第11讲 一次函数的应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用（6~10分） （思维导图+1考点+1命题点9种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 销售问题 ►题型04 阶梯收费问题 ►题型05 分配问题 ►题型06 分段函数问题 ►题型07 几何问题 ►题型08 体积问题 ►题型09 工程问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一次函数的应用 能用一次函数解决实际问题 ⭐⭐⭐⭐ 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 4．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)30件 (2) (3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． 【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米 (2)点B的坐标是，s＝60t－60 (3)小时 【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解； (2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式； (3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值 【详解】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时． 根据题意，得:, 解得x＝2． 则(千米)， ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米． （2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时， ∴点B的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设AB所在直线的解析式为， 则： 解得k＝60，b＝－60． ∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60． （3）解：由题意，得， 解得：， 故a的值为小时． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义． ►题型01 最优方案问题 1．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元； (2)； (3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式； （3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少； 【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为： （元）， 答：篮球每个100元，足球每个80元； （2）由题意得：， 即w与m的函数关系式为； （3）由题意可得：， 解得：， ， 由（2）得：， ， 随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值， 此时元，，， 故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元 【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱； 任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择套餐的有人，， 则选则套餐的有人，， ， ， ， 答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人； 任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， 当全班选择套餐人数不少于20人时， 即， ， 选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为； 任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）可知，订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ②当时，，， ∴订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满850元立减110元， 当时，订餐总费用最小为（元）； 综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 3．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            【答案】任务1：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张 【分析】任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，根据两种购买方案所需金额建立方程组，解方程组即可得； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，从而可得关于的函数关系式，再根据到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，根据预算可得，由此可得，再求出的取值范围，根据为正整数分析求解即可得． 【详解】解：任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元， 由题意得：， 解得， 答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 由题意得：， 要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ， 解得， 又为正整数， 由一次函数的性质可知，当时，取最小值，最小值为， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 购买门票总预算为1100元， ，即， 均为正整数，要让去场馆的人数尽量的多， ， ，即， 又要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ，即， 解得， ， ①当时，，符合题意， ②当时，，符合题意； 所以有两种购买方案，方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． ►题型02 行程问题 1．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设段解析式为，将代入得， ， 解得： ∴ 当时，，即 依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元 设线段的解析式为代入 ∴ 解得： ∴线段解析式为 依题意， 解得： 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·一模）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 【答案】(1)； (2)明明的跑步速度为； (3)t的值为2.25或1.75或或． 【分析】（1）设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：，把代入可得k的值，即可求解； （2）求得当时，，除以明明跑步的时间即可求得明明的跑步速度； （3）求得明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式，爸爸和明明相距，两个函数值的差的绝对值=0.5，求解即可得到的两个值：明明未出发时，以及明明到达目的地后，都可能与爸爸相距求得另两个的值即可． 本题考查一次函数的应用，得到爸爸和明明离开出发点的路程与时间的函数表达式是解决本题的关键，易错点是要分情况探讨明明和爸爸相距0.5千米时爸爸所用时间的不同情况． 【详解】（1）解：设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴； 答：爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式为：； （2）当时，． ∴明明的跑步速度＝ ． 答：明明的跑步速度为； （3）设明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式为：． ∵经过点． ∴． 解得：． ∴． ∵爸爸和明明相距， ∴． ∴． ∴或． 解得：或． 明明还未出发时，和爸爸相距0.5千米． ． 解得：t＝． 明明到达目的地后，和爸爸相距0.5千米． ． ． 解得：t＝． 综上：t的值为2.25或1.75或或． 3．（2024·浙江·一模）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图中、折线分别表示甲、乙离开地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象填空： (1)甲、乙两人相遇前乙的速度为________，相遇后乙的速度为________； (2)求甲离开地的路程与时间的函数表达式； (3)若甲、乙两人之间的距离表示为，请在图2中画出距离与时间的函数关系图象． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，以及函数图象的画法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象得到不同情况下乙的路程和时间，利用速度、路程、时间之间的关系，可求得乙的速度； （2）设甲离开地的路程与时间的函数表达式为，由图知，过点，，再利用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象得到的解析式，再利用列表，描点，连线的方法画出距离与时间的函数关系图象，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，两人相遇前乙的速度为：（）， 相遇后乙的速度为：（）， 故答案为：，． （2）解：设甲离开地的路程与时间的函数表达式为， 由图知，过点，， ，解得， 其函数表达式为； （3）解：设两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为， 有，解得， 两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为， 设两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为， ， 有，解得， 两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为， 当时，即，解得， ， 甲、乙两人之间的距离为， 可列表如下： 0 1 1.5 2.5 3.5 0 20 0 30 0 距离与时间的函数关系图象如下： ►题型03 销售问题 1．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 2．（2024·浙江宁波·二模）某校学生小甬和小真到校内咖啡吧参加实践活动，已知一种手磨咖啡的成本为8元/杯，经过一段时间销售后，小甬发现如果以10元/杯的价格销售，那么每天可售出300杯；如果以13元/杯的价格销售，那么每天可获取利润750元．小真通过调查验证，发现每天的销售量（杯）与销售单价（元）之间存在一次函数关系． (1)求关于的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天可获取的利润最大？ 【答案】(1) (2)销售单价定为12元/杯时，每天可获取的利润最大 【分析】本题考查一次函数的应用问题，能求出函数解析式是解题的关键． （1）以元/千克的价格销售，那么每天可售出千克；以元/千克的价格销售，那么每天可获取利润元．就相当于直线过点，，然后列方程组解答即可． （2）根据利润=销售量销售单价进价写出解析式，然后利用配方法求最大值． 【详解】（1）解：， 设与的函数关系式为， 把分别代入， 得 解得 与的函数关系式为． （2）设每天获取的利润为元， 当时，最大． 答：销售单价定为12元/杯时，每天可获取的利润最大． 3．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元 (2)总利润的最大值为元 (3)或 【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． （1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可； （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：， 解得：（舍去）或， 经检验：是原方程的根； ∴； 答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元； （2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒， 由题意，得：， 解得：， ∴的最大整数解为：35， 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值：； 故总利润的最大值为元． （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和， 由题意，得：， 解得：， ∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元， ∴， 整理，得：， ∵均为正整数， ∴或， ∴或． ►题型04 阶梯收费问题 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 2．（2023·浙江·一模）某市出租车乘车费用由里程费和等候费两部分组成． 里程费 等候费 里程数 收费标准 累计等候时间 收费标准 不超过 13元 不超过3分钟 免费 超出的整千米数（不足1千米按1千米计） 元/千米 超过3分钟的部分（不足1分钟按1分钟计） 元/分钟 如：从甲地乘出租车到乙地，全程4千米，途中累计等候时间为5分钟，则乘车费用为：（元）． 如图是小江家小龙家、小柯家及体育馆的相对位置示意图，图中数据表示两地间路程．    (1)小江某天乘出租车沿路线直达体育馆，求小江这次乘出租车的乘车费用． (2)若乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元），求关于的函数表达式． (3)小江、小龙、小柯三人相约去体育馆观看足球赛，有如下2种乘出租车方案（中逢每接1人累计等候时间为2分钟）． 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆． 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． 若两种方案的乘车费用相同，求小龙家B与小柯家C间的路程． 【答案】(1)小江这次乘出租车的乘车费用为33元； (2)关于的函数表达式为； (3)小龙家B与小柯家C间的路程为． 【分析】（1）由已知条件计算即可求解； （2）由题意列式计算即可求解； （3）设小龙家B与小柯家C间的路程为，由题意得到关于S的，解出S即可． 【详解】（1）解：小江某天乘出租车沿路线直达体育馆， 由题意得，总里程为（千米）， ∴（元）， ∴小江这次乘出租车的乘车费用为33元； （2）解：乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元）， 由题意得，， ∴关于的函数表达式为； （3）解：设小龙家B与小柯家C间的路程为， 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆， 此时总里程为，途中累计等候时间为4分钟， ∴乘车费用为（元）， 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． ∴乘车费用为（元）， ∵两种方案的乘车费用相同， ∴，解得， ∴小龙家B与小柯家C间的路程为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分段函数的应用，根据题意求出函数的解析式是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1)； (2)这个月该户用了11吨水． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可； （2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 与x的函数关系式为． （2）， 该户居民用了超过6吨水， 当时，， 解得：， 答：这个月该户用了11吨水． ►题型05 分配问题 1．（2023·河南信阳·模拟预测）某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． (1)求，两种空调的单价； (2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)种空调和种空调的进货单价分别是3000元和2100元 (2)最省钱的购买方案是购买种空调34台，种空调16台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用； （1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元，根据“购买1台种空调和3台种空调共需9300元，购买3台种空调和2台种空调共需13200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元，根据总价单价数量列出关于的函数解析式，根据种空调数量不小于种空调数量的2倍得出关于的一元一次不等式，解之求出的范围，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元， 依题意得：， 解得：． 答：种空调的单价是3000元，种空调的单价是2100元． （2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元． 依题意得：， 化简整理得：， 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，此时最小值为（元． 答：最省钱的购买方案是：购进型空调34台，购进型空调16台． 2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人 (2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人． 根据题意得， 解得． 答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人． （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元． 根据题意得， 解得， ． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值， ∴． 答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少． 3．（2022·黑龙江·一模）2022年2月第24届冬奥会在北京和张家口举行，中国北京成为世界上首个举办夏季和冬季奥运会的地市．奥运会期间，A，B两地向C，D两地运送物资，已知A，B两地共有物资300吨，其中A地物资是B地物资数量的2倍．现C地需要物资140吨，D地需要物资160吨．从A地往C，D两地运物资的费用分别为10元/吨和15元/吨；从B地往C，D两地运物资的费用分别为8元/吨和15元/吨．设从A地运往C地x吨物资，总运费为y元． (1)A地和B地各有多少吨物资？ (2)求出最少总运费； (3)由于更换车型，使A地运往C地的运费每吨减少a（0<a<3）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】(1)A地和B地分别有物资200吨和100吨 (2)最少总运费是3600元 (3)当0<a<2时，A地运往C地40吨，运往D地160吨，B地运往C地100吨，运往D地0吨；当a=2时，不管A地运往C地多少吨，运费都是3520元；当2<a<3时，A地运往C地140吨，运往D地60吨，B地运往C地0吨，运往D地100吨． 【分析】(1)根据A、B两地共有物资300吨，其中A地物资是B地物资数量的2倍，列方程解答即可； (2)设从A地运往C地物资x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往D地的物资吨数，从B地运往C地物资吨数，及从B地运往D地物资吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，再求出x的取值范围，利用一次函数的性质得结论； (3)列出当A地运往C地的运费每吨减少a(0<a<3)元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质分类讨论，即可得结论． 【详解】（1）解：设B地物资数量为m吨． 根据题意，得m +2m=300． 解得m=100． ∴2m =200． 答：A地和B地分别有物资200吨和100吨； （2）解：由题意，得 根据题意得 ∴40≤x ≤140． ∵k=2>0， ∴中，y随x的增大而增大． ∴ 当x=40时，y有最小值为3600． 答：最少总运费是3600元 （3）解：由（2）得． 当0<a<2，即2-a >0时，y随x的增大而增大， 故当x=40时，总运费最少， 此时A地运往C地40吨，运往D地160吨，B地运往C地100吨，运往D地0吨； 当a=2，即2-a=0时，y=3520，不管A地运往C地多少吨，运费都是3520元； 当2<a<3，即2-a <0时，y随x的增大而减小， x=140时，总运费最少． 此时A地运往C地140吨，运往D地60吨，B地运往C地0吨，运往D地100吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程及一次函数的应用，根据题意列出一次函数解析式是关键，注意(3)需分类讨论． ►题型06 分段函数问题 1．（24-25九年级上·重庆·期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 元 元 方案二：公共充电桩充电 元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用? (2)当已行驶里程大于千米时，求出电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）的函数表达式．当电池剩余电量为 时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米? (3)李先生都是在电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数） 【答案】(1)到公共充电桩一次性充满电需要元； (2)此时理论上还能继续行驶千米； (3)累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 【分析】（）根据“充电费用一般损耗率充电电量每千瓦时所需费用”计算即可； （）先求出电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：，则电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为，再求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程充满电行驶的最大里程电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可； （）当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时），设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样，列出方程，然后解方程即可； 本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，正确列出函数式与方程是解题的关键． 【详解】（1）解：电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要（元）； 答：到公共充电桩一次性充满电需要元； （2）解：当时，设电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：， ∴，解得：， ∴电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴（千米）， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）， 设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 【答案】（1）2； 30；（2）小时；（3）最少推迟小时 【分析】本题考查根据图象解答问题，有理数计算，已知自变量值求函数值，待定系数法求一次函数反比例函数解析式等． （1）观察图象列式计算即可得到本题答案，再求出升温时直线的一次函数解析式，继而将代入即可求出第二空答案； （2）求出反比例函数解析式，进而求出在4时，大棚温度升至，在16时，大棚温度降至， 即可求出本题答案； （3）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】解：根据图象可知： 设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得：， ∴， ∵将代入中得：， ∴智能控制系统设定的恒温温度是， 故答案为：2，30； （2）设段函数解析式为：， 将代入得：， ∵当时，， ∴段温度为的时刻为16时， 把代入函数，得， 解得, 段温度为的时刻为4时， ∴ ∴大棚在0—24时内，温度不低于的时间一个小时； （3）日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到16时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，故至少需要推迟小时． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某品牌新能源汽车的电池电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小明观察并记录某次充电数据如下表： 【观察记录】 充电时 … 10 20 30 40 50 60 … 电量 … 30 40 50 60 70 80 … (1)求该品牌汽车的电池电量W与充电时间t的函数关系式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，求充满电池电量需要多少时间； (3)下图是小明根据车辆行驶过程中剩余电量与行驶里程画出的图像，其中段刻画了该车在省电模式下的行驶状态，段刻画了车辆开着空调的行驶状态．已知车辆在段行驶过程中每100km电耗比段高50%，请根据图像计算从B到C过程中车辆行驶的里程数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画函数图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，求出每分钟充电功率，再充满电量所需要时间． （3）根据图象，求出不开每公里能耗，再依据题意求出开空调的能耗，由消耗电量即可求出从B到C过程的路程． 【详解】（1）解：设充电量W与时间t的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴充电量W与时间t的函数关系式为； （2）根据题意可得：每分钟充电量为： ， 充满电量需要的时间为： ． 答：如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，充满电池电量需要96分钟． （3）由图可知段车辆每电耗为： 段车辆每100km电耗为：， 答：从B到C过程中车辆行驶的里程数为， ►题型07 几何问题 1．（2024·北京西城·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设，根据菱形和矩形的性质，求出与、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【详解】连接对角线，，交于点，如图：    根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 【答案】（1）当长为时，画出的图的半径为；（2），的最大值为；（3）不能，理由见解析，细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本知识，求一次函数解析式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作，先求解出，根据勾股定理求出，即可求解； （2），圆的半径，则，，在中， ，则，可得，得解； （3）当时，则，解得：，不在则可判断，由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大，当时，最大，则取最大，则，求得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，则四边形为矩形， ， ∴，， ∴， 由题意知，， 又∵ ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当长为时，画出的图的半径为； （2）∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴即， 当时，的值随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，则取得最大值为： ； （3）目前的绳长不能作出一个半径为的圆，理由如下： 当时，， 解得：， ∵， ∴不能作出一个半径为的圆， 由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大， ∴当时，最大，则取最大， ∴， ∴， ∴细绳最少减小， 即细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． ►题型08 体积问题 1．（2023·浙江温州·模拟预测）一小型蓄水池入水孔和出水孔的工作速度均为每小时100立方米，某日工作时间如图所示，已知6点整蓄水池存水300立方米，记之后经过的时间为小时，蓄水池水量为立方米，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，熟练掌握利用函数图象表示变量之间的关系和一次函数的图象是解题关键．分、和三种情况，分别求出与之间的关系式，再根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：由题意可知，当时，此时出水孔在出水，入水孔未工作， 则， 当时，此时出水孔在出水，入水孔在入水， 则， 当时，此时出水孔未工作，入水孔在入水， 则，即， 由此可知，能近似刻画与之间的关系的图象是选项D， 故选：D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 【答案】(1)； (2)温度应控制在内 【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可得出答案； （2）将（1）中求得的关系式代入并求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 由已知，时，；时，． ， 解得：， ． 当时，， ∴该溶液的体积为． （2）解：由题意得：， 解得． 答：温度应控制在内． 3．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用： （1）①根据水流速度乘以流水时间可得结论；②根据圆柱底面积乘以高可得结论； （2）前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为，先求出前6秒注入水的体积，再求出后14秒注入水的体积，得出，根据圆柱容器的高度为12可得 【详解】（1）解：根据图象可知，当流水注入时间为6秒时，水面与圆柱形装饰物齐平： ①∵水流的速度为，水流的时间为 ∴注入水的体积为： ②圆柱形的小口径容器底面积为S， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为，高度为h， ∵， ∴； （2）解：由图象知，溉注水时间为20秒时，圆柱形容器注满，高度为， 设前6秒注入水的高度为h，后14秒注入水的高度为， ∵这两个圆柱的底面积之比为， ∴空余处的面积为， ∴ ∴， ∴， 而 ∴ 解得， 即：容器内圆柱形装饰物的高度为 ►题型09 工程问题 1．（2022·浙江宁波·一模）甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工，直到他们完成任务，如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，观察图像解决下列问题： (1)点的坐标是 ，点表示的实际意义是 ； (2)在加工的过程中，多少分钟时甲比乙多加工100个零件？ (3)为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙一起加工，直到完成任务．已知丙每分钟能加工3个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第几分钟时开始帮助乙？并在图中画出丙帮助乙后与之间的函数关系的图像． 【答案】(1) （15，0）； 甲乙两人工作15分钟时，加工零件的数量相同； (2)在加工的过程中，65或125分钟时甲比乙多加工100个零件； (3)丙在45分钟时开始帮助乙，图像见解析； 【分析】（1）根据函数图像y和x的关系解答即可； （2）根据甲加工的时间和数量求出甲的加工速度，再由甲比乙每分钟多加工的数量求出乙的加工速度，从而得到乙加工完的时间D点坐标；由坐标B，C，D求出BC和CD的解析式即可解答； （3）设x分钟时丙加入，根据乙、丙要在105分钟时加工完600个零件列方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：B点坐标（15，0）； 在15分钟时，甲乙两人加工零件的数量相同； （2）解：解：设直线的解析式为：， ，解得： 段的函数关系式为：，（15≤x≤105） 当时，得：，解得：， 由图像可知105分钟时甲完成了任务，中间休息了5分钟， ∴甲用时100分钟加工了600个零件，即甲每分钟加工6个零件， 从15分钟到105分钟甲比乙多加工了180个零件， ∴甲每分钟比乙多加工2个零件， ∴乙每分钟加工4个零件， ∴乙加工完需要分钟，即D（150，0）， 设直线的解析式为：， 解得：， 的函数关系式为：，（105＜x≤150） 当时，有，解得：， 所以在加工的过程中，65或125分钟时甲比乙多加工100个零件； （3）解：设x分钟时丙加入，∵乙，丙要在105分钟时加工完600个零件， ∴， 解得：， 即：丙在45分钟时开始帮助乙，图像如图所示： 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意了解x，y所代表的意义并求出两人的加工速度是解题关键． 2．（2021·浙江温州·三模）某工厂一天使用甲、乙两台机器生产某种零件，甲机器生产完5000个零件后发生了故障，修理了2个小时，继续工作．如图表示甲、乙两台机器的产量与时间的关系，已知乙机器在甲机器刚维修完后生产量恰好比甲机器的产量多1000个． (1)请直接写出m的值和乙机器的生产效率． (2)求出a和b的值． (3)已知甲机器修理后生产效率降低n%（n＜10的正整数），当甲总产量追上乙时，所用的时间t（小时）恰好是整数，若机器一天内工作不得超过15个小时（包括维修时间），请求出正整数n的值． 【答案】(1)m＝5000，生产效率为1000个/小时 (2)a＝4，b＝6 (3)4 【分析】（1）根据图象可得甲生产5000个后维修，可得m的值，由点E的坐标可得乙机器的生产效率； （2）根据图象得出B点时乙产量比甲多1000，根据乙机器的生产效率列方程求解可得b的值，由甲机器修理了2个小时可得a的值； （3）可得甲机器修理前的生产效率为5000÷4＝1250（个/小时），根据题意列式表示甲、乙两台机器的产量，令t﹣6＝x，1﹣n%＝y，根据n、t的取值范围得x≤9，0.9＜y＜1，x，t，n都为正整数，可得5xy﹣4x＝4，则x为5，6，7，再分类讨论即可得． 【详解】（1）由题意知：甲生产5000个后维修， ∴m＝5000（个）， OE为乙的图线， ∴生产效率为：8000÷8＝1000（个/小时）； （2）由题知B点时乙产量比甲多1000， ∴有1000b﹣5000＝1000， 解得 b＝6， ∴a＝b﹣2＝4． ∴a＝4，b＝6； （3）依题意得：甲效率降低后为： 1250﹣（1﹣n%）， 当甲追上乙时， （t﹣6）×1250（1﹣n%）+5000＝1000t（n＜10），且t≤15， 令t﹣6＝x， ∴x≤9， 令1﹣n%＝y， ∴0.9＜y＜1，x，t，n都为正整数， ∴1250xy+5000＝1000（6+x）， ∴5xy﹣4x＝4， ∴y＝， ∵0.9＜y＜1， ∴4＜x＜8， ∴x为5，6，7， x＝5时，y＝＝0.96，n＝4， x＝6时，y＝，不成立， x＝7时，y＝，不成立． ∴n＝4． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键． 基础巩固 1．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时，． 当时，． 当时，． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 2．“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，她们出发2.3小时后，离目的地还有（    ）千米． A．48 B．32 C．28 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握方法是解题的关键．当时，设，利用待定系数法求出函数解析式为，当时，求出的值，即可得解． 【详解】解：当时，设， 将和代入解析式得， 解得：， 当时，， 当时，（千米）， 距离目的地还有：（千米）， 故选：D． 3．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：，解得： 则，故此项不符合题意； D．由上可知，故此项错误，符合题意． 故选：D． 4．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，求出当时间为分钟时蜡烛燃烧的长度，蜡烛的总长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度． 【详解】解：设蜡烛燃烧的长度为，燃烧的时间为分钟．由题意可设（），则 ， ∴， ∴． 当时，， ∴剩余蜡烛的长度为：． 故选． 5．某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，凳子总高度h与数量n满足的函数关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数关系式，分别根据“增加1个凳子，其总高度增加值一定”、 “随着凳子数量n的增加，总高度h也在不断升高”、“当只有1个凳子时，其总高度是这个凳子的高度”判断即可． 【详解】解：∵增加1个凳子，其总高度增加值一定， ∴h是n的一次函数， ∴B不正确，不符合题意， ∵随着凳子数量n的增加，总高度h也在不断升高， ∴C不正确，不符合题意， ∵当只有1个凳子时，其总高度是这个凳子的高度， ∴A不正确，不符合题意； D符合题意． 故选：D． 6．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数.某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为，那么该弹簧不挂物体时的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图象中的数据，可以得到与的函数解析式，再令求出相应的的值，即可得到该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设与的函数解析式为， 某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为， ， 解得， 与的函数解析式为， 当时，， 即该弹簧不挂物体时的长度为， 故选：D． 7．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 【答案】31 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 当时，，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到， 故答案为：31 ． 8．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 小时． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求出甲和乙分别离开城的距离与的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】设乙离开城的距离与的关系式为： 把和代入解析式，得 解得： 所以乙离开城的距离与的关系式为： 设甲离开城的距离与的关系式为： 把代入解析式，得 解得： 甲离开城的距离与的关系式为： 当乙追上甲车时，则： 解得： （小时） 答：乙出发后小时追上甲车． 故答案为：． 9．小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 【答案】20 【分析】此题考查一次函数的实际运用．根据题意，可求出，，，，由此用待定系数法可分别求出直线的关系式，，从可列出一元一次方程，解出即可得出结果． 【详解】解：， 由题意得：，，，， 设直线的关系式分别为，， 把，，，代入相应的关系式得： ，， 解得：，， ∴直线的关系式分别为，， 当时，即：， 解得：． 故答案为：20． 10．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得：， ， 把代入， 得． 故答案为：3． 11．如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设x与y的关系式为 由题意得∶ 解得∶ ∴x与y的关系式为：， 当时， 故答案为：． 12．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（）之间的关系如下：从表中可知音速y随温度x的升高而 ；在气温为的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 气温x（） 0 5 10 15 20 … 音度y（米/秒） 331 334 337 340 343 … 【答案】 加快 【分析】本题考查了一次函数在实际生活中的应用，解题的关键是列出一次函数． ①根据表中数据可列出因数与时间的关系式结合函数的实时解答； ②根据路程速度时间，即可求解． 【详解】解：①根据题意设函数关系式为， 根据表格中数据得， 解得， ∴函数关系式为：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴音速随温度的增高而加快， 故答案为：加快； ②由题意得（米） 故答案为：． 13．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)日销售量是个 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数应用．熟练掌握一次函数解析式，一次函数应用是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：将代入得，， ∴日销售量是个． 14．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 15．遵义市规定了每月的用水20立方米以内（含20立方米）和20立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是关于用水量x（立方米）的函数，其图像如图所示． (1)某用户用水为20立方米，应交水费是 元． (2)当时，求y与x的函数解析式． (3)若小明家某月交水费100元，则小明家实际用水多少立方米？ 【答案】(1)50 (2) (3)小明家实际用水立方米． 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质的实际运用是解题的关键． （1）根据图示信息即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把水费100元代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，当时，， 故答案为：50； （2）解：设当时，y与x的函数解析式为， 根据图示，函数图象经过， ∴，解得，， ∴一次函数解析式为：； （3）解：∵水费100元大于元， ∴小明家某月的用水量大于立方米， ∴当时，， 解得，， ∴小明家实际用水立方米． 16．一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 【答案】(1)240 (2)（12，2400） (3)3 (4)20 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质结合函数图象求解是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据计算即可； （2）根据题意和函数图象中的数据直接写出点的坐标即可； （3）根据题意和函数图象中的数据计算即可； （4）根据题意和函数图象中的数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 小李骑车的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （2）解：由题意得，点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意得， （分钟）， 小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早分钟， 故答案为：； （4）解：由题意得，， 解得：， 运动的时间t为分钟时，两人第二次相遇， 故答案为：． 17．爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 【答案】(1) (2)10个 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出函数值为40时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∴， ∴， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴依依放入容器中的小球个数为10个． 能力提升 18．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，解一元一次方程，根据题意得甲的路程与时间x的函数关系式为，乙的路程与时间x的函数关系式为，根据由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得，分时，时和时三种情况，列出方程即可求解． 【详解】解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟， 可得甲的速度为米/分钟， 当时，乙的路程为60米，时间为4分钟， 可得当时，乙的速度为米/分钟， 当时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍， 可得当时，乙的速度为24米/分钟， 设甲的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴甲的路程与时间x的函数关系式为； 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得，， ∴， 乙登到山顶共用时：（分钟）， 设在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 把代入得，， 解得 ∴在时乙的路程与时间x的函数关系式为， 即：， 由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得， 当时，， 解得； 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得， 综上所述，x的值为4或12或16，得不可能为10， 故选：D． 19．在一场赛车比赛中，有两辆赛车甲和乙同时出发，赛车行驶过程中，随着时间推移，赛车的能量值会不断消耗．如图，线段表示甲车，线段表示乙车，在这段时间内，甲、乙两车的能量值（单位）与行驶时间（分钟）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙两车的初始能量值均为90单位 B．甲车能量消耗更慢 C．乙车的能量值与的函数关系式为 D．当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象及函数关系式进行求解，进而得出相应结论，并一一判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两车的初始能量值均为90单位，故选项A正确； 由图象可知，甲车在300分钟能量消耗（单位），乙车在300分钟能量消耗（单位）， 甲车能量消耗更快，故选项B错误； 设乙车的能量值与的函数关系式为，将代入得： ，解得：， 乙车的能量值与的函数关系式为，故选项C正确； 由图象可知，当甲车的能量值是60单位时，时间为150分钟， 将代入得，（单位）， 当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位，故选项D正确， 故选：B． 20．毕节椪柑是全国农产品地理标志．某超市趁店庆来临之际，对毕节椪柑采取促销方式，当购买数量超过时，超过的部分给予优惠，购买金额（元）与椪柑的购买数量的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．毕节椪柑的原价是6元 B．当时，是的一次函数 C．当购买数量超过时，超过部分的毕节椪柑的价格是5元 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：A． ∵（元）， ∴毕节椪柑的原价是6元，正确，不符合同意； B．由图象可知，当时，是的一次函数，正确，不符合同意； C． ∵元， ∴当购买数量超过时，超过部分的毕节椪柑的价格是5元，正确，不符合同意； D．设当时的函数解析式为，由题意，得： ， 解得， ∴， ∴当时，， 解得，不正确，符合题意． 故选：D． 21．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（　　） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．由图象可知，当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇；慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，从而可得快车到达乙地所需时间；根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间． 【详解】解：由图象可知：甲、乙两地之间的距离是900千米， ∴当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇，慢车行驶900千米，用12小时， ∴慢车的速度：（千米/小时）， ∵行驶4小时，慢车和快车相遇， ∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时）， ∴快车的速度：（千米/小时）， 快车到达乙地用时（小时）， ∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇， ∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米）， 而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5千米， ∴两列快车出发的间隔时间：（小时）， ∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时， 故选：C． 22．在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程，与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为；②两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为；③客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确； 货车的速度为：， 故货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确； 设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确； 由得， 解得：， ∵， ∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 23．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为 ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为 ，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 24．已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地（先到达B地者在终点等待），甲骑摩托车，乙骑自行车．图中分别表示甲、乙离开A地的路程s（）与时间t（h）的函数关系的图象（如图），则当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求得两个二次函数的解析式，分当时和当时，两种情况讨论，即可解决问题． 【详解】解：设甲离开A地后s（）与时间t（h）的函数表达式为：， 由题意，得，解得， ∴， 同理， 当时， 解得． 当相遇前，即时， 由题意得，解得； ，解得； ∴； 当时，，， ， ∴相遇后不存在两人之间的路程超过的时候； 综上，当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是； 故答案为：． 25．在一次女子测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程与所用的时间之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s． 【答案】120 【分析】本题主要考查了相遇问题，根据折线统计图可以发现，小茜的速度一直不变，小静的速度先快后慢，分别计算出小茜的速度和小静前两段的速度，设相遇时间为x秒，根据两人相遇时路程相等列出方程即可． 【详解】解：小茜的速度为：（米/秒） 小静第一段速度为：（米/秒） 第二段速度为： （米/秒） 设相遇时间为x秒， 即，她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒． 故答案为：120． 26．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是从图象中获取信息，求出相关直线的函数解析式．利用待定系数法求解各对应函数解析式，又根据题意和图象可知：两种收费相差元时分两种情况，列出相应的方程求解即可． 【详解】解：设品牌的函数关系式为 ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴品牌的函数关系式为． 故答案为：； 由图可知，两种收费相差元时，可能在内或以后 ①在内时， ， 解得； ②在以后时， 设品牌的函数关系式为 ∵点，在该函数图象上， ∴，解得：， ∴品牌的函数关系式为， ∴， 解得 因此的值为或， 故答案为：或． 27．某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么y与x之间的函数关系发生了变化，其中图 （填“2”或“3”）反映了按方法1运营的函数关系； 两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到0.5万元； 方法2：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到0.75万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为 万人． 【答案】 3 6 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式等知识点， （1）票价不变即函数关系式的k值不变，降低运营成本即图象与y轴交点上移，据此作答即可； （2）根据题意分别写出这两种方法y与x之间的函数关系式，令二者函数值相等，求出x的值即可． 利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）图3反映了按方法1运营的函数关系．理由如下： ∵票价不变即函数关系式的k值不变，降低运营成本即图象与y轴交点上移， ∴图3反映了按方法1运营的函数关系， 故答案为：3； （2）根据题意，设图1的y与x之间的关系式为（k、b均为常数，且）， ∴， 解得， ∴y与x之间的关系式为， ∴方法1的y与x的函数关系为， 方法2的y与x的函数关系为， ∵两种方法的收支差额相等， ∴， 解得， 故答案为：6． 28．某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没有优惠． (1)若购进甲种跳绳条，付款元，求关于的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳绳的购进量，才能使付款总金额（元）最少． 【答案】(1) (2)当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）分和两种情况，再根据题意分别列出关系式即可； （2）设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条，根据题意得到，再利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条， 由题意得：， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值1020元， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值900元， ∵， ∴当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少． 29．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间． 【答案】(1)6，3 (2) (3)1或11或17秒 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【详解】（1）甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． （2）乙无人机飞行段用时（秒）， （秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （3）当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为； 乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得， ∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间为1秒或11秒或17秒． 30．共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图像反映了收费金额y（单位：元）与骑行时间x（单位：）之间的对应关系，其中A品牌的收费金额对应，B品牌的收费金额对应．请根据相关信息：回答下列问题． (1)分别求，关于x的函数表达式． (2)当x为何值时，两种品牌的共享电动车收费金额相差2元？ 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）用待定系数法即可求解关于x的函数解析式；分段求出关于x的函数解析式； （2）分三种情况讨论∶ 当时，，当时，，时，；以此列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设关于x的函数表达式为， 把代入， ，解得， 关于x的函数表达式为， 由图象可知，当时，． 当时，设关于x的函数表达式为， 把，代入， ，解得， ． 综上所述，； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，当或时，两种品牌的共享电动车收费金额相差2元． 31．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵， ∴当时，W值最小，． 答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 32．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天 的售价为元/千克，关于的函数解析式为， 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． (1)______，______； (2)销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， 25 (2)销售优质葡萄第18天时当天的利润最大，最大利润是968元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克，待定系数法求出的值，即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）∵第12天的售价为32元/千克， ∴，解得：； ∵第26天的售价为25元/千克， ∴； （2）由题意，知：第天的销售量为千克． 当，且是正整数时， ． ∴当时，取得最大值，最大值为968． 当，且是正整数时，． 这是一个一次函数，且， ∴随的增大而增大， ∴当时，． ， ∴当时，． ∴销售优质葡萄第18天时当天的利润最大，最大利润是968元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第11讲 一次函数的应用（6~10分） （思维导图+1考点+1命题点9种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 销售问题 ►题型04 阶梯收费问题 ►题型05 分配问题 ►题型06 分段函数问题 ►题型07 几何问题 ►题型08 体积问题 ►题型09 工程问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 一次函数的应用 能用一次函数解决实际问题 ⭐⭐⭐⭐ 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 4．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 5．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式； (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值． ►题型01 最优方案问题 1．（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 3．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            ►题型02 行程问题 1．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 2．（2024·浙江杭州·一模）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 3．（2024·浙江·一模）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图中、折线分别表示甲、乙离开地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象填空： (1)甲、乙两人相遇前乙的速度为________，相遇后乙的速度为________； (2)求甲离开地的路程与时间的函数表达式； (3)若甲、乙两人之间的距离表示为，请在图2中画出距离与时间的函数关系图象． ►题型03 销售问题 1．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 2．（2024·浙江宁波·二模）某校学生小甬和小真到校内咖啡吧参加实践活动，已知一种手磨咖啡的成本为8元/杯，经过一段时间销售后，小甬发现如果以10元/杯的价格销售，那么每天可售出300杯；如果以13元/杯的价格销售，那么每天可获取利润750元．小真通过调查验证，发现每天的销售量（杯）与销售单价（元）之间存在一次函数关系． (1)求关于的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天可获取的利润最大？ 3．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． ►题型04 阶梯收费问题 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 2．（2023·浙江·一模）某市出租车乘车费用由里程费和等候费两部分组成． 里程费 等候费 里程数 收费标准 累计等候时间 收费标准 不超过 13元 不超过3分钟 免费 超出的整千米数（不足1千米按1千米计） 元/千米 超过3分钟的部分（不足1分钟按1分钟计） 元/分钟 如：从甲地乘出租车到乙地，全程4千米，途中累计等候时间为5分钟，则乘车费用为：（元）． 如图是小江家小龙家、小柯家及体育馆的相对位置示意图，图中数据表示两地间路程．    (1)小江某天乘出租车沿路线直达体育馆，求小江这次乘出租车的乘车费用． (2)若乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元），求关于的函数表达式． (3)小江、小龙、小柯三人相约去体育馆观看足球赛，有如下2种乘出租车方案（中逢每接1人累计等候时间为2分钟）． 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆． 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． 若两种方案的乘车费用相同，求小龙家B与小柯家C间的路程． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ ►题型05 分配问题 1．（2023·河南信阳·模拟预测）某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． (1)求，两种空调的单价； (2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 3．（2022·黑龙江·一模）2022年2月第24届冬奥会在北京和张家口举行，中国北京成为世界上首个举办夏季和冬季奥运会的地市．奥运会期间，A，B两地向C，D两地运送物资，已知A，B两地共有物资300吨，其中A地物资是B地物资数量的2倍．现C地需要物资140吨，D地需要物资160吨．从A地往C，D两地运物资的费用分别为10元/吨和15元/吨；从B地往C，D两地运物资的费用分别为8元/吨和15元/吨．设从A地运往C地x吨物资，总运费为y元． (1)A地和B地各有多少吨物资？ (2)求出最少总运费； (3)由于更换车型，使A地运往C地的运费每吨减少a（0<a<3）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ ►题型06 分段函数问题 1．（24-25九年级上·重庆·期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 元 元 方案二：公共充电桩充电 元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用? (2)当已行驶里程大于千米时，求出电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）的函数表达式．当电池剩余电量为 时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米? (3)李先生都是在电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数） 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某品牌新能源汽车的电池电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小明观察并记录某次充电数据如下表： 【观察记录】 充电时 … 10 20 30 40 50 60 … 电量 … 30 40 50 60 70 80 … (1)求该品牌汽车的电池电量W与充电时间t的函数关系式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，求充满电池电量需要多少时间； (3)下图是小明根据车辆行驶过程中剩余电量与行驶里程画出的图像，其中段刻画了该车在省电模式下的行驶状态，段刻画了车辆开着空调的行驶状态．已知车辆在段行驶过程中每100km电耗比段高50%，请根据图像计算从B到C过程中车辆行驶的里程数． ►题型07 几何问题 1．（2024·北京西城·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． ►题型08 体积问题 1．（2023·浙江温州·模拟预测）一小型蓄水池入水孔和出水孔的工作速度均为每小时100立方米，某日工作时间如图所示，已知6点整蓄水池存水300立方米，记之后经过的时间为小时，蓄水池水量为立方米，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 3．（2024·浙江温州·二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． (1)设注入水的体积为V（），容器底面积为S（），当时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V； ②用含S，h的代数式表示V． (2)求容器内圆柱形装饰物的高度． ►题型09 工程问题 1．（2022·浙江宁波·一模）甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工，直到他们完成任务，如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，观察图像解决下列问题： (1)点的坐标是 ，点表示的实际意义是 ； (2)在加工的过程中，多少分钟时甲比乙多加工100个零件？ (3)为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙一起加工，直到完成任务．已知丙每分钟能加工3个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第几分钟时开始帮助乙？并在图中画出丙帮助乙后与之间的函数关系的图像． 2．（2021·浙江温州·三模）某工厂一天使用甲、乙两台机器生产某种零件，甲机器生产完5000个零件后发生了故障，修理了2个小时，继续工作．如图表示甲、乙两台机器的产量与时间的关系，已知乙机器在甲机器刚维修完后生产量恰好比甲机器的产量多1000个． (1)请直接写出m的值和乙机器的生产效率． (2)求出a和b的值． (3)已知甲机器修理后生产效率降低n%（n＜10的正整数），当甲总产量追上乙时，所用的时间t（小时）恰好是整数，若机器一天内工作不得超过15个小时（包括维修时间），请求出正整数n的值． 基础巩固 1．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 2．“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，她们出发2.3小时后，离目的地还有（    ）千米． A．48 B．32 C．28 D．22 3．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 4．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 5．某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，凳子总高度h与数量n满足的函数关系可能是（   ） A． B． C． D． 6．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数.某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为，那么该弹簧不挂物体时的长度为（　　） A． B． C． D． 7．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 8．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 小时． 9．小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 10．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 11．如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为 ． 12．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（）之间的关系如下：从表中可知音速y随温度x的升高而 ；在气温为的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 气温x（） 0 5 10 15 20 … 音度y（米/秒） 331 334 337 340 343 … 13．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 14．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 15．遵义市规定了每月的用水20立方米以内（含20立方米）和20立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是关于用水量x（立方米）的函数，其图像如图所示． (1)某用户用水为20立方米，应交水费是 元． (2)当时，求y与x的函数解析式． (3)若小明家某月交水费100元，则小明家实际用水多少立方米？ 16．一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地.设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象. (1)小李骑车的速度为______米/分钟； (2)点B的坐标为______； (3)小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早_____分钟. (4)运动的时间t为_____分钟时，两人第二次相遇. 17．爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度y（）与她放入容器中的小球个数x（个）之间的关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 能力提升 18．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是（   ） A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 19．在一场赛车比赛中，有两辆赛车甲和乙同时出发，赛车行驶过程中，随着时间推移，赛车的能量值会不断消耗．如图，线段表示甲车，线段表示乙车，在这段时间内，甲、乙两车的能量值（单位）与行驶时间（分钟）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙两车的初始能量值均为90单位 B．甲车能量消耗更慢 C．乙车的能量值与的函数关系式为 D．当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位 20．毕节椪柑是全国农产品地理标志．某超市趁店庆来临之际，对毕节椪柑采取促销方式，当购买数量超过时，超过的部分给予优惠，购买金额（元）与椪柑的购买数量的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．毕节椪柑的原价是6元 B．当时，是的一次函数 C．当购买数量超过时，超过部分的毕节椪柑的价格是5元 D．若，则 21．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（　　） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时 22．在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程，与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为；②两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为；③客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 24．已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地（先到达B地者在终点等待），甲骑摩托车，乙骑自行车．图中分别表示甲、乙离开A地的路程s（）与时间t（h）的函数关系的图象（如图），则当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是 ． 25．在一次女子测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程与所用的时间之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s． 26．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为 ． 27．某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么y与x之间的函数关系发生了变化，其中图 （填“2”或“3”）反映了按方法1运营的函数关系； 两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到0.5万元； 方法2：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到0.75万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为 万人． 28．某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没有优惠． (1)若购进甲种跳绳条，付款元，求关于的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳绳的购进量，才能使付款总金额（元）最少． 29．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间． 30．共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图像反映了收费金额y（单位：元）与骑行时间x（单位：）之间的对应关系，其中A品牌的收费金额对应，B品牌的收费金额对应．请根据相关信息：回答下列问题． (1)分别求，关于x的函数表达式． (2)当x为何值时，两种品牌的共享电动车收费金额相差2元？ 31．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 32．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天 的售价为元/千克，关于的函数解析式为， 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． (1)______，______； (2)销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$