第08讲 一元二次方程及其应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第二章 方程与不等式 第08讲 一元二次方程及其应用（10-15分） （思维导图+4考点+4命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程以及解法 考点二 根的判别式 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 一元二次方程的定义 ►题型02 已知一元二次方程的解求代数式的值 ►题型03 用合适的方法解一元二次方程 ►题型04 配方法的应用 ►题型05 一元二次方程的新定义问题 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断根的情况 ►题型02 根据根的情况求方程中字母的值 ►题型03 已知根的判别式求字母的值 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 求方程根有关的代数式值 ►题型02 根据一元二次方程根与系数的关系求参数 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 增长率问题 ►题型02 几何问题 ►题型03 传播问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一元二次方程的相关概念 理解一元二次方程的相关概念. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ⭐⭐⭐⭐ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2025年浙江中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； ⭐⭐⭐⭐⭐ 一元二次方程的根与系数的关系 了解一元二次方程的根与系数的关系. ⭐⭐⭐ 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. ⭐⭐⭐⭐ 考点一 一元二次方程及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2021·浙江丽水·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2019·浙江金华·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 考点二 根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 3．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 4．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 5．（2020·浙江湖州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 1．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 考点四 一次方程（组）的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 一元二次方程的定义 1．（2022·浙江宁波·一模）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·浙江杭州·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1；②有一个根为1．你构造一元二次方程是 ． ►题型02 已知一元二次方程解求代数式值 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 2．（2022·四川成都·模拟预测）已知α、β是一元二次方程的两个根，则 ． 3．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． ►题型03 用合适的方法解一元二次方程 1．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·浙江台州·模拟预测）计算： 解方程：． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）解方程： 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． ►题型04 配方法的应用 1．（2022·浙江金华·一模）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ． 3．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 4．（2022·浙江丽水·一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型05 一元二次方程的新定义问题 1．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 2．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 3．（2018·湖南益阳·中考真题）规定：，如：，若，则＝ . 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断根的情况 1．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 2．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 3．（2024·浙江湖州·一模）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ ►题型02 根据根的情况求方程中字母的值 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 2．（2023·浙江温州·一模）若关于x的方程没有实数根，则c的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（17-18八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．（2021·浙江·一模）已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（  ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 ►题型03 已知根的判别式求字母的值 1．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1．求的值． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 求方程根有关的代数式值 1．（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 2．（2024·浙江·模拟预测）若是的根，则（   ） A． B．7 C．6 D． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个相等的实数根，求的值； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. ►题型02 根据一元二次方程根与系数关系求参数 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且这两根之差的绝对值为6，那么的值为 ． 2．（2023·浙江金华·二模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则常数___________，___________． 3．（2023·浙江嘉兴·一模）已知，，且，则 ． 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01增长率问题 1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 4．（2024·浙江杭州·二模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为（），则有（　　） A． B． C． D． ►题型02 几何问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合与实践： 如何改造儿童友好公园？ 素材1 在一块长与宽之比为的长方形场地上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地面积的一半． 素材2 为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知米，米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地安装游乐设施． 问题解决 目标1 确定场地尺寸 求长方形的长和宽． 目标2 确定改造方案1 若剩余空地面积为场地面积的，，为正整数，请你设计一种方案：________米，________米． 确定改造方案2 若比大8米，求长方形空地面积的最大值． ►题型03 传播问题 1．（2022·浙江宁波·二模）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人. 2．（2022·浙江舟山·一模）某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者． （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程． （2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 基础巩固 1．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 5．一元二次方程的根是（   ） A．， B． C． D．， 6．定义运算： ，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 7．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 8．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 9．