精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

丹东市2024—2025学年度（上）期末教学质量监测 八年级数学 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 客观题 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 在实数，，，中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. 如图，将一张剪纸放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则n的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 0 5. 如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 7. 下列命题是真命题的有（ ） ①等边三角形3个内角都为；②若实数a，b满足，则； ③全等三角形对应边上的高相等；④内错角相等，两直线平行． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 第二部分 主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 10. 4的平方根是_______． 11. 为提高师生安全意识，学校举办了以“守护青春，校园安全伴我行”为主题的演讲比赛．某同学本次比赛演讲稿、表达、形象得分分别为80分，90分，85分．若依次按照40%，40%，20%计算选手综合成绩，则该同学的综合成绩为_________分． 12. 二元一次方程的正整数解有_____． 13. 如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为_________． 三、（第16题10分，第17题5分，共15分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组：． 四、（每小题8分，共16分） 16. 科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，又可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数之和为1200克．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 17. 小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）小明的平均速度是_________千米/小时； （2）求线段的函数表达式； （3）当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 五、（每小题8分，共16分） 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，小明和小颖将他们在近八场比赛中的成绩整理和统计如下表： 得分 队员 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场 第八场 甲 7 3 8 7 9 7 乙 7 7 7 8 7 9 7 9 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率（8分以上） 甲 a 7 乙 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题． （1）填空：_________，_________，_________； （2）小明认为甲乙两人成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小颖说明理由（写出两条即可）． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上作点D，使得的值最小，并求出点D的坐标． 六、（本题满分11分） 20. 【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 【方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 七、（本题满分12分） 21. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点位置不同，将点B绕着点A顺时针旋转后得到点C，称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转后得到点D，称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”． 【问题初探】（1）如图2，已知点O坐标为，点E坐标，求出点E关于点O的“垂链点”坐标．小明提出连接，作，使，点F为点E关于点O的逆时针“垂链点”，作轴于点G，作轴于点H，可以证明，则，，则点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为_________，请你求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标为_________； 【方法迁移】（2）如图3，已知直线与x轴，y轴分别交于J，K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标． 【拓展应用】（3）如图4，已知直线与x轴，y轴分别交R，Q两点，点P在第二象限内，P点坐标为，若点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，直接写出点Q关于点P的“垂链点”的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2024—2025学年度（上）期末教学质量监测 八年级数学 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 客观题 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 在实数，，，中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键．根据无理数的定义解答即可，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个） 【详解】有理数有：，，； 无理数有： 故选：D 2. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数上点的坐标特征和性质．是的一次函数，且，随的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：∵是的一次函数，且， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：B． 3. 如图，将一张剪纸放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则n的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．利用轴对称的性质，求出n即可． 【详解】解：∵图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为， ∴， 故选：C． 4. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是 故选：B 5. 如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 【详解】依题意： 又 故选：B 6. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 7. 下列命题是真命题的有（ ） ①等边三角形3个内角都为；②若实数a，b满足，则； ③全等三角形对应边上的高相等；④内错角相等，两直线平行． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断．根据全等三角形的性质，平行线的判定以及勾股定理逆定理逐项判断即可作答． 【详解】解：①等边三角形3个内角都为，本项是真命题； ②若实数a，b满足，则，本项是真命题； ③全等三角形对应边上的高相等，本项是真命题； ④内错角相等，两直线平行，本项是真命题． 综上，①②③④都是真命题； 故选：A． 8. 如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质以及一次函数平移的特点是关键．先根据定义得出函数解析式为，再根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此y随x的增大而减小，故C选项结论错误； 当时，，当时，，即当时，，故D选项结论正确． 故选：D． 第二部分 主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 10. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 11. 为提高师生安全意识，学校举办了以“守护青春，校园安全伴我行”为主题的演讲比赛．某同学本次比赛演讲稿、表达、形象得分分别为80分，90分，85分．若依次按照40%，40%，20%计算选手综合成绩，则该同学的综合成绩为_________分． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的运用，根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】（分） 故答案为： 12. 二元一次方程的正整数解有_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先求出的范围，再求出答案即可，能求出的范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得：， ∴， ∴的正整数解为， 代入， ∴二元一次方程的正整数解为， 故答案为：． 13. 如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，过点E作于点F，于点G，根据长方形性质得出，，，根据勾股定理求出，等积法求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点E作于点F，于点G，如图所示： ∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、（第16题10分，第17题5分，共15分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，二次根式性质，二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据分母有理化法则，二次根式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由②得③ 把③代入①得 ， 解得， 把代入③中，得 ， ∴方程组的解为． 四、（每小题8分，共16分） 16. 科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，又可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数之和为1200克．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】黄金240克，白银1000克 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，再求解即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克与白银y克，根据题意得， ， 解得 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克与白银1000克． 17. 小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）小明的平均速度是_________千米/小时； （2）求线段的函数表达式； （3）当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 【答案】（1）9.6 （2） （3）8千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据小明的总路程为24千米，总时间为2.5小时，进而可得出平均速度； （2）设直线解析式为，把和分别代入得出，令，解得：，得出点C的坐标为，设直线解析式为，把和分别代入求解即可得出答案； （3）把和联立得，求解进而可得出答案． 【小问1详解】 解：小明的平均速度是千米/小时， 故答案为：9.6； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， 所以， 令，， 解得：， 所以点C的坐标为， 设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， ； 【小问3详解】 把和联立得 ， 解得：， ， 答：当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有8千米． 五、（每小题8分，共16分） 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，小明和小颖将他们在近八场比赛中的成绩整理和统计如下表： 得分 队员 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场 第八场 甲 7 3 8 7 9 7 乙 7 7 7 8 7 9 7 9 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率（8分以上） 甲 a 7 乙 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题． （1）填空：_________，_________，_________； （2）小明认为甲乙两人成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小颖说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1），7， （2）①乙的方差比甲的方差小，所以乙发挥比较稳定． ②从中位数来看甲的成绩要高于乙． ③从优秀率来看甲的成绩要高于乙．（写出两条即可）． 【解析】 【分析】本题考查数据的分析，熟练掌握中位数、众数、优秀率、方差的概念是解题的关键， （1）根据中中位数、众数、优秀率的计算方法计算即可得到答案； （2）分别从中位数、方差、优秀率等方面进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲队员的得分从小到大排列为：3、7、7、7、8、9、10、10， ∴中位数， 乙队员的的得分从小到到大排列为：7、7、7、7、7、8、9、9， ∴众数，优秀率（8分以上）， 故答案为：，7，． 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上作点D，使得的值最小，并求出点D的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换，准确分析计算是解题的关键． （1）根据题意和图形，可以画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得最小时点D所在的位置，然后利用勾股定理求出的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，点D即为所求， 点关于y轴的对称点为， 设直线解析式为，把和分别代入得 解得 令，则， 所以点 六、（本题满分11分） 20. 【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 【方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，； （2）； （3）， 理由：延长至点，使，连接，， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了中线的性质与判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理的运用，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用求出，即可求出，再利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出的取值范围，进而求出的取值范围； （2）延长至点F，使，连接，利用求出，得到，，三点共线，进而求出的长； （3）理由：延长至点，使，连接，，利用求出，再利用勾股定理求出，进而得到垂直平分，即可得出． 【详解】解：延长到点E，使，连接，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， ； （2）解：延长至点F，使，连接， ， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， 垂直平分， ； （3） 略 七、（本题满分12分） 21. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点位置不同，将点B绕着点A顺时针旋转后得到点C，称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转后得到点D，称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”． 【问题初探】（1）如图2，已知点O坐标为，点E坐标，求出点E关于点O的“垂链点”坐标．小明提出连接，作，使，点F为点E关于点O的逆时针“垂链点”，作轴于点G，作轴于点H，可以证明，则，，则点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为_________，请你求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标为_________； 【方法迁移】（2）如图3，已知直线与x轴，y轴分别交于J，K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标． 【拓展应用】（3）如图4，已知直线与x轴，y轴分别交R，Q两点，点P在第二象限内，P点坐标为，若点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，直接写出点Q关于点P的“垂链点”的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）证明，则，，根据坐标与图形性质可得点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标；同理可求出求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标； （2）画出图形，同（1）求解即可； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，画出图形求解即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，， ∵， ∴． ∵作轴于点G，作轴于点H， ∴， ∴， ∴，， ∴点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为； 当点E关于点O顺时针旋转时，如图， 同理可求：，， ∴点E关于点O的顺时针“垂链点”F坐标为． 故答案为：；； （2）如图， 当时，， ∴． 当时，， ∴． 同（1）可证，， ∴，， ∴， ∴点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为； （3）当时，， ∴． 当时，， ∴． 当顺时针旋转时，如图，点P坐标为所在的竖直直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为， ∴． 同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上， ∴ ∴， ∴； 当逆时针旋转时，如图，点P坐标为所在的直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为， ∴． 同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上， ∴ ∴， ∴； 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $