精品解析：江西省南昌市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末测试卷 九年级（初三）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. 下列成语所反映的事件中，是必然事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 百发百中 C. 守株待兔 D. 种豆得豆 2. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若外一点与的距离为．则该的半径可能为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于原点对称，它们的顶点分别是，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 8. 若的内接三角形三边分别为6，8，10，则的半径为________． 9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则________． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上，则______． 11. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________． 12. 如图，是的直径，点是半圆的中点，是上任意一点，已知，若为等腰三角形，则点到弦的距离为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线的顶点坐标及对称轴． 14. 如图，将线段绕着它的一端顺时针旋转得到线段，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求点运动的路径长． 15. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直向上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为． （1）根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ （2）当物体离开地面最高时，求的值． 16. “践行垃圾分类，共筑绿色家园．”某校开展垃圾分类知识竞赛活动，竞赛成绩满分的有4名同学，其中3名女生，1名男生．现从这4名同学中随机抽取2人参加区级竞赛． （1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是________事件； （2）请用画树状图法或列表法，求抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 17. 如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中作的切线（切点不与重合）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，的直径弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，求弦所对圆周角的度数． 19. 【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 20. 如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线． （1）求的值及，两点的坐标； （2）已知点在直线上运动． ①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？ ②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 【课本再现】 （1）如图1，是的中位线，求证：，． 证明：延长至点．使，连接 …… 请你把证明过程补充完整． 【类比迁移】 （2）如图2、是的中位线，是平面内任意一点，将点分别绕着点，旋转得到点和，连接，猜想和的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，分别是边，的中点，点在内部、将点分别绕着点，旋转得到点和，顺次连接，，，得到四边形，试求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末测试卷 九年级（初三）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. 下列成语所反映的事件中，是必然事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 百发百中 C. 守株待兔 D. 种豆得豆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件，随机事件的概念是解题的管家 ． 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； B、百发百中，是随机事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，不符合题意； D、种豆得豆，是必然事件，符合题意； 故选：D ． 2. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 4. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，掌握其定义，数形结合，找到对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：在平面内，如果一个图形绕着某个点旋转后，旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形被称为中心对称图形，这个点被称为对称中心；由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，没有对称中心，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 5. 若外一点与的距离为．则该的半径可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径． 根据点在圆外时，设的半径为，则． 【详解】解：设的半径为， 点在圆外， ， 故选B． 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于原点对称，它们的顶点分别是，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与几何变换解答即可． 【详解】解：由抛物线解析式可知顶点M坐标为， ∵抛物线与关于原点O对称， ∴M、N关于原点对称， ∵， ∴， ∵， ∴由两点间的距离公式，得， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率、一元一次方程的解法．首先根据随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，可知白球占总数的，所以小球的总数可以表示为，也可以表示为，从而得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：随机摸出一个小球，摸出白球的概率为， 白球占总数的， 根据题意可得：， 解方程得：， 的值为． 故答案为： ． 8. 若的内接三角形三边分别为6，8，10，则的半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了度的圆周角所对的弦为直径，勾股定理逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据三角形三边分别为6，8，10，得出三角形为直角三角形，根据度的圆周角所对的弦为直径，得出的直径，即可得出答案． 【详解】解：∵三角形三边分别为6，8，10， 又∵， ∴该三角形为直角三角形， ∵的内接三角形三边分别为6，8，10， 又∵度的圆周角所对的弦为直径， ∴的直径为10， ∴的半径为5． 故答案为：5． 9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，先求出方程的根，根据方程的根相等即可得出答案，或先将方程整理为一般形式，再根据判别式的值为0，构建方程求解． 【详解】解：方法1：∵， ∴或， ∴，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 方法2：∵， ∴， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∴，由三角形内角和定理可得，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角新内角和定理的运用，掌握旋转的性质，等边对等角的性质是解题的关键． 11. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意，连接，由圆周角定理的可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴， ∴， ∴正多边形的边数为，即这个正多边形的边数为， 故答案为： ． 12. 如图，是的直径，点是半圆的中点，是上任意一点，已知，若为等腰三角形，则点到弦的距离为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形：当时，当时，当，分别求解可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点H．连接． ∵点C是半圆的中点， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上时，同法可得． 综上所述，当时，点D到的距离为或． 当时，， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线的顶点坐标及对称轴． 【答案】（1），；（2）顶点坐标为，直线 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的性质，熟知一元二次方程解法和二次函数的顶点式的概念是解题的关键； （1）先移项，在开方，即可求解； （2）根据抛物线的顶点式，即可求解． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解：在抛物线中，，， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为：直线． 14. 如图，将线段绕着它的一端顺时针旋转得到线段，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求点运动的路径长． 【答案】（1）是等边三角形， 理由如下， 根据旋转的性质可知 ， 是等腰三角形， 又， 是等边三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转、等边三角形的判定、扇形的弧长公式． 根旋转的性质可知是等腰三角形，据根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证是等边三角形； 根据扇形的弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示， 点运动的路径是以点为圆心，为半径的弧，且所对的圆心角为， 点运动的路径长为：． 15. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直向上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为． （1）根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ （2）当物体离开地面最高时，求的值． 【答案】（1）秒 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际运用，根据函数的性质求最值是解题的关键． （1）根据物体回落到地面，即，求解即可； （2）根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：根据物体落回地面，可得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：物体经过秒落回地面； 【小问2详解】 ， ∵， ∴当秒时，s最大， ∴当秒时，物体离开地面最高， 答：当物体离开地面最高时，x的值为． 16. “践行垃圾分类，共筑绿色家园．”某校开展垃圾分类知识竞赛活动，竞赛成绩满分的有4名同学，其中3名女生，1名男生．现从这4名同学中随机抽取2人参加区级竞赛． （1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是________事件； （2）请用画树状图法或列表法，求抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，用列表或树状图求概率，熟解题的关键是理解事件的类型和使用列表法或树状图计算概率． （1）根据确定性事件的概念求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵竞赛成绩满分的有4名同学，只有1名男生． ∴无法抽取2名同学都是男生， ∴ 抽取的2名同学，都是男生是不可能事件； 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：男同学用1表示，女同学用2、3、4表示，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 有表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2名同学，七号是一男一女的有6种结果， ∴抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 17. 如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中作的切线（切点不与重合）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，设与交于点，连接，根据等边对等角，平行线的性质即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证，得到，由切线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，设与交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴即为所求作作图； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴，且是半径，点是半径外端点， ∴是的切线，即是所求作图形． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的定义，平行线的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，的直径弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，求弦所对圆周角的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵直径弦， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得：，从而可得，然后根据圆周角定理可得：，从而利用等量代换可得：，即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得：，最后当点F在上时，再利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵直径弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点F在上时，如图： ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴． 综上所述，弦所对圆周角的度数为或． 19. 【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估算概率，考查了正方形的性质，正多边形与圆，利用频率估计概率，正确的理解题意是解题的关键． （1）设内切圆的半径为r，根据圆的面积公式和正方形的面积公式即可得出结论； （2）根据概率公式即可得出结论； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据题意提出建议结论即可； 【详解】（1）设内切圆的半径为r，则； （2）， 故答案为： （3） 故答案为：3 （4）建议：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数， 故答案为：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 20. 如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线． （1）求的值及，两点的坐标； （2）已知点在直线上运动． ①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？ ②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①当时，与，距离之和最短，最短为； ②抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标 【解析】 【分析】（1）根据对称轴直线可得，由此得到二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点的计算可得的坐标； （2）①如图所示，连接交对称轴直线于点，则有的最小值即为的值，运用勾股定理可得，运用待定系数法可得直线的解析式，当时可得点的坐标，由此即可求解；②设，根据平行四边形的性质，运用对角线中点坐标，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 令，则， ∴， 令，则，即， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接交对称轴直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的最小值即为的值， 由（1）可得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时， ∴当时，与，距离之和最短，最短为； ②存在，理由如下， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， 设， 第一种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴对角线的中点的横坐标为， ∴对角线的中点的横坐标为， 解得，， 则， ∴； 第二种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 此时点与点重合，不符合题意； 第三种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 则， ∴； 综上所述，抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数对称轴直线的计算方法，二次含与坐标轴交点的计算方法，轴对称最短路径的计算，二次函数与平行四边形的综合，中点坐标的计算方法是解题的关键． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 【课本再现】 （1）如图1，是的中位线，求证：，． 证明：延长至点．使，连接 …… 请你把证明过程补充完整． 【类比迁移】 （2）如图2、是的中位线，是平面内任意一点，将点分别绕着点，旋转得到点和，连接，猜想和的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，分别是边，的中点，点在内部、将点分别绕着点，旋转得到点和，顺次连接，，，得到四边形，试求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：延长至点F，使，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）猜想：（或与在同一直线上），．理由如下： ①当点F不在过点B且与平行的直线上时， 如图，连接， ∵点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴三点共线． ∴． ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当点F在过点B且与平行的直线上时，如图， 连接并延长交直线于，连接并延长交直线于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴可以看作是点F绕着点D旋转而得到， 又点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴与G重合， ∴， 同理，与H重合，， ∴和在同一直线上，， ∴，即， 综上所述，（或与在同一直线上），； （3）6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全都是三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理的运用． （1）证明，得，然后证明四边形为平行四边形，即可解决问题； （2）分当点F不在过点B且与平行的直线上和点F在过点B且与平行的直线上两种情况讨论求解即可； （3）连接，由（2）的思路结合平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，连接， 由（2）可知，，， 又， ∴， ∴四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $