专题03 空间向量在立体几何中的应用知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题03 空间向量在立体几何中的应用知识归纳与题型突破 知识点1 空间直线的方向向量和平面的的法向量 1.位置向量：在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量来表示，称为点P的位置向量.. 2.直线的方向向量：l是空间一直线，非零向量v与直线l平行，就称v是直线l的方向向量． 3.平面的法向量：非零向量n与平面α垂直，就称n为平面α的法向量. 【注】一个平面的法向量有无穷多，它们是互相平行的. 知识点2 空间向量与空间线面位置关系 知识点3 空间向量与垂直 1．直线与直线垂直： （1）点P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线，称垂足P0为点P在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 2.直线与平面垂直 3.平面与平面垂直 知识点4 空间向量与平行 1.直线与直线平行 2.直线与平面平行 3.平面与平面平行 知识点5 空间线面的夹角 （1）异面直线的夹角： 2.直线与平面所成的角： （1）定义： （2）利用向量求线面角： 3.两个平面所成的角： （1）二面角 （2）利用向量求二面角： 知识点5 空间的距离 1.点到直线的距离： （1）定义： （2）向量方法： （3）解题步骤： ①在直线l上任意一点A，计算向量 ②确定直线l的方向向量v ③j计算在方向向量v上的投影长 ④计算点P到直线l的距离 2.点到平面的距离： （1）定义：平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. （2）向量方法： （3）解题步骤： ①在平面α上任意一点A，计算向量 ②确定平面α的法向量n ③计算在法向量n上的投影长，即为计算点P到平面α的距离 3.两平行直线间的距离： ①在直线m上任意一点A，在直线n上任意一点P，计算向量 ②确定直线m的方向向量v ③j计算在方向向量v上的投影长 ④计算平行直线m,n间的距离 4.两平行平面之间的距离： （1）定义：两平行平面α，β之间的距离，等于平面α上任一点A到平面β的距离. 也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长. （2） ①在平行平面α，β上各取一点A，B，计算向量 ②确定平面的法向量n ③j计算在法向量n上的投影长，即为两平行平面α，β之间的距离 题型一 方向向量、法向量的确定 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知正方体 (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 【变式1-1】（21-22高二·湖南·课后作业）在正方体中，求证：是平面的法向量． 【变式1-2】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量． 【变式1-3】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 题型二 根据方向向量、法向量求参数 【例2】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ． 【变式2-1】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于 . 【变式2-2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则 . 题型三 空间位置关系的向量证明 【例3】（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【变式3-1】（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列正方体中，为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足平面的有：（     ）. A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）（2024·湖南长沙·一模）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 题型四 异面直线所成角的向量方法 【例4】（20-21高二上·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. (1)求直线与直线所成角的大小. (2)求证：平面. 【变式4-1】（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·湖南郴州·期末）在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为 ． 题型五 直线与平面所成角的向量方法 【例5】（24-25高三上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. (1)证明:平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-1】（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-3】（24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且是边长为的等边三角形. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 题型六 二面角的向量方法 【例6】（24-25高二上·湖南邵阳·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且. (1)求证：. (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南郴州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【变式6-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，. (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式6-3】（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. (1)判断直线BE与平面的位置关系，并证明； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 题型七 点到直线距离的向量方法 【例7】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则到l的距离为（    ） A．14 B．5 C． D． 【变式7-2】（2023·广东江门·一模）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 【变式7-3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为 . 题型八 点到平面距离的向量方法 【例8】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离 【变式8-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型九 向量应用的其它角、距离问题 【例9】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【变式9-1】（2020·黑龙江哈尔滨·二模）已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【变式9-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 题型十 空间向量应用的综合问题 【例10】（湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【变式10-1】（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．是直角三角形 B．异面直线与所成的角为 C．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值 D．平面平面 【变式10-2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则 ． 【变式10-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量在立体几何中的应用知识归纳与题型突破 知识点1 空间直线的方向向量和平面的的法向量 1.位置向量：在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量来表示，称为点P的位置向量.. 2.直线的方向向量：l是空间一直线，非零向量v与直线l平行，就称v是直线l的方向向量． 3.平面的法向量：非零向量n与平面α垂直，就称n为平面α的法向量. 【注】一个平面的法向量有无穷多，它们是互相平行的. 知识点2 空间向量与空间线面位置关系 知识点3 空间向量与垂直 1．直线与直线垂直： （1）点P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线，称垂足P0为点P在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 2.直线与平面垂直 3.平面与平面垂直 知识点4 空间向量与平行 1.直线与直线平行 2.直线与平面平行 3.平面与平面平行 知识点5 空间线面的夹角 （1）异面直线的夹角： 2.直线与平面所成的角： （1）定义： （2）利用向量求线面角： 3.两个平面所成的角： （1）二面角 （2）利用向量求二面角： 知识点5 空间的距离 1.点到直线的距离： （1）定义： （2）向量方法： （3）解题步骤： ①在直线l上任意一点A，计算向量 ②确定直线l的方向向量v ③j计算在方向向量v上的投影长 ④计算点P到直线l的距离 2.点到平面的距离： （1）定义：平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. （2）向量方法： （3）解题步骤： ①在平面α上任意一点A，计算向量 ②确定平面α的法向量n ③计算在法向量n上的投影长，即为计算点P到平面α的距离 3.两平行直线间的距离： ①在直线m上任意一点A，在直线n上任意一点P，计算向量 ②确定直线m的方向向量v ③j计算在方向向量v上的投影长 ④计算平行直线m,n间的距离 4.两平行平面之间的距离： （1）定义：两平行平面α，β之间的距离，等于平面α上任一点A到平面β的距离. 也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长. （2） ①在平行平面α，β上各取一点A，B，计算向量 ②确定平面的法向量n ③j计算在法向量n上的投影长，即为两平行平面α，β之间的距离 题型一 方向向量、法向量的确定 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知正方体 (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面的法向量、求直线的方向向量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出边长，根据点的坐标可得到向量的坐标，即可求得方向向量； （2）根据（1）中点的坐标可得到平面的一个法向量. 【详解】（1）根据题意以点为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示： 设边长为，则， 所以， 所以对角线的一个方向向量为； （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以平面的一个法向量. 【变式1-1】（21-22高二·湖南·课后作业）在正方体中，求证：是平面的法向量． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】依题意不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示空间直角坐标系，求出，，的坐标，即可得到、，从而得证； 【详解】证明：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，． 因为，所以． 又，所以，又因为，所以平面， 从而是平面的法向量． 【变式1-2】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量． 【答案】（结果不唯一） 【知识点】求平面的法向量 【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可. 【详解】不妨设平面的法向量，又， 故可得，即，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量为. 又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可. 故答案为：.（结果不唯一） 【变式1-3】（21-22高二·湖南·课后作业）如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求直线的方向向量 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，求得即可. 【详解】解：以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 故， 所以直线与AC的方向向量分别为. 题型二 根据方向向量、法向量求参数 【例2】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ． 【答案】24 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】本题涉及直线的方向向量与平面的法向量的关系.如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.根据向量平行的性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行.对于两个平行向量和， 根据向量平行的性质，存在实数，使得. 即.根据向量相等的对应分量相等，可得. 那么，. 将，代入，可得. 故答案为:24. 【变式2-1】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于 . 【答案】4 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式计算得解. 【详解】由，得，从而，即，解得. 故答案为：4 【变式2-2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据平面平行，得法向量平行，即可根据向量的坐标运算求解. 【详解】根据，可得，故，解得， 故， 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则 . 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据可得，再利用空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】由得， 即存在唯一实数，使， 即， 所以，解得：，所以， 故答案为： 题型三 空间位置关系的向量证明 【例3】（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 【变式3-1】（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 【变式3-2】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列正方体中，为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足平面的有：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】根据线面平行的判断定理：直线平行于平面内的一条直线，则线面平行.即可判断选项正确. 【详解】 对于选项A，分别连接,易证四边形为平行四边形，即证，故A正确； 对于选项B，因为,平移使得平移至点，此时为原中点，不在平面内，故B错误； 对于选项C，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得： ， ， 即证平面，故C正确； 对于选项D，如图所示，作出过的与正方体下底面平行的截面的另一条对角线交于， 连接，易证四边形为平行四边形，可知平面，D正确. 故选：ACD. 【变式3-3】（多选）（2024·湖南长沙·一模）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 【答案】ACD 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】对于A，由当点与点重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于B，一方面若面，则，结合即可判断；对于CD，由线面平行，线面垂直的相关知识判断即可. 【详解】当点与点重合时，由，而面，面，可知面，即A正确. 若面，注意到面，则， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， 所以，与矛盾，即B错误. 当不是的中点时，由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则，又面，面，从而可得面，即C正确. 同上，有，又面，面，所以， 又面， 所以面，则面，即D正确. 故选：ACD. 题型四 异面直线所成角的向量方法 【例4】（20-21高二上·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. (1)求直线与直线所成角的大小. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两直线夹角的余弦值，得到角的大小； （2）计算出，故⊥，⊥，从而证明出线面垂直. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 故直线与直线所成角的大小为； （2）， ，故⊥， ，故⊥， 因为，平面， 所以平面. 【变式4-1】（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解． 【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 , 则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·湖南郴州·期末）在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，而，， 则， ，， ，因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A    【变式4-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、异面直线夹角的向量求法 【分析】应用空间向量法，先求点的坐标，再分别表示，，化简，得出两条直线所成角的余弦值，再根据值域可得余弦范围. 【详解】设正方形的中心为，过点作的垂线，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，， 设，可得， ， 所以，， ，， 因为，可得，可设，， 设直线与所成角为，由，， 则， 令，可得， 则，则，, 可得． 故答案为：. 题型五 直线与平面所成角的向量方法 【例5】（24-25高三上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. (1)证明:平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先通过证明平面，得到，再通过等腰三角形的性质得到，根据线面垂直的判定定理可证平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦. 【详解】（1）因为底面为平行四边形，且， 所以为菱形，所以. 又，，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以. 在和中： （）. 所以. 又为中点，所以. 又，平面，且， 所以平面. （2）由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，，， 所以，，. 所以，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 所以，，. 设直线与平面所成的角为， 则. 【变式5-1】（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、求线面角、证明面面垂直 【分析】证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）因为为棱的中点，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）由题意可知平面，而平面，所以， 因为，所以. 而，由此可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 【变式5-3】（24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且是边长为的等边三角形. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为四边形为菱形，，则为等边三角形， 因为为的中点，，同理可得， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，. （2）由（1）可知，，同理可得， 因为，所以，，所以，， 又因为，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为。则， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 题型六 二面角的向量方法 【例6】（24-25高二上·湖南邵阳·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且. (1)求证：. (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）证明，先证明平面即可. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角的正弦值. 【详解】（1）连接，四边形是正方形，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，. （2）由（1）知，，，，，两两垂直如图， 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， 平面，平面的一个法向量为， 设，，， ， 设平面的法向量为，则， 取，则，，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的正弦值为. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南郴州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱锥中，， 由余弦定理，得， 则，而，则，， 由平面平面，得，又平面， 因此平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， 显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面和平面夹角为，， 所以平面和平面夹角的余弦值. 【变式6-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，. (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直去证明线线垂直，中间借助线面平行和线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量运算来求两平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）如图，连接并延长交于，连接， 为的重心，， 又，，， 平面，平面， ， 平面. （2）如图，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为的重心，点在线段上，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值. 【变式6-3】（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. (1)判断直线BE与平面的位置关系，并证明； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)平面，证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接BD，通过证明，可得到平面. （2）以E为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）平面，证明如下： 如图，连接BD. 因为为等边三角形，E是AD的中点，所以，且. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面，，所以平面. （2）以E为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PAB的法向量为，则， 令，则，故， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，故， 所以， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 题型七 点到直线距离的向量方法 【例7】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 则， 所以，， 故点到直线的距离为, 故选：A 【变式7-1】（22-23高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则到l的距离为（    ） A．14 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、点到直线距离的向量求法 【分析】利用投影向量的定义以及数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】根据题意可知， 显然在向量上的投影长度即为到l的距离， 所以点到l的距离为. 故选：C 【变式7-2】（2023·广东江门·一模）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，则坐标原点到直线的距离. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据题意，求得，结合点到直线的向量公式，即可求解. 【详解】由点，可得， 所以点到直线的距离为， 所以点C到直线的距离为. 故答案为：. 题型八 点到平面距离的向量方法 【例8】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由题意得，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，表示与平面的法向量为，根据线面角的向量公式可得结果. （2）利用点到平面距离的公式计算可得结果. 【详解】（1）∵平面，平面，平面， ∴. ∵四边形为正方形，∴. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，∴. 设直线与平面所成角为，则， ∵，∴，即直线与平面所成角为. （2）由（1）得，点到平面的距离. 【变式8-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、点到平面距离的向量求法 【分析】根据向量法求点面距离或者用等体积法可求得结果. 【详解】法1：以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 法2：点到平面的距离与点到平面的距离相等， ， ， 解得； 所以点到平面的距离为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D 【变式8-3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 题型九 向量应用的其它角、距离问题 【例9】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、异面直线距离的向量求法 【分析】(1)当时分别找到点和点的位置，利用线面垂直，可证线线垂直； (2)根据题中垂直关系，建立空间直角坐标系，把表示为的函数，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点， 所以， 因为面，面，所以， 所以.      （2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以，         又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 【变式9-1】（2020·黑龙江哈尔滨·二模）已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，得，故． 因为直线与平面所成角的正切值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，解得， 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为． 故选：D． 【变式9-2】（多选）（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D. 【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 因为，所以与不垂直．故A错误． ，， 设平面的一个法向量为， 则由得所以 不妨取，则，所以． 设平面的一个法向量为， ，， 则由得所以 不妨取，则，所以． 故不存在实数λ使得． 故平面与平面不平行，故B错误． 在长方体中，⊥平面， 故是三棱锥的高，所以 ．故C正确． 三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的半径． 所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确． 故选：CD． 【变式9-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）在正方形中得到，再由三棱柱侧棱平行得到，等腰三角形三线合一得到，从而证明线面垂直； （2）由几何法得到二面角的平面角，取中点，证明，然后得到平面，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，由空间向量计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因是正方形，则， 因，故， 由，则． 因平面，则平面， 又平面ABC，故平面平面ABC． （2）如图，取的中点M，连接DM，易得，因， 故即二面角的平面角，即， 易得，取中点，连接，过点作交于    ， 因，∴，故得正三角形，则， 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面， ∴，∵，∴， ∴，， 因此可分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，， ∵，∴， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则. 题型十 空间向量应用的综合问题 【例10】（湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 【变式10-1】（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．是直角三角形 B．异面直线与所成的角为 C．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值 D．平面平面 【答案】ABC 【知识点】空间位置关系的向量证明、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、正棱柱及其有关计算 【分析】设正方体的棱长为2，求出相关线段长度，利用勾股定理逆定理可判断形状，判断A；利用平移法可求得异面直线与所成的角，判断B；根据棱锥的体积公式可判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明方法可判断D. 【详解】对于A，设正方体的棱长为2，点是的中点，故; 平面平面，故， 则， 则，即，即是直角三角形，A正确； 对于B，在正方体中，点是的中点，    则直线DP即为直线，异面直线与所成的角即异面直线与所成的角， 由于，，故四边形为平行四边形， 所以，则即为异面直线与所成的角或其补角， 连接，则，即， 故异面直线与所成的角为，B正确； 对于C，设交于点O，则O为AC的中点，连接PO，    则PO为的中位线，故，平面，平面， 故平面， 当的长度为定值时，到平面的距离为定值，则Q到平面的距离为定值， 而的面积为定值，故为定值， 又三棱锥的体积，故三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则； 设平面的法向量为，则， 令，则； 则，即不垂直， 故平面和平面不垂直，D错误， 故选：ABC 【变式10-2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则 ． 【答案】/0.125 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，由题设分别写出四点的坐标，利用垂直关系即可求解． 【详解】正三棱柱中，在平面内过作，以为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 则，由， 得，解得， 所以. 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明面面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先证明平面PAD，得，再证明平面AEQF，结合面面垂直判定即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用得Q位置，再利用等体积求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 且为直线PC与平面所成的角，所以， 因为是菱形，，，故．所以， 因为点F分别为的中点，，所以． 因为点E为BC的中点，，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 则，， 设， 则， 设平面AEQF的一个法向量为， 则，所以，取． 由，得， 解得，此时． 因此点Q到平面的距离等于点C到平面的距离的， 而点Q到平面的距离等于，又． 于是． 故所求三棱锥体积为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$