精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期末联考 高一数学 命审题单位：武汉三中数学学科组审题单位：圆创教育研究中心·武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2025年1月15日下午14：00-16：00 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是第四象限角，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上为减函数的充要条件为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 不周期函数 B. 在上是单调递增函数 C. 在内有两个零点 D. 为奇函数 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 13. 若幂函数为偶函数，则不等式的解集为_____. 14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 16 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对恒成立，求. 17. 海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动同学人数（人） 18 24 33 （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且； （2）已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）. 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期末联考 高一数学 命审题单位：武汉三中数学学科组审题单位：圆创教育研究中心·武汉市第一中学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2025年1月15日下午14：00-16：00 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是第四象限角，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求解. 【详解】由于是第四象限角，故， 故第三象限， 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数定义域的求解，二次根式与对数函数的性质，掌握函数有意义的条件是解题的关键． 要使函数有意义，需满足根号内非负，对数真数大于0，分母不为0，列不等式组求解． 【详解】解：要使函数有意义，需满足： 解得： ∴． ∴函数的定义域为． 故选：B． 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故AC错误； 又因为当时，则，可知， 此时的符号性与的符号性一致，故D错误； 故选：B. 5. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 6. 函数在上为减函数的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】我们先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性求出的取值范围. 【详解】要使函数有意义，则. 令，其对称轴为. 因为函数的二次项系数，所以其图象开口向上. 当时，函数在上单调递减. 因为函数在上为减函数， 根据复合函数单调性可知，函数在上也要为减函数且. 由，解得. 结合，所以. 故选：C 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于函数为偶函数，表明函数的图象关于直线对称. 对于函数为奇函数，表明函数的图象关于点对称. 然后利用函数的对称性和奇偶性的性质来分析选项中的函数值是否为. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即， 所以，. 又因为为奇函数，所以，且， 所以即的图象关于点对称，. 所以，无法确定， 故A正确，BCD无法判断. 故选：A. 8. 设，，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【详解】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和差公式、诱导公式以及特殊角的三角函数值来化简式子并判断对错. 详解】对于A选项，首先根据诱导公式. ， 所以A选项错误. 对于B选项，， 所以B选项错误. 对于C选项，因为，则. 根据二倍角公式，则，所以C选项正确. 对于D选项，根据两角和的正切公式，则. 所以D选项正确. 故选：CD. 10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 在上是单调递增函数 C. 在内有两个零点 D. 为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：令可得，即可得结果；对于D：可证，结合奇函数的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以是周期函数，故A错误； 对于选项B：因为在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以在内单调递增，故B正确； 对于选项C：令，则，可得，即， 因为 ，可得或， 所以在内有两个零点，故C正确； 对于选项D：因为， 可得，所以为奇函数，故D正确； 故选：BCD 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D. 【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则， 可得， 所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以具有性质，故B正确； 对于选项C：因为， 且函数的值域为， 所以不存在实数，使得，故C错误； 对于选项D：因为 ， 因为，，，则，则， 可得，即，则， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以可得 ， 所以， 又因为是第二象限角，则，可得 所以. 故答案为：. 13. 若幂函数为偶函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意化简的解析式，注意到的零点为，讨论在内的零点个数，结合二次函数零点分析运算求解. 【详解】由题意可知：， 注意到的零点为，且的对称轴为, 时，有3个零点，不符合题意； 1.若，可知在内无零点， ①当时，则，解得； ②当时，可知在内单调递增，则，符合题意； 综上所述：； 2.若，可知在内有且仅有1个零点， 因为在内单调递减，在内单调递增， 则或，解得或； 所以； 3.若，可知在内有2个零点， 因为在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 1.利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2.分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解； 3.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可. 【小问1详解】 由题意可知 . 【小问2详解】 由（1）可知，则，即， 可得， 且，可得， 所以. 16. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对恒成立，求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合正弦函数性质分析求解； （2）分析可知分别为的最小值和最大值，可得，代入运算即可. 【小问1详解】 令，即，可得， 所以不等式解集为. 【小问2详解】 因为对恒成立， 可知分别为的最小值和最大值， 则，可得， 所以. 17. 海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动同学人数（人） 18 24 33 （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且； （2）已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）. 【答案】（1）， （2）8周后，全校将有超过一半的学生参与其中 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型； （2）根据（1）中结论可得不等式,结合题中数据分析求解即可. 【小问1详解】 从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 令， 整理得， 且，则， 所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中. 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 【答案】（1）为偶函数， （2）的值域为， （3）时或，时所求的正整数值不存在. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定， （2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解， （3）根据，，为三边长的三角形，将问题转化为恒成立，即可由，分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】 ，定义域为, 且，故为偶函数， 【小问2详解】 当时，， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 因此的值域为， 【小问3详解】 若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形， 故恒成立，且取值为正， 即， 由于时，故在单调递增， 因此当时，在单调递增，当时，在单调递减， 故当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增， 且当时，， 当时，， 由于为正整数，故或. 当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增，且当时，，当 时，，故此时不存在正整数， 综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数. 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 【答案】（1），；，； （2）； （3）为上的“4阶收缩函数”. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合的单调性分析求解即可； （2）分析可知在内单调递增，，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意求的解析式，分、和三种情况，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为在内单调递增， 所以，；，. 【小问2详解】 因为与恰好为同一函数， 可知在内单调递增， 令，可设， 因为的图象开口向下，对称轴为， 若，则在内单调递减，且， 可知在内单调递减，则，解得，不合题意； 若，则在内单调递增，且， 可知在内单调递增，则，解得； 综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 因为在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：，， 可得， （i）当时，则，可得， ①若，则，符合题意，可知； ②若，则， 且在内的值域为，可得； 综上所述：； （ⅱ）若，则，即， 且在内的值域为，可得； （ⅲ）若，则，可得， 可知对任意恒成立， 令，则在内单调递增， 可知，可得； 综上所述：， 且为最小正整数，可得，所以为上的“4阶收缩函数”. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $