精品解析：浙江省温州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷

2024学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测 数学试题（A卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 4. 对于函数，则不存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则右图表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. “，”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在三角形中，内角，，满足，则角的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. ，用表示，中的最大者，记为．若函数，，下列关于函数的说法中正确的有（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则有最小值1 C. 当时，则在上单调递增 D. 若图象经过坐标原点，则 11. 已知定义域为的函数满足：，，，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. ， D. ， 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上． 12. 计算：__________． 13. 已知函数，且，则的最小值为__________． 14. 已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示，函数图象经过，且为一个最高点． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后，得到函数的图象．已知，求的值． 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域； （3）证明：曲线是中心对称图形． 17. 某市轨道交通线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，线列车载客量与发车间隔（单位：分钟）有关．当时，载客量为（为常数），且发车间隔时的载客量为344人；当时列车为满载状态，载客量为800人． （1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？ （2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知函数在上存在零点，求的最小值； （3）当时，若函数图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若使得，则称实数为函数的不动点．设函数． （1）求函数的不动点； （2），，都有成立，求实数最小值； （3）记，．试问是否存在常数，使得对任意，，都有．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测 数学试题（A卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程组，结合交集的定义可求得集合. 【详解】解方程组得或， 因为，， 则. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，解得. 故选：D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式可得正确的选项. 【详解】命题“”的否定为“，”. 故选：A. 4. 对于函数，则不存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在定理可判断ACD的正误，根据函数值的符号可判断B的正误. 【详解】对于A，，故上存在零点； 对于B，当时，，故，故在上无零点； 对于C，，故在上存在零点； 对于D，，故在上存在零点. 故选：B. 5. 已知，，则右图表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性可排除CD，根据函数值的符号可排除A，故可得正确的选项. 【详解】由图象可得题设中图象对应的函数为奇函数， 而，故为偶函数； 的定义域为，该定义域关于原点对称， 而，故为定义域上的偶函数，故CD错误； 当时，，故A错误； 故选：B. 6. “，”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则，此时，充分性成立； 若为奇函数，则， 因，则有， 即， 整理可得即， 故，故， 即由函数是奇函数推不出，必要性不成立. 故“，”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 在三角形中，内角，，满足，则角的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角变换公式可得，据此可求角值. 【详解】因，故， 故， 故，故， 由题设有，故，而为三角形内角，故， 故选：C. 8. 已知函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真数对应的函数有正的最小值可求实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 故，故有最小值， 当时，令，则， 故或， 故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去； 综上，， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列式子中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故， 故A成立； 对于B，，故B成立； 对于C，，而， 故，故C不成立； 对于D，，故D成立， 故选：ABD. 10. ，用表示，中的最大者，记为．若函数，，下列关于函数的说法中正确的有（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，则有最小值1 C. 当时，则在上单调递增 D. 若的图象经过坐标原点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的值可求出，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，，此时， 故，故不为偶函数，故A错误； 对于B，当时，， 当或时，，当时，， 故， 而或时，，当时，， 故，故B正确； 对于C， 当时， 当时，；当时，， 故， 而在上为增函数，在上为增函数， 且当时，， 故在上单调递增，故C正确； 对于D，取，则，故在上恒成立， 故，此时，但，故D错误； 故选：BC. 【点睛】思路点睛：对于不同函数间的最大最小问题，可以先比较它们的大小，再考虑所得分段函数的性质，也可以数形结合考虑分段函数的性质. 11. 已知定义域为的函数满足：，，，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可求，及，故可判断AC的正误，利用反证法可判断B的正误，利用题设中的运算关系可得，结合C中结果可判断D的正误. 【详解】令，则，故， 令，则即，故C正确； 故， 令，则， 故，故A正确， 若为偶函数，则，故， 此时，与题设矛盾，故B错误； 对于D， ， 故，故D成立， 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：抽象函数的性质的研究中，一般是利用赋值法得到一些特殊的函数值，从而得到抽象函数具有的不同的性质，注意赋值时要根据目标的结构形式来处理. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可求代数式的值. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知函数，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据可得，故可求的最小值. 【详解】因为，故， 所以， 故或， 所以或，而，故， 故答案为： 14. 已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，由可得，分析可知，，不等式两边平方整理可得，然后分、两种情况讨论，解不等式，确定整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，由可得， 不等式两边平方可得， 当时，，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为， 解得或， 此时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为，解得， 由题意可知，关于的不等式有且仅有一个整数解，且这个整数解为， 所以，，解得，又因为，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据绝对值的性质转化为二次不等式，然后注意对参数分类讨论，并解出二次不等式，并确定整数解，然后列出关于参数的不等式求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示，函数图象经过，且为一个最高点． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后，得到函数的图象．已知，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由图可求振幅和周期，根据最高点的纵坐标可求初相位，从而可求解析式，再利用整体法可求单调增区间； （2）先求出的解析式，再利用二倍角的余弦公式可求的值． 【小问1详解】 由题设可得，，故，故， 又，故， 而，故，故， 令，故， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由题设，故， 故. 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域； （3）证明：曲线是中心对称图形． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据解析式可求函数值的和； （2）根据对数的真数为正可得关于自变量的不等式，故可求函数的定义域； （3）由函数解析式可得，故可证函数的图象为中心对称. 【小问1详解】 因为，故. 【小问2详解】 令，故，故或， 故函数的定义域为. 【小问3详解】 因为， 故的图象关于中心对称. 17. 某市轨道交通线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，线列车载客量与发车间隔（单位：分钟）有关．当时，载客量为（为常数），且发车间隔时的载客量为344人；当时列车为满载状态，载客量为800人． （1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？ （2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值． 【答案】（1）列车发车间隔至少为6分钟. （2）元 【解析】 【分析】（1）先求出，再解方程可得列车发车间隔时间的最小值； （2）设线列车在运营期间每分钟的收益为，则，据此可求最大值. 【小问1详解】 由题设有，故， 故， 若载客量为满载量的一半即，则，且， 故，所以列车发车间隔至少为6分钟. 【小问2详解】 设线列车在运营期间每分钟的收益为， 则， 整理得到：， 当时，， 当时，，当时等号成立， 故当发车间隔为分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大且最大值元. 18 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知函数在上存在零点，求的最小值； （3）当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得出的值； （2）由结合参变量分离法可得出，结合求出的取值范围，即可得出实数的最小值； （3）利用三角恒等变换化简可得出，其中，可取，根据求出的取值范围，根据题意得出的取值范围，结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，则. 【小问2详解】 因为， 可得， 当时，， 所以， ， 因为，则，则， 因此，实数的最小值为. 【小问3详解】 因为， 其中，可取， 当时，，且，， 由题意可得，解得，故，故. 因此，实数的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为，若使得，则称实数为函数的不动点．设函数． （1）求函数的不动点； （2），，都有成立，求实数的最小值； （3）记，．试问是否存在常数，使得对任意，，都有．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最小值为1. （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出方程的解后可得不动点； （2）原不等式即为，根据的范围可求的最小值； （3）先求出的值域，再利用特征法得到或，再证明在该条件下不等式恒成立. 【小问1详解】 令，则（负值舍去）， 故的不动点为. 小问2详解】 即为， 整理得到，故即，而， 则恒成立，故，而，故， 故，故的最小值为1. 【小问3详解】 因为，故的值域为， 由双勾函数的性质可得在上为增函数， 故的值域为，依次有的值域为， 设，则在上恒成立， 若，取，则，即即，矛盾； 所以，而，故在上恒成立， 取，则，故或， 若，则在上恒成立①， 符合题意； 若，下证：在上恒成立， 即证：， 即证： ②， 由①可得，因，故， 且当时，，故②成立， 综上，或. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可通过特值探路得到不等式成立的必要条件，再证明在此条件为充分条件即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$