精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

高三数学期末试题 一、选择题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合、化简，再根据并集的运算求解即可. 【详解】∵集合，集合， ∴． 故选：D. 2. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案． 【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列， 所以，解得， 由，，解得,故选B． 【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力． 3. 已知关于的不等式的解集为,则的最大值是（　　） A B. C. D. － 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式的解转化为方程的根，利用韦达定理代入计算，利用基本不等式求最值. 【详解】关于的不等式的解集为, 则 关于的方程的两根为 ， ， 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值是. 故选：D. 4. 已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定三棱锥底面积和高的最大值，根据三棱锥的最大体积列式可求出该三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图： 设的外接圆半径为，由. 下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时，面积最大. 当边确定时，要使三角形面积最大，需要点到边距离最大，此时； 同理，当确定时，要使三角形面积最大，须有. 所以当为等边三角形时，的面积最大，此时. 所以的最大面积为：. 当三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，此时. 由. 所以三棱锥外接球的体积为：. 故选：D 【点睛】. 5. 已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合可得求出. 【详解】画出的图象． 所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（）， 可知m的取值范围为，由题意可知，， 所以，所以． 故选：A. 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 8. 定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ） A. B. 在取得极小值，极小值为 C. 只有一个零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值. 【详解】∵且，可得， 则有，故（c为常数）， 又，则，得，故，， ， 当，即，解得：，，此时单调递增， 当，即，解得，， 当，即解得：，，此时单调递减， 对于A，由于，单调递增，，单调递减， ∵，可得， ∵，，∵. 故，故A正确： ∴，取得极大值，，故B错误； 对于C，当，，，，，， 画出草图，如图： 根据图象可知：只有一个零点，故C正确； 对D，要在上恒成立 即：在上恒成立， ∵，可在上恒成立， 只需，令，， 当，；单调递增， 当时，；单调递减， ，； 则，即，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A项由单调性可得；B项举反例；C项利用基本不等式可证；D项构造函数利用单调性可判断. 【详解】A项，由单调递增，知，故选项A正确； B项，时选项B不正确； C项，由，则，当且仅当时等号成立， 因为，所以等号不成立，故选项C正确； D项，构造函数，， 所以单调递增， 又，得，故选项D不正确. 故选：AC 10. 设函数的最小正零点为，则（ ） A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接将定点代入判断A，利用三角函数的周期公式判断B，利用整体代入法求得的零点，进而求得，再利用等比数列的定义判断C，利用等比数列求和公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，令，得，所以， 整理得，即的零点为， 而是的最小正零点，则，， 显然，，， 所以是，的等比数列，故C正确； 对于D，的前10项和为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69．800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于32 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据即可求出抛物线的标准方程；B联立方程组求出点坐标，再根据对称性即可求出；C设直线与抛物线相切，直线与抛物线相切，联立方程组根据求出切点坐标，再根据数形结合即可求出；D根据对称性可求花瓣的一半，利用导函数求在点处的切线方程，其与轴的交点为，利用的面积来进行估计即可. 【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为， 即，故A错误； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象的对称性，可得、，故，即B正确； 对于C，设直线与抛物线相切， 联立，可得， 由可得，且方程即为， 解得，，此时，切点坐标为， 设直线与抛物线相切， 联立，可得， 由可得，此时方程即为， 解得，，此时，切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，故C对； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值， 如图： 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以，抛物线在点A处的切线方程为，即， 该切线交x轴于点， 所以半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题：“，”为真命题，则的取值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 13. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 14. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 【答案】20 【解析】 【分析】先求出展开式通项公式，再由通项公式中的系数为1即可求出的系数为1的项，进而得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为: ， 由得， 则展开式中的系数为. 故答案为：20. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中． （1）若函数在处的切线与轴平行，求的值； （2）求的极值点； 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出值. （2）按分类讨论导函数值正负情况，进而求得极值点. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由函数在处的切线与x轴平行，得，解得， 而，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 令，得或， 当，即时，由，得，由，得， 函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时，由，得，由，得， 函数在和上严格减，在上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 所以当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． 16. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式，二倍角公式及辅助角公式对进行化简，然后再根据正弦函数的单调区间列式求解； （2）先根据图象平移求出，再根据数形结合思想求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 所以的单调递减区间为，； 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位后，得到， 再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到， 函数，的图象与的图象有三个交点坐标分别为，，且， 则由已知结合图象的对称性，有，解得，∴. 17. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【解析】 【分析】在平面内找到一条直线与平行即可. 若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可. 【详解】（1）取中点，连接，， 在中，因为，分别是，中点， 所以，且， 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面， 取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面， 所以，， 在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，， 由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判断，以及线面垂直的证明，属于中档题. 18 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可； （2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， ①当时，上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 19. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）． （1）求椭圆的方程； （2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q． ①求证：直线OQ的斜率为定值； ②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，由，即，得的值，根据，得a的值，再根据椭圆过A点，解得b，写出方程即可； （2）①设平行AB的直线的方程为，且，联立，根据韦达定理求得与；从而可得直线OQ的斜率为定值． ②由题意可知，，，求出，．设，求出E、F的坐标，利用弦长公式分别求出AF、CE的值，将用，表示，化简消去，，即可得结论． 【详解】（1）由题意知，可设，可得， 即，所以，故，即， 又椭圆经过，即，解得， 所以椭圆方程为. （2）设平行于AB的直线方程为，且， ①联立，设，，得到， 所以，，故直线OQ的斜率为（定值）. ②由题意可知，，， 联立，得，， 设，直线斜率存在时，直线， 联立，得， 直线，联立， 得，则， ， 所以因为，所以，代入上式得： . 当斜率不存在时结果仍然成立，故​为定值． 【点睛】本题第（2）问的第②小问非常复杂，但主要是在运算量上面，做题时还是本着“设而不求”的原则，题目需要什么就应该事先求出什么，方法比较固定，可以总结一下这道题的思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期末试题 一、选择题（每题5分，共计40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知关于的不等式的解集为,则的最大值是（　　） A. B. C. D. － 4. 已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6. 已知数列为等差数列，，为函数两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ） A. B. 在取得极小值，极小值为 C. 只有一个零点 D. 若在上恒成立，则 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数最小正零点为，则（ ） A. 的图象过定点 B. 最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69．800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于32 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题：“，”为真命题，则的取值为________. 13. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 14. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中． （1）若函数在处的切线与轴平行，求的值； （2）求的极值点； 16. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 17. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 19. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）． （1）求椭圆方程； （2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q． ①求证：直线OQ斜率为定值； ②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $