第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

授课主题 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课标要求 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系 教学内容 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ·知识精讲· · 一. 两角和差的余弦、正弦和正切公式 1．两角和差的余弦公式 2．两角和与差的正弦公式 3．两角和与差的正切公式 二. 公式的推导 1．两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则 由向量数量积的定义有 由向量数量积的坐标表示有 于是， 当是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角使，若，则若则，且 因此对于任意角都有. 2．其余公式的推导 分子分母同时除以可得 ·三点剖析· · 一. 注意事项 1. 若或是的形式，则可以直接利用三角函数的诱导公式进行计算 2. 正切公式的使用要注意在定义域内使用，，， 只要有一个不存在就不能使用两角和与差的正切公式，只能用诱导公式．   二. 常见技巧 1. 角的代换 角的代换是指将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式计算.主要针对已知某些角的三角函数值，求（或证明）另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“代换技巧”有： （1）单角变为和差角 ；； ； （2）倍角化为和差角 （3）结合诱导公式与特殊角 （4）常数代换      三.公式的逆用和变形 在应用公式解决化简求值或证明题时，我们还需要掌握公式的逆用和变形． 1. 逆用： 2. 利用角的代换使用： 3. 移项使用： 4. 公式的变形： （1） （2） （3） （4）   四. 方法点拨 1. 三角函数式的化简 （1）化简要遵循“三看”原则 ①一看“角”，通过找到角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，通过角的代换正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”． （2）化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使三角函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数． 2. 三角函数给值求值问题 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 3. 三角函数给值求角问题 （1）这类问题的求解，关键环节有两点： ①求出所求角的某种三角函数值； ②确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解． （2）确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定． （3）求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解． 题组一　常识题 1.[教材改编] sin 75°=　　　　.  2.[教材改编] sin 20°cos 40°-cos 160°sin 40°=　　　　.  3.[教材改编] 若cos(α-π)=,则sin 2α=　　　　.  4.[教材改编] 若tan θ=2,则tan=　　　　,tan 2θ=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误;求三角函数值时符号选取错误. 5.若sin=,则sin的值为　　　　.  6.计算:=　　　　.  7.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第三象限角,则sin的值为 　　　　.  　两角和与差的三角函数公式 例1 (1)已知sin=sin,则tan α= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.2+ C. D.+ (2)[2024·湖北鄂东南期中] 已知α,β均为锐角,tan α=2,sin β=,则cos(α+β)= (　 ) A. B. C. D. (3)[2023·湖南长沙雅礼中学模拟] 已知tan α+tan β=3,sin(α+β)=2sin αsin β,则tan(α+β)= (　 ) A.4 B.6 C.- D.-6 总结反思 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的. 变式题 (1)已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 (　 ) A. B.- C. D.- (2)[2023·山东淄博一模] 若sin=,θ∈(0,π),则cos θ=　　　　.  (3)[2023·江苏南通模拟] 已知sin=,则sin=　　　　.  　两角和与差的三角函数公式的逆 用与变形 例2 (1)[2023·河北衡水中学模拟] cos 198°cos 132°+cos 42°sin 18°=(　 ) A.- B.- C. D.1 (2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 (　 ) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 (3)[2023·山东德州三模] 若α,β为锐角,且α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　.  总结反思 两角和与差的三角函数公式活用技巧:①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 变式题 (1)(多选题)下列式子的运算结果为的是 (　 ) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C. D. (2)已知sin=,则sin x+sin等于 (　 ) A.1 B.-1 C. D. 　角的变换问题 例3 (1)已知α,β∈,若sin=,cos=,则sin(α-β)的值为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2023·江苏泰州一模] 已知sin=,α∈,则tan=　　　　.  总结反思 三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=-=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-等. 变式题 (1)已知sin θ+sin=1,则sin= (　 ) A. B. C. D. (2)已知0<α<<β<π,tan α=,cos(β-α)=,则sin α=　　　　,cos β=　　　　.  　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 答案解析 【对点演练】 1.　[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=. 2.　[解析] 方法一:sin 20°cos 40°-cos 160°sin 40°=cos 70°cos 40°+sin 70°sin 40°=cos(70°-40°)=cos 30°=. 方法二:sin 20°cos 40°-cos 160°sin 40°=sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=. 3.±　[解析] 因为cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=,所以cos α=-,所以sin α=±=±,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=±. 4.-3　-　[解析] tan===-3,tan 2θ===-. 5.-　[解析] ∵sin=,∴sin=cos=1-2sin2=1-=-. 6.　[解析] ==tan(45°-15°)=tan 30°=. 7.　[解析] 由sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,得sin[(α-β)-α]=,即sin(-β)=,所以sin β=-.又β是第三象限角,所以cos β=-=-=-,因此sin=sin βcos+cos βsin=×+×=. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)运用两角和与差的正弦公式和同角三角函数的商数关系,计算即可得到所求值.(2)根据同角三角函数基本关系式,以及两角和的余弦公式,即可求解.(3)由两角和的正弦公式和同角三角函数公式将条件化为=2,进而求出tan αtan β=,再利用两角和的正切公式即可求值. (1)B　(2)A　(3)D　[解析] (1)因为sin=sin,所以sin α+cos α=sin α-cos α,所以(+1)cos α=(-1)sin α,所以tan α==2+.故选B. (2)由tan α=2,sin β=,且α,β均为锐角,得sin α=,cos α=,cos β=,所以cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β=×-×=.故选A. (3)由sin(α+β)=2sin αsin β得sin αcos β+cos αsin β=2sin αsin β,故=2,可得=2,所以tan αtan β=,所以tan(α+β)===-6,故选D. 变式题　(1)B　(2)　(3)-　[解析] (1)因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-,所以tan α==-.因为tan(π-β)=,所以tan β=-,则tan(α-β)==-.故选B. (2)∵θ∈(0,π),∴θ+∈,又sin=>0,∴θ+∈,若θ+∈,则sin>sin=,与sin=矛盾,∴θ+∈,∴cos=-=-,∴cos θ=cos=coscos+sinsin=-×+×=. (3)设α+=t,则α=t-,sin t=,∴sin=sin=sin= cos 2t=1-2sin2t=1-2×=-. 例2　[思路点拨] (1)利用诱导公式,逆用两角和的正弦公式计算出答案.(2)思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出α-β,进而可求;思路二:根据等式恒成立,取角α,β为特殊值分别判断选项.(3)根据两角和的正切公式变形即可得解. (1)C　(2)C　(3)2　[解析] (1)cos 198°cos 132°+cos 42°sin 18°=cos(180°+18°)cos(90°+42°)+cos 42°sin 18°=cos 18°sin 42°+cos 42°sin 18° =sin(42°+18°)=sin 60°=.故选C. (2)方法一:由sin(α+β)+cos(α+β)=sin=2cossin β,可知sin=2cossin β,即sincos β+cossin β=2cossin β,即 sincos β-cossin β=0,即sin=0,所以α-β+=kπ,k∈Z,所以α-β=-+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=tan=-1,k∈Z,故选C. 方法二:取β=0,则sin α+cos α=0,取α=π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tanπ=-1,排除B,D;取α=0,则sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,则tan(α+β)=tan=1,排除A.故选C. (3)因为tan(α+β)=,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β= 1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+tan(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. 变式题　(1)ABC　(2)A　[解析] (1)对于A,因为tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan(α+β),所以 tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=(1-tan 25°tan 35°)tan(25°+35°)+tan 25°tan 35°=(1- tan 25°tan 35°)tan 60°+tan 25°tan 35°=-tan 25°tan 35°+tan 25°tan 35°=;对于B,2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=;对于C,因为tan 45°=1,所以==tan 60°=;对于D,=×=tan 60°=.故选ABC. (2)因为sin=,所以sin x+sin=sin x+sin x-cos x=sin=1,故选A. 例3　[思路点拨] (1)先根据α,β的取值范围判断α+,β-的取值范围,利用同角三角函数公式求出cos,sin,再利用α-β=-π+求解.(2)根据同角三角函数基本关系求出cos,tan的值,再利用两角差的正切公式计算tan=tan即可求解. (1)A　(2)-7　[解析] (1)由题意可得α+∈,β-∈,所以cos=-,sin=-,所以sin(α-β)=-sin=-×+×=,故选A. (2)因为α∈,所以α+∈,因为sin=>0,所以α+∈,所以cos=-=-=-,所以tan===-,所以tan=tan===-7. 变式题　(1)B　(2)　-　[解析] (1)因为sin θ+sin=sin+sin=sincos-cossin+sincos+cossin =2sincos = sin=1,所以sin=. (2)因为0<α<,且tan α=,所以sin α=,cos α=.由0<α<<β<π,得0<β-α<π,又因为cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,所以cos β=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cos α-sin(β-α)sin α=×-×=-. “操千曲而后晓声 观千剑而后识器” 简单的事情重复做，你就是专家！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$