精品解析：江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题

2024~2025学年第一学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】, 故选：D 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得出其焦点坐标. 【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 3. 过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线方程得，解得， 因此，过点且与直线垂直的直线的方程为. 故选：A. 4. 已知，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律，结合已知条件求解. 【详解】. 故选：C. 5. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在双曲线上，故，即可结合离心率公式求解. 【详解】如图：设,， 由于在双曲线上，故 故，化简可得， 由于，故，故， 故选：A 6. 函数极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 7. 已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合两点间距离公式列出方程，再化简可得答案. 【详解】由得， 整理得. 故选：C. 8. 若数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出数列的通项公式，再利用裂项相消法可求得的值. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 也满足，所以，对任意的，， 所以，， ， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ） A. 从到，蜥蜴体温下降了 B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D. 蜥蜴体温瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 焦点到其渐近线的距离为 C. 若直线与没有公共点，则或 D. 若直线与仅有一个公共点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求渐近线判断A，利用点到直线的距离判断B，利用直线与双曲线的位置关系，联立的方程利用判别式，判断实数根的方法，即可判断CD. 【详解】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则， 解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误. 故选：AC 11. 公差为的等差数列的前（为奇数）项的和为99，其中偶数项之和为44，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项的和及偶数项的和及列式，求出等差数列的通项公式，逐项判断即可. 【详解】∵等差数列的前（为奇数）项的和为99， ∴，① ∵其中偶数项之和为44，由题意可得偶数项共有项，公差等于， ，② ∵， ∴，③ 由①②③，解得，故选项AC正确； 故． ∴，故BD错误． 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】的模为， 故答案为： 13. 已知数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案：. 14. 若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为函数和只有一个交点，分和进行研究. 【详解】根据题意，方程，即， 画出函数和的图象， 当时，显然只有一个交点，如图， 当时，设切点为，， 则，解得， 所以当时，函数和相切时只有一个交点，如图， 综上所述，当时，方程有且仅有一个实数根. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，为边上一点，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）7； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：应用正余弦定理求边长；法二：过点作的垂线，垂足为，根据已知求边长； （2）应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 法一：在中，由正弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得 ； 法二：过点作的垂线，垂足为， 在中，则， 在中，则， 所以 在中，. 【小问2详解】 由（1）可得，. 16. 设数列满足递推关系：，且. （1）设，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到数列的递推关系式，由等比数列定义得证； （2）由数列的通项公式得数列的通项公式，再利用分组求和法求和. 【小问1详解】 因为，而， 所以， 又因为所以，则， 由以上可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以即， 则数列的前项和， 所以. 17. 如图，在半径为4，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为. （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的半径为，圆切于，圆切于，根据三角函数得到方程，求出，进而得到； （2）在（1）的基础上，换元得到，求导，得到函数单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 圆的半径为，设圆的半径为，圆切于，圆切于， 中，，故. 在中同理可得，， ； 【小问2详解】 令，由，则，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 最大值为. 18. 已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【小问1详解】 设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个零点，且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【小问1详解】 当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知正方形，则以为焦点，且过两点双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 7. 已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 若数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ） A. 从到，蜥蜴体温下降了 B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D. 蜥蜴体温瞬时变化率为时的时刻 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 的焦点到其渐近线的距离为 C. 若直线与没有公共点，则或 D. 若直线与仅有一个公共点，则 11. 公差为的等差数列的前（为奇数）项的和为99，其中偶数项之和为44，且，则（ ） A B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数的模为__________. 13. 已知数列中，，则__________. 14. 若方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，为边上一点，. （1）求； （2）求的面积. 16. 设数列满足递推关系：，且. （1）设，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在半径为4，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为. （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值. 18. 已知离心率为椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$