周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（   ）米． A．8 B． C．20 D．24 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 12．已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 13．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 14．为了美化环境，2022年陇西县的绿化投资额为万元，2024年的绿化投资额为万元，则这两年绿化投资额的年平均增长率为 ． 15．关于的一元二次方程的中的一次项系数被◼遮挡，若方程的一个解为2，则另一个解是 ． 16．已知方程的一个根为2，求的值． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程一定有两个实数根； (2)若为该方程的一个解，求k的值． 18．解关于的方程： (1)； (2)． 19．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 20．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 21．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 能力提升 22．若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 23．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 24．如果是关于的方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 25．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 26．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 27．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 28．图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 29．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 30．一元二次方程的两个根为a，b，则的值为 ． 31．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 32．已知抛物线 （a， b， c是常数，） 经过点，有下列结论：①抛物线开口向上；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ． 33．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价，已知5月份礼盒的售价为486元，根据题意可列方程为 34．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 35．解方程： (1) (2) 36．已知关于的一元二次方程， (1)求证：无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为2，求的值． 37．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 38．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 39．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 40．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程与不等式 第08讲 一元二次方程及其应用（10-15分） （思维导图+4考点+4命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程以及解法 考点二 根的判别式 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 一元二次方程的定义 ►题型02 已知一元二次方程的解求代数式的值 ►题型03 用合适的方法解一元二次方程 ►题型04 配方法的应用 ►题型05 一元二次方程的新定义问题 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断根的情况 ►题型02 根据根的情况求方程中字母的值 ►题型03 已知根的判别式求字母的值 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 求方程根有关的代数式值 ►题型02 根据一元二次方程根与系数的关系求参数 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 增长率问题 ►题型02 几何问题 ►题型03 传播问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一元二次方程的相关概念 理解一元二次方程的相关概念. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ⭐⭐⭐⭐ 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2025年浙江中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； ⭐⭐⭐⭐⭐ 一元二次方程的根与系数的关系 了解一元二次方程的根与系数的关系. ⭐⭐⭐ 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. ⭐⭐⭐⭐ 考点一 一元二次方程及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2021·浙江丽水·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 3．（2019·浙江金华·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 考点二 根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选②，，；选③，， 【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【答案】或 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程． 由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程的两个根为， 则， 由条件知，即且， 故． 则方程为． 当，即时，关于x的方程为有实数根， 不等式即为， 则， 或． 当时，， ． 又是正整数，且， ，但使不等式的分母无意义． 综上，不等式的解为：或． 3．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 【答案】D 【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜4， 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键． 5．（2020·浙江湖州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 1．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 考点四 一次方程（组）的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）． 【答案】 【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程． 【详解】由包装盒容积为360cm3可得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 一元二次方程的定义 1．（2022·浙江宁波·一模）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如的方程叫一元二次方程，根据定义分别判断，即可解答． 【详解】解：A、是二元一次方程，故该选项错误，不符合题意； B、是分式方程，故该选项错误，不符合题意； C、由得，是一元一次方程，故该选项错误，不符合题意； D、由得，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键． 2．（2019·浙江杭州·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合； B、是一元二次方程，故此选项符合； C、是二元二次方程，故此选项不符合； D、不是整式方程，故此选项不符合； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1；②有一个根为1．你构造一元二次方程是 ． 【答案】2x2-2=0（答案不唯一） 【分析】以1和-1为根写出二次项系数不为1的一元二次方程即可． 【详解】解：满足二次项系数不为1，有一个根为1的一元二次方程可为2x2-2=0． 故答案为：2x2-2=0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． ►题型02 已知一元二次方程解求代数式值 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2022·四川成都·模拟预测）已知α、β是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2027 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 利用根与系数的关系求出与的值，再将代入方程得到，原式变形后将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 则 ． 故答案为：2027． 3．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． ►题型03 用合适的方法解一元二次方程 1．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）计算： 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程等知识，正确运算是关键． 利用因式分解求解即可． 【详解】解：分解因式得：， 即，， 故． 3．（2024·浙江温州·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，正确求解是解题的关键； 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可化为：， 即或， 故． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）移项得：x2=9， 开方得：x=±3， 即方程的解是：x1=3，x2=-3； （2）∵x2-2x-3=0， ∴（x-3）（x+1）=0， 则x-3=0或x+1=0， 解得； 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． ►题型04 配方法的应用 1．（2022·浙江金华·一模）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】１ 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 4．（2022·浙江丽水·一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解： x2-2x=1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ►题型05 一元二次方程的新定义问题 1．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 2．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】0 【分析】求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解． 【详解】解：， 解得：， 即， 则， 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键． 3．（2018·湖南益阳·中考真题）规定：，如：，若，则＝ . 【答案】1或-3 【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x）x=3， 整理，得 x2+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3． 故答案是：1或-3． 【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 命题点二 根的判别式 ►题型01 根据根的判别式判断根的情况 1．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 2．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（2024·浙江湖州·一模）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． ►题型02 根据根的情况求方程中字母的值 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 【答案】, 或，；或或，或， 【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为或． 【详解】解：两边同乘,得， 若， 若，由题意，知， 解得， 当时，，当时，， 若方程有两不等实根，则其中一个为增根， 当时，，， 当时，，． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 2．（2023·浙江温州·一模）若关于x的方程没有实数根，则c的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围，再对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ， 解得：， ∴c的值可能为2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的情况和判别式的关系是解决问题的关键． 3．（17-18八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，通过确定判别式的符号即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记 一元二次方程有两个不相等是实数根； 一元二次方程有两个相等是实数根； 一元二次方程有两个不相等是实数根是解决问题的关键． 4．（2021·浙江·一模）已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（  ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 【答案】B 【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可 【详解】∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点， ∴， 解得：， 将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0， 得：﹣+4x+5+d＝0， 又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6， ∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0， 得：﹣36+4×6+5+d＝0， 解得：d＝7， 经验证d＝7时，△＞0，符合题意， ∴d＝7． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键． ►题型03 已知根的判别式求字母的值 1．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程的根判别式的值为， 所以， 解得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，牢记一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键． 根据题意建立关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 整理，得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1．求的值． 【答案】 【分析】由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 求方程根有关的代数式值 1．（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解． 【详解】解：的两个实数根， ， 解得：， 由题可得：，， ，即， 将，，代入得，即， 解得，， ， ， 故答案为：． 2．（2024·浙江·模拟预测）若是的根，则（   ） A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵是的根， ∴． 故选：A． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解： 有两个不同的解， 设另一个解是， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程． (1)如果方程有两个相等的实数根，求的值； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系： （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，再由，即可得，则． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是这个方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. ►题型02 根据一元二次方程根与系数关系求参数 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且这两根之差的绝对值为6，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】设两根分别为和，则的最大值问题可转化为(x1-x2)2的最大值问题，展开并利用根与系数的关系将两根全部替换成a即可． 【详解】解：设方程两根分别为和，则：，， ， ， ， ， ∴， 当时，可取最小值， ∵ 6， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握配方法以及一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键． 2．（2023·浙江金华·二模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则常数___________，___________． 【答案】， 【分析】因为x的一元二次方程的两根分别为，，所以直接把，代入和即可． 【详解】解：因为x的一元二次方程的两根分别为，， 所以直接把，代入和， 得， 解得， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握一元二次方程的根与系数的内容性质是解题的关键． 3．（2023·浙江嘉兴·一模）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，把方程两边同时除以，然后把，看成的两个实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意知：，， 把变形为， ∵，，且，， ∴把，看成的两个实数根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是解题的关键． 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01增长率问题 1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为； (2) ；每千克应涨价元． 【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可； （）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可； 当时，得，解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 答：月份到月份的销售量月平均增长率为； （2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元， ； 由题意得：， 解得 或， 由于要尽可能的给予顾客优惠， 答：每千克应涨价元． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．将值代入等式中检验即可判断． 【详解】解：A．当时， ，不符合题意； B．当时， ，当时，，符合题意； C．当时， ，不符合题意； D．当时， ，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 4．（2024·浙江杭州·二模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为（），则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，根据数量关系得出关于的一元二次方程是解题的关键．根据某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万，列出一元二次方程即可做出判断． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为（） 根据题意得： 故选：C． ►题型02 几何问题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺， 根据题意得：． 故选：B． 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合与实践： 如何改造儿童友好公园？ 素材1 在一块长与宽之比为的长方形场地上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地面积的一半． 素材2 为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知米，米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地安装游乐设施． 问题解决 目标1 确定场地尺寸 求长方形的长和宽． 目标2 确定改造方案1 若剩余空地面积为场地面积的，，为正整数，请你设计一种方案：________米，________米． 确定改造方案2 若比大8米，求长方形空地面积的最大值． 【答案】目标1：该长方形场地的长为16米，宽为12米；目标2（方案1）：，或，；目标2（方案2）：长方形空地面积的最大值为100平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： 目标1：设长为米，宽为米，根据题意，列出方程，即可求解； 目标2（方案1）：根据题意，列出方程，即可求解；目标2（方案2）：设米，则米，根据题意可得长方形空地面积，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：目标1：设长为米，宽为米，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 则，， 答：该长方形场地的长为16米，宽为12米； 目标2：（方案1）根据题意得：， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴，或，； （方案2）设米，则米，根据题意得： 长方形空地面积 ； ∵， ∴， ∵， ∴当时，长方形空地面积最大，最大值为100平方米． ►题型03 传播问题 1．（2022·浙江宁波·二模）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人. 【答案】10 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每轮传染中平均每个人传染了10人． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 2．（2022·浙江舟山·一模）某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)够用，理由见解析 【分析】（1）从图表中取两组x与y的值，分别代入二次函数求得a与b的值即可； （2）令中y的值等于0，解方程即可求解； （3）求得前12天确诊病例的总人数与2100相比较即可求解． 【详解】（1）由题意得， 当，时，① 当，时，② 解①②组成的方程组得 ， ∴二次函数的解析式为． （2）∵， ∴， 由题意得，则， 解得或(不合题意，舍去)， ∴预计第天新增病例清零． （3）由题意得，到第12天时，新增确诊病例最多， ∴最多确诊病例为： ， ∴政府准备了2100张病床，病床够用． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者． （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程． （2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 【答案】（1）是“超级传播者”，过程见解析；（2）3375人 【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有225人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论； （2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数=经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论． 【详解】解：（1）设每人每轮传染x人， 依题意，得：1+x+（1+x）x=225， 解得：x1=14，x2=-16（不合题意，舍去）， ∵14＞10， ∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”， （2）225×（1+14）=3375（人）， 答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有3375人成为新冠肺炎病毒的携带者． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 基础巩固 1．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、是是一元二次方程，故此选项符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入方程得， 解得：， 故选：． 3．近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 4．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．一元二次方程的根是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴，； 故选A． 6．定义运算： ，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到方程，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴方程没有实数根， 故选：． 8．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．根据方程两边都加上一次项系数一半的平方即可得到配方结果． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：D 9．周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（   ）米． A．8 B． C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据长方形的面积公式建立方程，解方程可求出的值，再根据的值小于墙长即可得出答案． 【详解】解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则养鸡场的宽为（米）， 故选：A． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入中得： ， ∴， ∴， 故答案为：2027． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 12．已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，先解方程方程，结合三边关系，即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，，， 当三边为，，时，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为， 当三边为，，时，，不能构成三角形， 综上可知：这个三角形的周长为， 故答案为：． 13．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握是解决问题的关键．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根． 根据方程无实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 14．为了美化环境，2022年陇西县的绿化投资额为万元，2024年的绿化投资额为万元，则这两年绿化投资额的年平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年绿化投资额的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这两年绿化投资额的年平均增长率为， 根据题意得，， 解得：（舍去）； 答：这两年绿化投资额的年平均增长率为． 故答案为：． 15．关于的一元二次方程的中的一次项系数被◼遮挡，若方程的一个解为2，则另一个解是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．设另一个根据为，然后利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根据为， 则， ∴． 故答案为：1． 16．已知方程的一个根为2，求的值． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：∵方程的一个根为2 即 解得，， ∴m的值为3或． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程一定有两个实数根； (2)若为该方程的一个解，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程一定有两个实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴k的值为． 18．解关于的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活先用一元二次方程的解法解答本题的关键． （1）运用配方法解答即可； （2）运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 配方，得 开平方，得 ， （2）解： 因式分解，得 或 ，． 19．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 20．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 21．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】(1)米；米 (2)1米 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 【详解】（1）解：挂画的长为：米； 挂画的宽为：米； （2）解：由题意得： ， 解方程，得：，（不合题意，舍去）．     答：锦缎边饰的宽度为1米． 能力提升 22．若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 23．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 24．如果是关于的方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程，把代入方程解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， 故选：． 25．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得到的范围；再将所求式子变形，用一元二次方程的根与系数关系把它表示成的代数式；最后根据的范围得到所求代数式的最小值．本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及到二次函数的图象性质，比较综合． 【详解】解：有两个实数根， ∴， 即， 解得； 、是的两个实数根， ，， 则 ， 令， 则开口向上，对称轴为直线， 当时，的值随k的增大而增大， 时，的值最小为． 故选：C． 26．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 27．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系；利用得到，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；先由方程有两个不相等的实数解得到，再计算方程的根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可对②进行判断；根据二次函数的性质得到，则，所以利用，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；把代入方程得到，只有时，，从而可对④进行判断；利用一元二次方程的根为得到抛物线只有一个交点，，即抛物线的顶点在轴上，然后根据二次函数的性质得到二次函数的对称轴为直线，从而可对④进行判断． 【详解】解：当， ， ， 方程一定有两个实数根，所以①正确； 若方程有两个不相等的实根， ， 即， 对于方程， ， 方程必有两个不相等的实数根，所以②正确； 若二次函数的图象开口向下， ， ， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 若是方程的一个根， ， 当时，，所以④错误； 若一元二次方程的根为， 抛物线只有一个交点，即抛物线的顶点在轴上， 二次函数的对称轴为直线，所以⑤正确． 故选：D． 28．图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据旋转与菱形的性质、勾股定理可以求出的长度；如图（3）：过J作于M，连接，然后证明四边形是平行四边形可得长度，求出，再利用三角形面积公式列一元二次方程即可得的长度． 【详解】解：如图（2）：设，则， ， ∵挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合， ， ∴， ∵四边形为菱形， ， 在中，， ∴，解得：或（舍去） ； 如图（3）：过J作于M，连接， ∵， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， 整理得：，解得：， ， ； ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识点，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键． 29．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 30．一元二次方程的两个根为a，b，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义、根与系数的关系是解题关键． 先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，再代入求值即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 则， 故答案为：． 31．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 32．已知抛物线 （a， b， c是常数，） 经过点，有下列结论：①抛物线开口向上；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的符号，判断①，特殊点判断②，求出对称轴的范围判断③，判别式判断④即可． 【详解】解：∵，且经过点， ∴抛物线的开口向上，；故①正确； ∴ ∵， ∴， ∴；故②正确； ∴，即：， ∴， ∴当时，y可能先随x的增大而减小，故③错误； ∵， ∴， ∴可化为：， ∴， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根．故④正确； 故答案为：①②④． 33．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价，已知5月份礼盒的售价为486元，根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．商家在3月份提价后的价格为元，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价后价格为，据此可列出方程． 【详解】解：商家在3月份提价后的价格为元，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价后价格为，所以可列方程． 故答案为：． 34．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 35．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法和因式分解法解答方程是解此题的关键． （1）先将方程化成一般式，再用公式法求解即可； （2）先将方程化成一般式，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解： 或， ∴，． 36．已知关于的一元二次方程， (1)求证：无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程（）的根的判别：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，即可得到结论； （2）把代入方程，得出关于m的方程，解之可得． 【详解】（1）证明：， 无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得， 解得 37．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 38．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了根的判别式及解一元二次方程公式法，熟知一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴m的取值范围为； （2）解：当时，原方程为， ，， ∴ ∴，． 39．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解一元二次方程；如果一元二次方程的两个根分别为，，则有，． 把代入一元二次方程，可以求出，把代入方程可得原方程化为，解方程求出另一个根即可； 根据一元二方程根与系数的关系可知，又因为方程有两个根都是正整数，所以可知且为偶数，取，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有一个根为， ， 解得：， 原方程化为， 分解因式得：， 解得：， 方程的另一根为； （2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，， 则有， 方程的两个根都是正根， ， 解得：， 若， 解得：， 方程为， 整理可得：， 分解因式可得：， 方程的解为，． 40．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 【分析】（）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元，月租金收入为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$