精品解析：重庆市长寿中学、江津中学七校联考2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上期高一期末七校联考 数学试题 命题学校：重庆市大足中学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列哪一组中的函数与是同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数与的定义域都为R，且，即对应法则相同，C是； 对于D，与对应法则不同，D不是. 故选：C 2. 已知命题，使得成立，则命题的否定是（ ） A. ，使得成立 B. ，都有 C. ，使得成立 D. ，都有 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题，使得成立， 则其否定为，都有. 故选：B 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则成立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质以及特值法逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即或，故A错误； 对于B，当满足，但是，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘以可得， 不等式两边同时乘以可得，即成立，故C正确； 对于D，当时，结论显然不成立，故D错误； 故选：C. 4. 年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（ ） A. 月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B. 月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C. 根据图象，这一天时所对应的温度为 D. 根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 5. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，再利用对数运算法则求解. 【详解】解：因为与互为相反数， 所以，即，， 所以， 故选：C 6. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为 ， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是， 故选：B 7. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入函数解析式，化简可得答案. 【详解】 . 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 9. 已知圆的半径为，点为圆与轴的交点，为圆上的动点（第一象限内），延长至，使得垂直于轴，，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 对应的弧长为 C. 设以为终边对应的角度，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立直线方程与圆的方程，即可得到的坐标，从而判断A，由的弧度，结合弧长公式，即可判断B，由任意角的概念即可判断C，由为等边三角形，结合诱导公式，即可判断D 【详解】 对于A，圆的半径为，圆心，所以圆的标准方程为， 因为轴，，，所以， 由直线的斜率，可得直线的方程为， 由且，可得，所以点的坐标为， 故A错误； 对于B，在中，，可得， 所以弧的长，故B正确； 对于C，若以为终边对应的角度，则根据， 可知角的集合为，故C正确； 对于D，根据中，可得为等边三角形， 所以，可得， 故D正确； 故选：BCD 10. 给定函数，若，用表示，中的较小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的单调递减区间为 C. 方程有两个根，则 D. 若存在常数，使得成立，那么的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出的范围可判断D. 【详解】当时，，则， 因为，所以恒成立，即， 所以当时，； 当时，，则， 令，解得或，即， 令，解得，即， 所以当或时，；当时，； 综上，，作出的图象如下图： 对于A，，故A正确； 对于B，由图知，函数的单调递减区间为，故B正确； 对于C，方程有两个根，即有两个根， 所以和的图象有两个交点， 由图知，当时，和的图象没有交点； 当时，和的图象有两个交点； 当时，和的图象有四个交点； 当时，和的图象有三个交点； 当时，和的图象有两个交点， 所以当或时，方程有两个根，即，故C错误； 对于D， 当时，，由得，， 即，解得或（舍）， 当时，，由得，， 即，所以，即当时，恒成立， 综上或，所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 11. 利用计算工具计算：当时，；当时，；当时，；当时，；当越来越大时，也越来越大，无限的趋近于，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，然后结合其单调性代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】记：， 由题可得，在时单调递增，且 对于A，当时，，即：，故选项A错误. 对于B，当时，，即：，故选项B正确. 对于C，当时，，，即：，故选项C正确. 对于D， ，，，，， ，故选项D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为_______________. 【答案】 【解析】 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 13. 若，且，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】消元，利用二次函数求出最小值. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当或时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知集合，，求，； （2）若集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求相应的集合； （2）根据包含关系可得关于的不等式，从而可求其取值范围. 【详解】（1）由题可得：，， . . （2）， ①当时，，解得：； ②当，，解得：， 综上所述：或. 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用角的关系进行转化，结合诱导公式和平方关系可得答案，或者根据函数值求出角，然后可得答案； （2）根据正弦值求出正切，利用齐次式可得答案. 【详解】法1：（1）， ， ， . 法2：， 或，， 原式. （2），， 原式 . ①当时，原式；②当时，原式. 综上所述：或. 17. 某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. （1）以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； （2）求当年利润的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据利润收入成本即可得结果； （2）直接根据对勾函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由题意得（） 【小问2详解】 由（1）可得：（）， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当年产部时，，当年产部时，， 当年产部时，， 因此：当年产量为部时，公司所获利润最大，最大利润为万元，当产量为部时，公司所获利润最小，最小利润为万元， 综上所述：公司利润取值范围是：（单位万元）. 18. 函数. （1）证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，若，求函数的最值； （3）已知，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得：函数的定义域为， ， ，故：函数为上的奇函数. （2）单调递增，， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用指数函数的单调性判断；再利用的单调性求解； （3）令，由一元二次不等式的解法求得或，再利用函数在上单调性求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上为单调递增函数， 在上均为单调递增函数，则在上单调递增， 在区间也单调递增. ，. 【小问3详解】 令， ，解得：或， ①当时，即：， 函数在上单调递增，且. 故. ②当时，即：， 函数在上单调递增，且， ，故. 综上所述：或. 19. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间，上单调递减 （2）， ， .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. 【小问1详解】 当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期高一期末七校联考 数学试题 命题学校：重庆市大足中学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列哪一组中的函数与是同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知命题，使得成立，则命题的否定是（ ） A. ，使得成立 B. ，都有 C. ，使得成立 D. ，都有 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则成立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（ ） A. 月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B. 月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C. 根据图象，这一天时所对应的温度为 D. 根据图象，这一天时所对应的温度为 5. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 9. 已知圆的半径为，点为圆与轴的交点，为圆上的动点（第一象限内），延长至，使得垂直于轴，，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 对应的弧长为 C. 设以为终边对应的角度，则 D. 10. 给定函数，若，用表示，中的较小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的单调递减区间为 C. 方程有两个根，则 D. 若存在常数，使得成立，那么的最小值为 11. 利用计算工具计算：当时，；当时，；当时，；当时，；当越来越大时，也越来越大，无限的趋近于，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为_______________. 13. 若，且，则的最小值为______________. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 四、解答题：共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知集合，，求，； （2）若集合，，若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 17. 某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. （1）以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； （2）求当年利润的取值范围. 18. 函数. （1）证明函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，若，求函数的最值； （3）已知，求的取值范围. 19. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $