精品解析：辽宁省铁岭市部分学校2024-2025学年九年级上学期期末监测数学试卷

2024—2025学年度上学期期末质量监测 九年数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是， 故选：B． 2. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 3. 将二次函数化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法把二次函数一般式变为顶点式解析式的方法，利用配方法把二次函数一般式变为顶点式即可，熟知完全平方公式各个部分之间的关系是解题的关键． 【详解】解：将二次函数化为， 故选：． 4. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如下图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角． 5. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 8. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 9. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 10. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点距O点水平距离为7米 B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D. 小球距斜坡的最大铅直高度为 【答案】C 【解析】 【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】解：联立两函数解析式，得 ，解得：或， 则小球落地点距O点水平距离为7米， 故A选项不符合题意； ∵， 则抛物线的对称轴为x=4， ∵<0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势， 故B选项不符合题意； 当y=7.5时，7.5=4x-x2， 整理得x2-8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意； 如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B， ∴B(x,)， ∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+， ∵<0， ∴当x=时，AB有最大值，最大值=， 即小球距斜坡的最大铅直高度为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 13. 某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求出 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案； 【详解】∵在中， ， ∴ 设 则故 则 故答案为： 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、勾股定理、三角形中位线定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．连接，并延长交与N，连接，由矩形的性质得出，，证明得出，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，连接，并延长交与N，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵H是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用提公因式法解方程即可； （2）根据零指数幂的运算化简，再代入特殊角的三角函数值，最后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 或， ，； （2） ． 17. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 【答案】（1）；（2）抽到两个素数之和等于30的概率是 【解析】 【分析】(1)四个数中，抽到7只有一种可能，根据概率公式直接计算即可得； (2)画树状图得到所有等可能的情况，然后再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可. 【详解】(1)总共有四个数，7是其中的一个数， 所以从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，抽到的数是7的概率是1÷4=， 故答案为； (2)画树状图如图所示： 共有12各等可能的结果，其中抽到两个数的和为30的有4种可能， ∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可． （2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，则， 四边形是菱形， ，则， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题． 19. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 20. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 【答案】16米 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则，求出x即可解决问题． 【详解】解：过C作CE⊥AB于E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2， 设AE＝x， ∴， 解得：x＝14， ∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米． 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … （1）由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】（1）； （2）售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． 【小问2详解】 解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 22. 定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 【答案】（1）②④；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的和性质，二元一次方程组的计算，理解完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象和性质是解题的关键． （1）把坐标代入函数解析式，判断点是否在函数图象上，再分别求出点到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判断，即可得到答案； （2）根据题意得出，得到，求出完美点坐标，即可求出的值； （3）根据完美点可得二次函数与一次函数有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）①当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， ， 依据完美点的定义可知，点不是完美点； ②当时，， 点在此函数图象上， 点到轴距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； ③当时，， 点不在函数图象上， 点不是完美点； ④当时，， 点在函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； 综上，是函数的完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ， 点为反比例函数第二象限图象上的完美点， ， 解得：， ，， 点的坐标为， ； （3）二次函数的图象上有且只有一个完美点， 二次函数与直线有且只有一个交点， ， 整理得， ，即， 把点代入得， 即， 联立方程组得， 解得 ． 23. 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点B落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点D重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点D，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）或 【解析】 【分析】由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可； 由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点G，由平移可知，，，即可判定，有，即可求得； 由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵，， ∴，， 在中，，即，解得， 则， 故答案为：4； （2）如图： 由（1）得：，， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即，， 连接，，并延长交于点G， 由平移可知，，， ，，， ∴ ∴ ∴， （3）解：由折叠得，由旋转得， 当点D，，三点共线时，设和交于点H，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 当点D，，三点共线时，过点作交延长线于点G，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 故的长或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期期末质量监测 九年数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 3. 将二次函数化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ） A B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 8. 如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C D. 10. 如图，将一个小球从斜坡点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点距O点水平距离为7米 B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D. 小球距斜坡的最大铅直高度为 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，且，则________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 13. 某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 14. 如图，在中，，若，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程： （2）计算： 17. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 18. 如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 19. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 20. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 21. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … （1）由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 22. 定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 23 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点B落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点D重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点D，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$