1.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象（4知识点+10题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 课程标准 学习目标 （1）了解参数，，的变化对函数图象变化的影响； （2）能根据的部分图象确定其解析式； （3）整体把握函数的图象与性质，并能解决有关问题． （1）结合具体实例，了解的实际意义； （2）能借助图象理解参数，，的意义，了解参数的变化对函数图象的影响； （3）掌握与图象间的变换关系； （4）会利用的图象研究函数性质及应用． 知识点01 “五点（画图）法”作函数的图象 用“五点（画图）法”作函数的图象的步骤 第一步：列表，即令分别为，再分别求出相应的值，如下表所示． ωx＋φ 0 π 2π x － －＋ － y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点． 第三步：连线，用光滑曲线顺次连接这些点得到一个周期内的图象． 第四步：利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象． 【即学即练1】用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（    ） A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】A 【解析】令2x－＝0可得x＝，又函数的最小正周期为，则， 所以五点的坐标依次是，，，，.故选：A. 【即学即练2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【答案】作图见解析 【解析】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 知识点02 参数A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、对图象的影响（周期变换） 函数的图象是将函数的图象上所有的点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的（纵坐标不变）而得到．ω决定了函数的周期． 2、φ对函数图象的影响（平移变换） （1）函数的图象，可以看作是把函数图象上的所有点向左（）或向右（）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）． （2）函数的图象，可以看作将函数的图象上所有点向左（）或向右（）平移个单位长度得到的． 3、对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象是将图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到．A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【即学即练3】（23-24高一下·海南·月考）要得到的图象只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】将的图象向左平移个单位，得函数图象，A正确，BCD错误.故选：A 【即学即练4】（23-24高一上·北京大兴·期末）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 【答案】A 【解析】函数图象上的所有点先向右平移个单位长度，得到函数， 再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数.故选：A 知识点03 y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)(A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，当表示一个简谐运动的表达式时，各量就有了物理意义． （1）时简谐运动的振幅，它时做简谐运动的物理离开平衡位置的最大距离； （2）简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间； 是简谐运动的频率，它时做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； （3）称为相位，时的相位称为初相． 【即学即练5】（23-24高一下·广东佛山·月考）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【解析】函数，振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是，故选：D． 【即学即练6】已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）＝4sin（x+φ）（|φ|），则该简谐运动的初相φ的值为（    ） A．φ B．φ C．φ D．φ 【答案】D 【解析】∵简谐运动的图象经过点（0，2），∴f（0）＝2，即f（0）＝4sinφ＝2，即sinφ， ∵|φ|，∴φ.故选：D． 知识点04 正弦型函数与余弦性函数的性质 1、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心：由求得 对称轴：由求得 奇偶性 当时是奇函数；当时是偶函数 单调性 递增区间由求得 递减区间由求得 2、函数 A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称轴：由求得 对称中心：由求得 奇偶性 当时是偶函数；当时是奇函数 单调性 递增区间由求得 递减区间由求得 【即学即练7】（23-24高一下·北京·月考）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A.是偶函数，周期为，故A正确； B.是偶函数，周期为，故B错误； C.是奇函数，周期为，故C错误； D.是奇函数，周期为，故D错误.故选：A 【即学即练8】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【解析】函数， 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确.故选：D 难点：正（余）弦型函数图象与性质的综合应用 解决正（余）弦型函数的图象与性质的综合问题的方法与步骤：先根据已知条件，求出函数的解析式，再利用整体思想，借助正（余）弦函数的图象与性质来解决相关问题． 【示例1】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知函数的一段图象如下图所示： (1)求函数的解析式． (2)将函数的图象上所有点保持纵坐标不变，把图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．则当时，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），如图知： ，. 又代入得：，解得， ， （2） 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍 再把图象上所有点向右平移个单位即： ，， 【示例2】（23-24高一下·湖北·月考）已知直线是函数的图象的一条对称轴，且在上单调递增. (1)求的值，并在上面网格纸中作出在上的大致图象； (2)将函数的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)；作图见解析；(2). 【解析】（1）依题意，，故， 由于在上单调递增，故， 所以，解得，故； 列表可知 0 -1 0 2 0 -2 -1 作出在上的大致图象如下所示： （2）将函数的图象的横坐标缩短为原来的后，得到； 再向右平移个单位长度后，得到的图象； 当时，， 所以当时，， 当时，， 故在上的值域为. 【题型1：由部分图象求函数解析式】 例1．（24-25高一上·山东·月考）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象知函数周期，所以，所以， 又函数图象过点，， 所以，解得， 又，所以，所以.故选：A 变式1-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，.故选：B. 变式1-2．（23-24高一下·北京海淀·期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象知，，所以， 则或， 又，所以， ，，，， 又，，已知，所以，所以，故选：D． 变式1-3．（23-24高一下·河北承德·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察函数图象知，，解得， 即，由，得，而，则， 于是，由，得， 即或， 解得或，函数的周期为， 显然有，解得，又，因此， 所以.故选：A 【方法技巧与总结】 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数． 【题型2：同名三角函数图象之间的变换】 例2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A. 变式2-1．（23-24高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】由题意只需要将函数的图象向左平移个单位长度 即可得到函数的图象.故选：D. 变式2-2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，不合题意，故B错误； 对于选项C：可得，符合题意，故C正确； 对于选项D：可得，不合题意，故D错误； 故选：C. 变式2-3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故A正确. 对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故B错误. 对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度， 所得图象对应的解析式，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故D错误.故选：AC. 【方法技巧与总结】 图象变换法的基本途径 求函数，其图象的基本变换有： 1、纵向伸缩变换：由的变化引起的，时伸长，时缩短； 2、横向伸缩变换：由的变化引起的，时缩短，时伸长； 3、横向平移变换：由的变化引起的，时左移，时右移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 【题型3：异名三角函数图象之间的变换】 例3．（23-24高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】由可得， 将的图象上的点的横坐标向右平移个单位 可得，即得到结果.故选：D 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】注意到， 又，则要得到函数的图像，只需将函数 的图象向左平移个单位长度.故选：A 变式3-2．（23-24高一下·山东淄博·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】由题意: 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位,故选：B 变式3-3．（23-24高一下·河南南阳·月考）要得到函数，的图象，可以将（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 C．先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】B 【解析】可转化为， 的图象先向右平移个单位得到的图象， 再把图象上各点的横坐标缩小为原来的得到的图象， B正确，其他选项错误．故选：B 【方法技巧与总结】 变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再分析变换过程。 常用公式：或． 【题型4：图象变换前后的解析式求解】 例4．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得.故选：B 变式4-1．（23-24高一下·青海·期中）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图象上所有的点向右平移个单位长度， 得到函数.故选：A 变式4-2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度， 可得函数的图象， 将函数的图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标保持不变， 可得函数的图象，所以.故选：A. 变式4-3．（24-25高一上·天津武清·期末）函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的图象向右平移个单位长度 得到，故选：D. 【方法技巧与总结】 按照三角函数的图象变换步骤依次对函数解析式进行处理． 【题型5：与正（余）弦型函数相关的图象】 例5．（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象.故选：C. 变式5-1．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由且定义域为， 所以函数是奇函数，故排除A、D， 当趋向于且大于0时，趋向于，排除C.故选：B. 变式5-2．（23-24高一下·云南·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误．故选：A. 变式5-3．（23-24高一下·陕西西安·月考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足.故选：A 【方法技巧与总结】 函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，如函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性等，此外零点也可以作为判断的依据． 【题型6：求正（余）弦型函数的单调区间】 例6．（24-25高一上·山东济宁·月考）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于， 令，，得，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于A，不满足，故A错误； 对于B，不满足，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，不满足，故D错误；故选：C. 变式6-1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 要求函数的增区间，即， 即. 令，得到.则A正确，B错误； 令，得到.则C，D错误．故选：A． 变式6-2．（23-24高一下·广西钦州·期中）函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，得， 令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.故选：C 变式6-3．（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由，解得， 所以，函数的单调递减区间为. 【方法技巧与总结】 用“基本函数法”求函数或的单调区间的步骤： 1、写出基本函数（或）的相应单调区间； 2、将“”视为整体替换“”． 3、解关于的不等式（组）． 【题型7：已知正（余）弦型函数的单调性求参】 例7．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 【答案】 【解析】； 令，，则， 所以在是减函数， 因为在区间单调递减， 所以有，即， 又，所以，. 变式7-1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设，由，所以， 则在上单调递增， 所以，解得， 又，所以，即的取值范围是.故选：B. 变式7-2．（23-24高一下·广东潮州·月考）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得. 因为在上单调递增，所以， 得， 则，解得， 则，故的取值范围为. 变式7-3．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，得，则，解得. 由，解得. 因为，所以或1，则或，即的取值范围为. 【方法技巧与总结】 已知函数（或）的单调区间求或时，一般先将代入（或）相应的单调区间所对应的不等式（组）中，求出的范围，再结合已知的单调区间建立关于或的不等式（组）求解． 【题型8：正（余）弦型函数的周期性应用】 例8．（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期，故选:D. 变式8-1．（24-25高一上·宁夏银川·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，的最小正周期.故选：D 变式8-2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【答案】2 【解析】，解得：，故答案为：2 变式8-3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以的周期. 又，，，，，， 所以. 又，所以. 【方法技巧与总结】 与周期性相关的结论 由函数（为，）的图象可知： 1、相邻连个最大值点之间的区间长度为周期； 2、相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为； 3、相邻的最值点与零点之间的区间长度为； 4、函数的单调递增区间和单调递减区间的长度为． 【题型9：正（余）弦型函数的奇偶性应用】 例9．（23-24高一下·四川成都·月考）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数.故选：A 变式9-1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是奇函数，则只需， 所以， 所以时，.故选：D. 变式9-2．（23-24高三下·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意；故选：B. 变式9-3．（23-24高一下·辽宁阜新·月考）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，.故选：B 【方法技巧与总结】 与奇偶性相关的结论 由于函数时奇函数，是偶函数，因此有如下结论． 1、要使为奇函数，则． 2、要使为偶函数，则． 3、要使为奇函数，则． 4、要使为偶函数，则． 【题型10：正（余）弦型函数的对称性应用】 例10．（24-25高一上·新疆阿克苏·月考）函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 所以函数的对称轴为 当时，，只有D满足.故选:D. 变式10-1．（24-25高一上·重庆·月考）下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数的最小正周期为， 当时，，即函数图象关于直线对称，A是； 对于B，当时，，即函数图象不关于直线对称，B不是； 对于C，当时，，即函数图象不关于直线对称，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是.故选：A 变式10-2．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【解析】根据图象关于直线对称可得，解得; 又关于点对称可得，解得； 经检验当时，符合题意.故选：C 变式10-3．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数的图象在 内恰有两条对称轴， 所以，解得． 【方法技巧与总结】 求解对称轴、对称中心及其应用问题的基本思路 1、函数和的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．的图象的对称中心为，对称轴方程为．的图象的对称中心为，对称轴方程为． 2、对于函数，的图象的对称性问题，应将看成一个整体，利用整体代入思想，令等于或，解出的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与的交点的横坐标． 1．（23-24高一下·北京延庆·期中）函数图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令,解得, 所以的对称轴方程为 当时，其对称轴方程为，故B正确； 因为A，C，D均不满足对称轴方程，所以A，C，D错误.故选：B. 2．（23-24高一下·河南·开学考试）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为，所以是最小正周期为， 且，为奇函数； 可得是最小正周期为的奇函数.故选：C 3．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，为偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A 4．（24-25高一上·甘肃·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，要得到的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的， 得到的图象.故选：D. 5．（24-25高一上·河南郑州·期末）要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故A错误； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故B 错误； 将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误； D.将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽淮南·月考）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由五点作图知，，解得， 所以，令，解得， 故单调减区间为.故选：D. 7．（23-24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，且，函数的最小正周期， 令满足, 且（）,则， 由，得五点作图法的最左边端点为， 由是奇函数，得， 由是偶函数，得, 当时，，，此时； 当时，，，此时, 所以的最小值为.故选：C 8．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 【答案】18 【解析】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 9．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知函数(其中)的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 因为是边长为2的正三角形，， 所以，， 所以，， 由题知，所以，所以， 将代入解析式得， 所以，， 所以， 所以.故选：D 10．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）将函数的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可知，， 所以函数周期为. 而，，，， ，，，， 所以，则， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由图象可知，，最小正周期，， ，，，则， 所以. （2）的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数的图象， 时，，其中时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 在上有两个不等实根，则实数的取值范围为 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 课程标准 学习目标 （1）了解参数，，的变化对函数图象变化的影响； （2）能根据的部分图象确定其解析式； （3）整体把握函数的图象与性质，并能解决有关问题． （1）结合具体实例，了解的实际意义； （2）能借助图象理解参数，，的意义，了解参数的变化对函数图象的影响； （3）掌握与图象间的变换关系； （4）会利用的图象研究函数性质及应用． 知识点01 “五点（画图）法”作函数的图象 用“五点（画图）法”作函数的图象的步骤 第一步：列表，即令分别为，再分别求出相应的值，如下表所示． ωx＋φ 0 π 2π x － －＋ － y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点． 第三步：连线，用光滑曲线顺次连接这些点得到一个周期内的图象． 第四步：利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象． 【即学即练1】用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（    ） A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 【即学即练2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 知识点02 参数A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、对图象的影响（周期变换） 函数的图象是将函数的图象上所有的点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的（纵坐标不变）而得到．ω决定了函数的周期． 2、φ对函数图象的影响（平移变换） （1）函数的图象，可以看作是把函数图象上的所有点向左（）或向右（）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）． （2）函数的图象，可以看作将函数的图象上所有点向左（）或向右（）平移个单位长度得到的． 3、对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象是将图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到．A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【即学即练3】（23-24高一下·海南·月考）要得到的图象只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【即学即练4】（23-24高一上·北京大兴·期末）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 知识点03 y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)(A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，当表示一个简谐运动的表达式时，各量就有了物理意义． （1）时简谐运动的振幅，它时做简谐运动的物理离开平衡位置的最大距离； （2）简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间； 是简谐运动的频率，它时做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； （3）称为相位，时的相位称为初相． 【即学即练5】（23-24高一下·广东佛山·月考）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【即学即练6】已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）＝4sin（x+φ）（|φ|），则该简谐运动的初相φ的值为（    ） A．φ B．φ C．φ D．φ 知识点04 正弦型函数与余弦性函数的性质 1、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心：由求得 对称轴：由求得 奇偶性 当时是奇函数；当时是偶函数 单调性 递增区间由求得 递减区间由求得 2、函数 A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称轴：由求得 对称中心：由求得 奇偶性 当时是偶函数；当时是奇函数 单调性 递增区间由求得 递减区间由求得 【即学即练7】（23-24高一下·北京·月考）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 难点：正（余）弦型函数图象与性质的综合应用 解决正（余）弦型函数的图象与性质的综合问题的方法与步骤：先根据已知条件，求出函数的解析式，再利用整体思想，借助正（余）弦函数的图象与性质来解决相关问题． 【示例1】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知函数的一段图象如下图所示： (1)求函数的解析式． (2)将函数的图象上所有点保持纵坐标不变，把图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．则当时，求函数的值域． 【示例2】（23-24高一下·湖北·月考）已知直线是函数的图象的一条对称轴，且在上单调递增. (1)求的值，并在上面网格纸中作出在上的大致图象； (2)将函数的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的值域. 【题型1：由部分图象求函数解析式】 例1．（24-25高一上·山东·月考）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·北京海淀·期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一下·河北承德·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数． 【题型2：同名三角函数图象之间的变换】 例2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 变式2-1．（23-24高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 变式2-2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式2-3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【方法技巧与总结】 图象变换法的基本途径 求函数，其图象的基本变换有： 1、纵向伸缩变换：由的变化引起的，时伸长，时缩短； 2、横向伸缩变换：由的变化引起的，时缩短，时伸长； 3、横向平移变换：由的变化引起的，时左移，时右移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 【题型3：异名三角函数图象之间的变换】 例3．（23-24高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）要得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式3-2．（23-24高一下·山东淄博·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式3-3．（23-24高一下·河南南阳·月考）要得到函数，的图象，可以将（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 C．先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变 【方法技巧与总结】 变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再分析变换过程。 常用公式：或． 【题型4：图象变换前后的解析式求解】 例4．（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高一下·青海·期中）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高一上·天津武清·期末）函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 按照三角函数的图象变换步骤依次对函数解析式进行处理． 【题型5：与正（余）弦型函数相关的图象】 例5．（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24高一下·云南·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一下·陕西西安·月考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，如函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性等，此外零点也可以作为判断的依据． 【题型6：求正（余）弦型函数的单调区间】 例6．（24-25高一上·山东济宁·月考）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24高一下·广西钦州·期中）函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 . 【方法技巧与总结】 用“基本函数法”求函数或的单调区间的步骤： 1、写出基本函数（或）的相应单调区间； 2、将“”视为整体替换“”． 3、解关于的不等式（组）． 【题型7：已知正（余）弦型函数的单调性求参】 例7．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 变式7-1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（23-24高一下·广东潮州·月考）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 变式7-3．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【方法技巧与总结】 已知函数（或）的单调区间求或时，一般先将代入（或）相应的单调区间所对应的不等式（组）中，求出的范围，再结合已知的单调区间建立关于或的不等式（组）求解． 【题型8：正（余）弦型函数的周期性应用】 例8．（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（24-25高一上·宁夏银川·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 变式8-3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 【方法技巧与总结】 与周期性相关的结论 由函数（为，）的图象可知： 1、相邻连个最大值点之间的区间长度为周期； 2、相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为； 3、相邻的最值点与零点之间的区间长度为； 4、函数的单调递增区间和单调递减区间的长度为． 【题型9：正（余）弦型函数的奇偶性应用】 例9．（23-24高一下·四川成都·月考）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 变式9-1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．（23-24高三下·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．（23-24高一下·辽宁阜新·月考）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 与奇偶性相关的结论 由于函数时奇函数，是偶函数，因此有如下结论． 1、要使为奇函数，则． 2、要使为偶函数，则． 3、要使为奇函数，则． 4、要使为偶函数，则． 【题型10：正（余）弦型函数的对称性应用】 例10．（24-25高一上·新疆阿克苏·月考）函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．（24-25高一上·重庆·月考）下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 变式10-3．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 求解对称轴、对称中心及其应用问题的基本思路 1、函数和的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．的图象的对称中心为，对称轴方程为．的图象的对称中心为，对称轴方程为． 2、对于函数，的图象的对称性问题，应将看成一个整体，利用整体代入思想，令等于或，解出的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与的交点的横坐标． 1．（23-24高一下·北京延庆·期中）函数图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·开学考试）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·甘肃·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南郑州·期末）要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 6．（24-25高一上·安徽淮南·月考）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·北京·期中）已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 9．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知函数(其中)的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）将函数的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则的值为 . 11．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$