精品解析：云南省文山壮族苗族自治州广南县第十中学校2024-2025学年高二上学期期末模拟考试数学试题

广南县第十中学2024年秋季学期高二年级期末模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顷中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 4. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A. 88分 B. 84分 C. 85分 D. 90分 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 把一个高9cm 的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度 相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（ ） A. 4.5cm B. 3cm C. 27cm D. 1cm 7. 阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两直线与平行，则实数的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. 1 10. 已知正方体棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 共面 D. 点到平面距离为 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 若直线与圆相交于两点，则___________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点．若，且，则双曲线的离心率是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线． （1）求恒过的定点的坐标； （2）若经过点，求直线的方程． 16. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，为的中点，的面积为，求的长． 17. 在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，； 丙：，，，. 假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率. 18. 如图，底面四边形是正方形，平面，平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为． （1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等； （2）直线与椭圆均有且只有一个公共点，且的斜率之积为，求证：的交点在椭圆的相似椭圆上； （3）若为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广南县第十中学2024年秋季学期高二年级期末模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顷中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B，由此利用交集的定义能求出. 【详解】由，即， 解得，即， 又， 则， 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，解得，且， 则函数的定义域为. 故选：B. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 4. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A. 88分 B. 84分 C. 85分 D. 90分 【答案】A 【解析】 【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可. 【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94， 因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数， 即分． 故选：A. 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用点在抛物线上求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】将点代入抛物线方程，得，则， 所以. 故选：B. 6. 把一个高9cm 的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度 相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（ ） A. 4.5cm B. 3cm C. 27cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据水的体积相等，结合圆锥和圆柱的体积公式运算得解. 【详解】设圆锥和圆柱的底面积为，圆柱中水的高度为， 则，解得. 所以圆柱中水的高度是3. 故选：B. 7. 阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题意可知，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为或． 故选：AD 8. 已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两直线与平行，则实数的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件列方程求解即可，注意检验是否重合. 【详解】若两直线与平行， 则，解得，经检验符合题意． 故选：BC. 10. 已知正方体棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 共面 D. 点到平面距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，易知， ， 对于A，，，所以与不垂直，故A错误； 对于B，，，则，，所以是平面的一个法向量，故B正确； 对于C，由，，， 所以，所以共面，故C正确； 对于D，由， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 故点 到平面的距离为，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得， 对于A，， 当且仅当时取等号，解得，即，A正确； 对于B，，即， 解得，因此，B正确； 对于C，令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值1，，C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因此在中，，其周长，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形，关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点，常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用诱导公式对已知等式化简求出，再利用两角差的正切公式求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故答案为： 13. 若直线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，可得为等边三角形，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 可知，即为等边三角形，所以， 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点．若，且，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据双曲线的定义和余弦定理得到，则得到离心率的值. 【详解】设，则. 由双曲线的定义可得. 因为，所以，所以， 则，. 在中，由余弦定理可得， 即，即， 在中，由余弦定理可得， 则，即， 从而，即，即，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是设，则，再灵活运用双曲线定义求得，，然后再多次利用余弦定理得到，从而解出离心率. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线． （1）求恒过的定点的坐标； （2）若经过点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【小问1详解】 由可得， 由解得，所以直线恒过点. 【小问2详解】 若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 16. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，为的中点，的面积为，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， 可得，即，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，的面积为， 所以，由（1）知，可得， 因为，可得：， 解得，可得的长为 17. 在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：，，，，，，，，，； 乙：，，，，，； 丙：，，，. 假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率； （2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，根据古典概型概率的计算公式，分别计算出乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，再计算出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率. 【小问1详解】 设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”， 因为比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖， 甲以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，，，共次， 所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为， 【小问2详解】 由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为， 设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”， 乙以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，，共次， 故， 事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”， 丙以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，共次， 故， 则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率为： . 18. 如图，底面四边形是正方形，平面，平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为底面四边形是正方形， 所以， 因为平面，且平面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，底面四边形是正方形， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为. 19. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为． （1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等； （2）直线与椭圆均有且只有一个公共点，且的斜率之积为，求证：的交点在椭圆的相似椭圆上； （3）若为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的值． 【答案】（1）证明:椭圆的离心率为 可化为 其离心率为 所以，即：椭圆与椭圆的离心率相等． （2）证明:设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为：与椭圆联立得： ， ， 即：亦即：①， 用代换①的得：②， ①式乘4+②式得：， 两边同除得：， 即点在椭圆上， 亦即：在椭圆的相似椭圆上， （3）5 【解析】 【分析】（1）分别求出椭圆的离心率可得结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程组，利用，化简可得结论； （3）由已知，设为，联立方程组求得，同理求得，进而可得结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 椭圆的标准方程为：， 所以，， 设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线PN的斜率为， 所以直线的方程为． 由，得， 设，则， 所以 ， 由替换可得， 所以 【点睛】方法点睛：高考中解析几何解答题一般围绕直线和圆锥曲线的位置关系进行设题，对考生的代数运算能力、逻辑思维能力要求较高，挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的圆锥曲线问题的主要思路，在解决与椭圆有关的问题时要重视圆的几何性质的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $