专题01 空间直角坐标系与空间向量的运算知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题01 空间直角坐标系与空间向量的运算 知识归纳与题型突破 知识点1 空间直角坐标系 1.建立空间直角坐标系： (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)空间一点P的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作P(x，y，z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标． （3）特殊点的坐标： 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 特别地，若P(x，y，z)，则表示点P到原点的距离. 知识点2 空间向量的概念 1．空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． 2.几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．零向量的方向是任意的. ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 知识点3 空间向量的加减法与数乘运算 1.空间向量的加法、减法： (1)设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，， （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． 2.空间向量与实数相乘： （1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度：|λa|＝|λ||a| 方向：λ>0，λa的方向与a的方向相同；λ＝0，λa＝0（零向量！）；λ<0，λa的方向与a的方向相反. 图示：如上图有 . （2）对于每个非零向量a，与它方向相同的唯一单位向量是. （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. （4）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律： ①数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ②数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点4 向量的数量积 1．向量a，b的夹角：两个任意向量与，都可以平移到同一个平面OAB内，把称作a，b的夹角，记作<，>，其范围是[0,π]. 2.两个向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)|a|2＝a2，|a|＝=.（记a=（x,y,z）） (3)a⊥b⇔〈a，b〉＝⇔a·b＝0．(a，b为非零向量)；零向量与任意向量垂直. （4）夹角：设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ① ②a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向． ③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π． ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|． （5）数量积的运算律：设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 ①交换律a·b＝b·a； ②与数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.投影向量： （1）投影向量 （2） 投影与数量积的关系： 题型一 空间点的坐标 【例1】（21-22高二·湖南·课后作业）画一个正方体，若以为坐标原点，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 ． 【答案】 / / 【知识点】求空间图形上的点的坐标、求空间两点的中点坐标 【分析】根据题意，作出空间直角坐标系，再根据写出顶点的坐标，再根据中点坐标公式即可得到棱中点的坐标；由于正方形对角线的交点即为的中点，由此即可得到结果. 【详解】解：以为坐标原点，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，如下图所示： 所以； 所以棱中点的坐标为； 又正方形对角线的交点即为的中点，所以正方形对角线的交点的坐标为. 故答案为：；；. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】分别求出点关于平面和轴的对称点的坐标，再判断即得. 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于轴的对称点为，而点与点显然关于坐标原点对称. 故选：A. 【变式1-2】（22-23高二上·山东潍坊·期末）在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据给定条件，求出点M关于z轴对称点坐标，再列式计算作答, 【详解】依题意，点关于z轴的对称点， 于是得，解得， 所以. 故选：A 【变式1-3】（多选）（19-20高二上·福建三明·期末）（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（   ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为. 【答案】ACD 【知识点】求空间图形上的点的坐标、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系直接写出点、、A、C的坐标；然后根据对称即可求解判断B、C、D. 【详解】因为在长方体中，，，， 所以点的坐标为，故A正确. 设点关于点B对称的点为 则 解得： 则点关于点B对称的点为,故B错误. 由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故C正确. 由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为，故D正确. 故选：ACD. 题型二 空间两点的距离 【例2】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算、求空间中两点间的距离 【分析】由图形的结构特征，当为正方体中心时，点到两点的距离之和最小值为，到这两点的距离之和的最小值为，求值即可. 【详解】点与点和点的距离之和为， 因为关于平面的对称点为，故， 当且仅当为中点，即为正方体中心时等号成立； 点与点和点的距离之和可表示为， 则，当且仅当在所在直线上时等号成立， 故的最小值为， 当且仅当为正方体中心时等号成立. 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用空间的坐标运算求解. 【详解】由题可得的中点坐标为， 所以边上的中线的长度， 故选:C. 【变式2-2】（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 【变式2-3】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】空间距离公式的应用 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式列出方程即可得解. 【详解】设点P的坐标为， 依题意得，解得， 所以点P的坐标为. 故答案为： 题型三 空间向量的概念 【例3】（21-22高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D. 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：D. 【变式3-1】（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面 【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 题型四 空间向量的加减法 【例4】（21-22高二·湖南·课后作业）已知平行六面体，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】对（1）（2）（3）小题，分别利用空间向量的线性运算即可求得. 【详解】（1）在平行六面体中，. （2）在平行六面体中，. 所以. （3）在平行六面体中，. 所以. 【变式4-1】（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可. 【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误. 故选：D 【变式4-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    【变式4-3】（23-24高二上·湖南永州·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量加法公式进行计算. 【详解】． 故选：C． 题型五 空间向量的线性运算 【例5】（21-22高二·湖南·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【详解】（1）∵是的中点， ∴； （2）∵是的中点， ∴； （3）∵是的中点， ∴. 【变式5-1】（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】 = 故选：A. 【变式5-2】（15-16高二上·吉林·期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算 【分析】根据已知可得，代入即可得出答案. 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 题型六 根据向量的线性运算求参数 【例6】（21-22高二·湖南·课后作业）在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若则x＋y＋z＝ . 【答案】6 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量的运算得到，进而列出方程，求出的值，得到答案. 【详解】在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，， 又 ∴，∴ ∴x＋y＋z＝6. 故答案为：6 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 【变式6-3】（2020·山东德州·一模）在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算 【解析】化简得到，得到，，得到答案. 【详解】， 故，，. 故选：. 题型七 空间向量的数量积 【例7】（23-24高二上·河北·阶段练习）如图，三棱锥的棱长均为，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由线面垂直的判定定理可证得，再由平面向量数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由题意知三棱锥为正四面体， 取的中点，连接，则， 平面， 所以平面，平面， 所以，点，，分别是，，的中点， 所以，    所以，且． 因为，， ，， 故选：D． 【变式7-1】（18-19高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 【变式7-2】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 【变式7-3】（20-21高二上·河南南阳·阶段练习）若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的定义以及数量积的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意得，，， 则. 故答案为： 题型八 向量模的问题 【例8】（23-24高一下·湖南·期末）如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用空间向量法来计算向量的模长即可. 【详解】 因为分别是棱的中点，所以， 则. 因为平面，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，所以. 因为， 所以. 故答案为： 【变式8-1】（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 【变式8-3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 题型九 向量的夹角 【例9】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【变式9-1】（23-24高二上·湖南衡阳·期中）已知空间向量,,,,，则 . 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据计算可得. 【详解】, . 故答案为：. 【变式9-2】（2023高二·全国·专题练习）如图，已知正方体，设，，，则 .    【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】由正方体性质，结合向量数量积的运算律得，最后由向量夹角公式求夹角的大小. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 由， 所以，又， ，又， 所以. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】直接根据向量的夹角公式求解. 【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故 故答案为： 题型十 空间向量运算的最值、范围问题 【例10】（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ． 【答案】/-0.125 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式10-1】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 【变式10-2】（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 【变式10-3】（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可. 【详解】 取一三棱锥，， 且，，所以， ， 设， 因为，所以，即， 所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 球心距，所以两球相交，即点与点可以重合， 又， 所以. 故选：C. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间直角坐标系与空间向量的运算 知识归纳与题型突破 知识点1 空间直角坐标系 1.建立空间直角坐标系： (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)空间一点P的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作P(x，y，z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标． （3）特殊点的坐标： 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 特别地，若P(x，y，z)，则表示点P到原点的距离. 知识点2 空间向量的概念 1．空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． 2.几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．零向量的方向是任意的. ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 知识点3 空间向量的加减法与数乘运算 1.空间向量的加法、减法： (1)设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，， （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． 2.空间向量与实数相乘： （1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度：|λa|＝|λ||a| 方向：λ>0，λa的方向与a的方向相同；λ＝0，λa＝0（零向量！）；λ<0，λa的方向与a的方向相反. 图示：如上图有 . （2）对于每个非零向量a，与它方向相同的唯一单位向量是. （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. （4）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律： ①数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ②数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点4 向量的数量积 1．向量a，b的夹角：两个任意向量与，都可以平移到同一个平面OAB内，把称作a，b的夹角，记作<，>，其范围是[0,π]. 2.两个向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)|a|2＝a2，|a|＝=.（记a=（x,y,z）） (3)a⊥b⇔〈a，b〉＝⇔a·b＝0．(a，b为非零向量)；零向量与任意向量垂直. （4）夹角：设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ① ②a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向． ③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π． ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|． （5）数量积的运算律：设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 ①交换律a·b＝b·a； ②与数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.投影向量： （1）投影向量 （2） 投影与数量积的关系： 题型一 空间点的坐标 【例1】（21-22高二·湖南·课后作业）画一个正方体，若以为坐标原点，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 ． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【变式1-2】（22-23高二上·山东潍坊·期末）在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1-3】（多选）（19-20高二上·福建三明·期末）（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（   ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为. 题型二 空间两点的距离 【例2】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 【变式2-1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【变式2-3】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 . 题型三 空间向量的概念 【例3】（21-22高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式3-1】（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式3-2】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 题型四 空间向量的加减法 【例4】（21-22高二·湖南·课后作业）已知平行六面体，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·湖南永州·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量的线性运算 【例5】（21-22高二·湖南·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 【变式5-1】（13-14高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（15-16高二上·吉林·期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 题型六 根据向量的线性运算求参数 【例6】（21-22高二·湖南·课后作业）在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若则x＋y＋z＝ . 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【变式6-2】（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式6-3】（2020·山东德州·一模）在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型七 空间向量的数量积 【例7】（23-24高二上·河北·阶段练习）如图，三棱锥的棱长均为，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（18-19高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（20-21高二上·河南南阳·阶段练习）若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 题型八 向量模的问题 【例8】（23-24高一下·湖南·期末）如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 【变式8-1】（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【变式8-2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【变式8-3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 题型九 向量的夹角 【例9】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【变式9-1】（23-24高二上·湖南衡阳·期中）已知空间向量,,,,，则 . 【变式9-2】（2023高二·全国·专题练习）如图，已知正方体，设，，，则 .    【变式9-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 题型十 空间向量运算的最值、范围问题 【例10】（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ． 【变式10-1】（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$