③若，，且，，时，则经过次坐标变化操作后，点的坐标为或． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，，据此规律分别求解，即可求解． 【详解】解：经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， 经过两点第次坐标变化操作后的坐标：，， ①当，时，，， ， 故此项错误； ②设直线直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线直线的解析式为， 故此项正确； ③ ，， ， ， ，， ， 联立， 解得：或， ， 解得：， ， 当，时， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， ， 的坐标为或， 故此项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标规律探究，待定系数法，完全平方公式变形计算等，能找出坐标规律是解题的关键． 25．若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键， 根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点P到轴的距离为7，到轴的距离为8， ∴， ∴， 故答案为：2，3． 26．如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 27．如图，点的坐标为，点是轴负半轴上的任意一点，分别以，为直角边的第三、第四象限作等腰和等腰，连接交轴于点，当点在轴负半轴上移动时，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故答案为：5． 28．若点向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点A关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与平移，解一元一次不等式组，根据平移的法则，轴对称的性质，得到点平移后的点为，点A关于x轴的对称点为，再根据象限内点的符号特征，得到关于的不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，点平移后的点为，点A关于x轴的对称点为， 则：，解得：； 故答案为：． 29．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时， ；在点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】先连接，得出，结合相切的性质，则在中，；以点B为平面直角坐标系的原点，分别以所在的直线为轴，轴，根据线段的中点，分别表示，，则，再分析在点运动过程中，要得出的最小值，即有最小值，则，令，有且仅当时，则，得，，解得．即可作答． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点， ∴， 当与相切时， 即，， ∴在中，； 如图：以点B为平面直角坐标系的原点，分别以所在的直线为轴，轴， ∵矩形中，，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点， ∴设， 则 ∵，分别为，的中点， ∴ ∵为的中点， ∴ 即， 则 ∵在点运动过程中，要得出的最小值， 即有最小值， ∴， 令 ∴， 即， 有且仅当时，则， 即， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了相切的性质，勾股定理，平面直角坐标系，线段的中点，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 30．如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， 由题意可得，，，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 31．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标：_____，_____，_____； (3)求的面积； (4)在轴上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)6.5 (4)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出点的坐标，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据A、B、C三点的坐标及关于y轴对称的点的坐标特征即可写出； （3）根据分割法即可求出的面积； （4）连接，与轴交于点，使的值最小． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵与关于轴对称，， ∴点的坐标为：； 故答案为：； （3）解：的面积； （4）解：如图，连接，与轴交于点，点即为所求． 【点睛】 32．如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，求四边形的面积． 【答案】26 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用梯形面积加上两个直角三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， ． 33．在方格中的位置如图所示． (1)请在方格纸上（小方格的边长为1）建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为，并写出C点的坐标； (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查轴对称作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；会根据一个点的坐标得到坐标原点．（3）中求三角形的面积通常都是利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积求解，此方法需要掌握． （1）根据点A的坐标可知坐标原点在点A左边两个单位，上边一个单位，再求出C的坐标即可； （2）找到与x轴对称的且到x轴的距离为1的，同法做其他点的对应点即可得到关于x轴对称的． （3）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积进行计算求解． 【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如下所示： 其中C点的坐标为：； （2）解：如图所示，其中； （3）解：． 34．项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 【答案】（1）2； 30；（2）小时；（3）最少推迟小时 【分析】本题考查根据图象解答问题，有理数计算，已知自变量值求函数值，待定系数法求一次函数反比例函数解析式等． （1）观察图象列式计算即可得到本题答案，再求出升温时直线的一次函数解析式，继而将代入即可求出第二空答案； （2）求出反比例函数解析式，进而求出在4时，大棚温度升至，在16时，大棚温度降至， 即可求出本题答案； （3）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】解：根据图象可知： 设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得：， ∴， ∵将代入中得：， ∴智能控制系统设定的恒温温度是， 故答案为：2，30； （2）设段函数解析式为：， 将代入得：， ∵当时，， ∴段温度为的时刻为16时， 把代入函数，得， 解得, 段温度为的时刻为4时， ∴ ∴大棚在0—24时内，温度不低于的时间一个小时； （3）日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到16时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，故至少需要推迟小时． 35．在某次室外活动中，摄影师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求无人机在上升和下降过程中的速度； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是多少分钟？ (3)第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)25米/分钟 (2)5分钟 (3)25米 【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． （1）根据题意计算即可； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）即可； （3）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可． 【详解】（1）解：（米/分钟）， 所以无人机在上升和下降过程中的速度是25米/分钟． （2）解：由题图可知，无人机到达75米高的上空的时间为（分钟）， 所以无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）． （3）解：在第14分钟时无人机的飞行高度为（米）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数（6~10分） （思维导图+2考点+3命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 函数 考点二 平面直角坐标系 04题型精研·考向洞悉 命题点一 函数 ►题型01 函数的概念 ►题型02 函数的变量与常量 ►题型03 求自变量的取值范围 ►题型04 函数的图像识别 ►题型05 从函数图像中获取信息 ►题型06 函数的解析式 ►题型07 动点的函数图像 命题点二 平面直角坐标系内坐标特征 ►题型01 平面直角坐标系内点的坐标 ►题型02 平面直角坐标系内象限点的特征 ►题型03 坐标与图形的变化 ►题型04 点坐标的规律探究 ►题型05 求平面直角坐标系中图形面积 ►题型06 直角坐标系上最短路径存在问题 命题点三 坐标系的应用 ►题型01 用坐标表示位置 ►题型02 方向角和距离表示物体位置 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 函数 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. ⭐⭐⭐ 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数和解析几何的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年浙江中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 平面直角坐标系 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. ⭐⭐⭐⭐ 考点一 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读： ①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）        A． B． C． D． 3．（2020·浙江·中考真题）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 考点二 平面直角坐标系 一、有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 二、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 三、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 四、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 五、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1．（2022·浙江衢州·中考真题）在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．    3．（2023·浙江台州·中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 4．（2023·浙江·中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 命题点一 函数 ►题型01 函数的概念 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m                1 2 3 n                8 3 2 ④图中，曲线表示y是x的函数． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 3．（17-18七年级下·全国·单元测试）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（  ） 温度/℃ 声速/（m/s） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为℃时，声音可以传播 D．当温度每升高℃，声速增加 ►题型02 函数的变量与常量 1．（2023·浙江杭州·二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称 函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 ►题型03 求变量的取值范围 1．（2018·浙江宁波·一模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·四川眉山·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（2023·浙江衢州·一模）函数的取值范围是 ． 4．（2022·江苏无锡·一模）函数y＝，自变量x的取值范围是（　   　） A．x≠－2 B．x≤2 C．x＞－2 D．x≥－2 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． ►题型04 函数的图像识别 1．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2023·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（    ） A． B． C．   D．   5．（2023·浙江温州·模拟预测）小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（   ） A． B． C． D． ►题型05 从函数图像中获取信息 1．（16-17八年级下·全国·期末）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 2．（2023·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟 C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 3．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 4．（2024·浙江·模拟预测）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（    ） A． B．2 C．10 D．8 ►题型06 函数的解析式 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某函数的图象经过点，请写出一个符合条件的函数表达式为 ． 2．（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 3．（2021·浙江金华·一模）一个水库的水位在最近的小时内将持续上涨．如表记录了小时内个时间点对应的水位高度，其中表示时间，表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个关于的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围） 小时 米 4．（2021·浙江温州·一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝2x B． C．y＝5000x D． ►题型07 动点的函数图像 1．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江湖州·一模）向高为的空花瓶（形状如图）中匀速注水，注满为止，则水面高度与注水时间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（  ） A． B． C． D． 命题点二 平面直角坐标系内坐标特征 ►题型01 平面直角坐标系内点的坐标 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知点P位于x轴下方，距离x轴a个单位长度，位于y轴右侧，距y轴b个单位长度，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·湖北十堰·期末）已知点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 4．（2022·浙江·模拟预测）已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． ►题型02 直角坐标系内象限点的特征 1．（2024·浙江杭州·二模）若点在第二象限，则点在第 象限． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）点所在的象限是 ． 4．（2023·浙江台州·一模）若点在第二象限，则点在第 象限． ►题型03 坐标与图形的变化 1．（24-25八年级上·浙江·期末）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 3．（重庆市渝中区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． ►题型04 点坐标规律的探究 1．（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 2．（2023·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ．    3．（2023·浙江金华·一模）如图，正方形，，，…的顶点，…在直线上，顶点，，，…在x轴上，已知，，那么点的坐标为 ． ►题型05 求平面直角坐标系中图形面积 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)在图中作出关于y轴对称的，写出点的坐标； (2)求的面积； (3)画图：在y轴上找出点Q，使的周长最小；并写出点Q的坐标． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． (1)求点，的坐标； (2)连接，，求三角形的面积． 在平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解. ►题型06 直角坐标系上最短路径存在问题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为．    (1)请画出关于轴对称的图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______； (2)的面积是_______； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______． 命题点三 坐标系的应用 ►题型01 用坐标表示位置 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（    ）      A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2021·山西临汾·三模）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江金华·模拟预测）如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进，P的位置为五列二行，表示为（5，2），则（4，3）表示的位置是（　　） A．A B．B C．C D．D ►题型02 方向角和距离表示物体位置 1．（2020·浙江金华·模拟预测）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（　　）    A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km 2．（2022·浙江丽水·三模）如图，射线表示北偏西，若射线，则射线表示的方向为 ． 基础巩固 1．在白银市大地影院里，如果用表示4排7号，那么9排8号可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．点到轴的距离是（   ） A．4 B．3 C． D． 3．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐标分别为，，则“科”所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A从原点出发，先向右平移1个单位至点，接着又向上平移1个单位至点，然后再向右平移1个单位至点，继续向上平移1个单位至点，…若按此规律进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 7．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 9．如图①，动点从点出发，以的速度沿的路线运动，记三角形的面积为，与点的运动时间的关系如图②所示，若，则，的值分别为（   ） A．24，17 B．12，17 C．24，18 D．12，18 10．函数中自变量的取值范围是 ． 11．下列式子中，y是x的函数关系的有 个． ①；②；③；④； 12．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 13．乐乐在公园的石墩上发现了如图所示的“晋”字图案，整体为轴对称图形非常美观，他拍照打印后将其置于平面直角坐标系中．若图中点A，B，C的坐标分别为，则点D的坐标为 ．    14．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时），汽车离福州的距离为，则关于的关系式为 ． 观察时刻 9：00 9：30 10：00 路牌内容 福州 福州 福州 （注：“福州”表示该路牌所在位置离福州的距离为） 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求出的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边，，，点的坐标为，且轴． (1)求点，的坐标； (2)连接，，求三角形的面积． 17．梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8． (1)求梯形面积y与上底长x之间的关系式； (2)用表格表示当x从11变到20（每次增加1）时，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由； (4)当时，y等于什么？此时它表示什么？ 18．甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． (1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时； (2) 先到达终点，时间相差 小时； (3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇． 能力提升 19．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 20．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过次旋转后，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 22．A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲车行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲车出发后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶或时，甲、乙两车相距．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图1，在中，，P是斜边上一动点．过点P作，垂足为P，交的边或于点Q，设，的面积为y．若y与x之间的函数关系如图2所示，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 24．在平面直角坐标系中，有两点，，将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第一次坐标变化操作；将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第二次坐标变化操作． 例如：，两点第一次坐标变化操作后的点为，点为；下列说法中： ①当，时，经过次坐标变化操作后，的面积为； ②经过次坐标变化操作后，直线的解析式为； ③若，，且，，时，则经过次坐标变化操作后，点的坐标为或． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ． 26．如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 27．如图，点的坐标为，点是轴负半轴上的任意一点，分别以，为直角边的第三、第四象限作等腰和等腰，连接交轴于点，当点在轴负半轴上移动时，则的长度为 ． 28．若点向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点A关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 29．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时， ；在点运动过程中，的最小值为 ． 30．如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标：_____，_____，_____； (3)求的面积； (4)在轴上画出点，使的值最小． 32．如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，求四边形的面积． 33．在方格中的位置如图所示． (1)请在方格纸上（小方格的边长为1）建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为，并写出C点的坐标； (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 34．项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 35．在某次室外活动中，摄影师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求无人机在上升和下降过程中的速度； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是多少分钟？ (3)第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$