精品解析：福建省泉州市2024--2025学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷

2024年秋九年级上学期教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，x的值不可以取（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. “守株待兔”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价．该药品的原价是144元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D在边上，且．阅读以下作图步骤： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点D为圆心， 的长为半径画弧，交 于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点E． 根据以上作图步骤，一定可以得到的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：__________． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 13. 如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为，的中点），若，则点B距离地面的高度为_____． 14. 关于x的一元二次方程 的一个根是2，则_____． 15. 如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若 ，，则每个小正方形的边长为_______． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米， ，则点C到水平线的距离为_______分米（结果保留根号）． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． （2）求图中阴影部分的周长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为 （点A，B，C的对应点分别为点，，）． （2）在（1）的条件下，求的面积． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． （2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 22. 如图，在中，，， ． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得 ．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 23. 为深入贯彻落实劳动教育理念，培养学生的劳动技能和劳动精神，某中学计划在校园开辟一块劳动教育基地．基地的一面利用学校的墙（墙的长度为21米），并在与墙平行的一边留有一道宽为2米的门，用40米长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践． （1）若围成的菜地面积为220平方米，求此时菜地的长和宽． （2）能围成面积为240平方米的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 24. 数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为 ，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为 ．如图 ，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到 ，参考数据：，，，）． 25. 在中，，E是上的一点，过点E作于点D． （1）如图1，求证：． （2）连接，平分，G是上的一点，与交于点F， ，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级上学期教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，x的值不可以取（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数列不等式计算求解． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴x的值不可以取 ， 故选：D． 2. “守株待兔”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件分类解答即可． 本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】解：根据题意，这是个随机事件； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，本选项运算错误； B. ，本选项运算错误； C. ，本选项运算正确； D. ，本选项运算错误； 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得： ， 配方得：， 即， 故选：B． 5. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价．该药品的原价是144元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是熟练掌握终止量与起始量和降低总次数的关系，正确列出方程． 设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得． 故选：C． 6. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【解析】 【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，， ，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 故选：A． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 8. 在中，，，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ， ∴， 故选C． 9. 如图，在中，点D在边上，且．阅读以下作图步骤： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点D为圆心， 的长为半径画弧，交 于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点E． 根据以上作图步骤，一定可以得到的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图得，于是得到，得到 ，结合平行线分线段成比例定理，计算解答即可． 【详解】解：根据作图得， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项C错误； ∵， ∴，， ∴故选项D，A错误；选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握基本作图，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 13. 如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为，的中点），若，则点B距离地面的高度为_____． 【答案】70 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 14. 关于x的一元二次方程 的一个根是2，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把 代入 ，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把 代入 ， 得， 解得， 故答案为：8． 15. 如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若 ，，则每个小正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由矩形的性质得 ，而，所以，，可证明，，则，，所以，由，求得，则 ，，根据勾股定理得出的值，从而得出 的值，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，， ∴在 和 中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 解得 ， ∴ ，， ， ， ∴每个小正方形的边长为， 故答案为：． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米， ，则点C到水平线的距离为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点M，交于点N，证明四边形 是矩形， 利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米，分米， ∵分米，∴分米， ∴分米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的加减混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案． 【详解】解： ． 19. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． （2）求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）5， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． 【小问2详解】 解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为 （点A，B，C的对应点分别为点，，）． （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据以原点O为位似中心，与位似，且相似比为 ，结合，，，只需把各坐标分别乘以得得到位似坐标即，，，描点后依次连接画图即可． （2）先求得，根据 ，且相似比为 ，得，代入计算解答即可． 本题考查了位似作图，位似性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为1：2，且，，， 故把各坐标分别乘以得得到位似坐标即，，，描点后依次连接画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，， 故， 由 ，且相似比为 ， 得， 故， 解得． 21. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． （2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列表法（画树状图法）求概率，对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列出表格表示所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有4张卡片，从中随机抽取一张是B卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表： A B C D A B C D A和D是化学变化，B和C是物理变化， 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的有2种， 所以抽取两张卡片均是物理变化的概率是． 22. 如图，在中，，， ． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得 ．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 则点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据 ，得 ，问题转化为过点A作的垂线，垂足即为所求． （2）根据勾股定理求得 ，结合 列出比例式，代入计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，三角形相似的性质，熟练掌握基本作图，相似的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由 ，得 ， 故过点A作的垂线，垂足即为所求， 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得 ． 23. 为深入贯彻落实劳动教育理念，培养学生的劳动技能和劳动精神，某中学计划在校园开辟一块劳动教育基地．基地的一面利用学校的墙（墙的长度为21米），并在与墙平行的一边留有一道宽为2米的门，用40米长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践． （1）若围成的菜地面积为220平方米，求此时菜地的长和宽． （2）能围成面积为240平方米的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），宽为 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设宽 ，则长，根据矩形场地面积为220平方米，列出方程，解方程即可； （2）设矩形的面积为，根据题意，得构造二次函数解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，设宽 ，则长， 根据矩形场地面积为220平方米， 列出方程， 即， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 答：矩形的长为，宽为． 【小问2详解】 设矩形的面积为，根据题意，得， ∴当时，y有最大值为，小于240． 故矩形的面积不可能为240平方米． 答：矩形的面积不可能为240平方米． 24. 数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图 ，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为 ，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为 ．如图 ，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到 ，参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数、矩形的判定和性质．首先过点作，过点作 ，延长交于点，可得四边形和四边形 是矩形，根据，利用三角函数可得，，从而可得，根据，从而可得关于的方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作 ，延长交于点， 则， 四边形和四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 设 ， 又， 则， 又， ， 又， ， ， ， 解得：， 前挡板的宽度为． 25. 在中，，E是上的一点，过点E作于点D． （1）如图1，求证：． （2）连接，平分，G是上的一点，与交于点F， ，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可证 ，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得 ，可证，由此即可求解； ②根据平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知 ，可得 ，过点C作 ，与延长线交于点H，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， ∴ 又 ， ∴ ， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①∵在中，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 则， 由（1）知， ， 则， ∵， ∴， 解得 ， 过点C作 ，与延长线交于点H，如图， 则， ∴， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查全等三角形和相似三角形．熟练掌握角平分的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形角的性质，中点性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $