2025年九年级中考数学一轮复习专题：图形的折叠问题

九年级中考数学复习专题：图形的折叠问题 2025.1.12 【知识点梳理】 解图形运动中的翻折类题目必须抓住翻折运动的特征：对称轴是哪一条，翻折后的图形与原来的图形全等，翻折后的对应点的连线段被对称轴垂直平分，图形全等包括对应边相等，对应角相等，除了翻折的性质外还要灵活结合题干中的条件进行求解，熟练掌握了这些解题技巧方能在解题时做到游刃有余。 注意：点与点重合产生垂直平分线，边与边重合产生角平分线。 【小题精练】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A′恰好落在∠BCD的平分线上时，CA′的长为（　　） A．3或4 B．4或3 C．3或4 D．3或4 2．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　） A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3） 3．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（　　） A． B． C． D．3 5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是　 　． 6． 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是　 　． 7．图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2cm． 将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处． （1）①当PC∥QB时，OQ＝　 　cm； ②在OB上找一点Q，使PC⊥QB（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长． 【例题点拨】： 例1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，BC＝k•AC（k是大于0的常数），点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得到△CDB′，直线CB′与直线AB相交于E点． （1）若k＝1， ①如图2，CB′⊥AB，求B′E的长度； ②点B′落在边AC的垂线平分线上，求∠CDB′的度数； （2）若k＝，△EDB′为钝角三角形，直接写出BD长度的取值范围． 例2.【问题背景】 如图1，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得劣弧AB恰好过圆心O，圆心O关于直线AB的对称点为O′． 【探究发现】 （1）如图1，连接AO、BO，并延长AO交⊙O于D，连接BD．直接写出∠AOB的度数为 　 　，BO与BD的数量关系为 　 　； 【深入探究】 （2）如图2，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，弧AB不经过圆心O，在劣弧AB上取一点C（不与A、B重合），连接AC并延长交⊙O于点D，连接BC、BD．猜想BC与BD的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）条件下，若BC平分∠ABD，BD＝15，CD＝10，求AB的长． 例3．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）． 例4．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1 ）． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN （如图2）． 猜想论证： （1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论． 拓展探究： （2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？ （3）（如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （4）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】 （5）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 　cm． 例题5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠． （1）如图1当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长． 例题6．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【课后巩固】 1．同学们，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 2．如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t＜6），那么： （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式； （2）当△POQ的面积为4.5cm2时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由． 4．图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2cm．将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处． （1）①当PC∥QB时，OQ＝　 　cm； ②在OB上找一点Q，使PC⊥QB（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长． 九年级中考数学复习专题：图形的折叠问题 参考答案： 【小题精练】 1．【解答】解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M． ∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上， ∴设CM＝A′M＝x，则BM＝7﹣x， 又由折叠的性质知AB＝A′B＝5， ∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M2＝A′B2﹣BM2＝25﹣（7﹣x）2， ∴25﹣（7﹣x）2＝x2， ∴x＝3或x＝4， ∵在等腰Rt△A′CM中，CA′A′M， ∴CA′＝3或4． 故选：D． 2．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝BC＝2， ∴C（3，3）， 一次变换后，点C1 的坐标为（2，﹣3）， 二次变换后，点C2的坐标为（1，3）， 三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3）， …， ∵2019次变换后的正方形在x轴下方， ∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016． ∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．故选：C． 3．【解答】解：如图1， 当BB′＝B′C时，△BCB'是等腰三角形， 如图2，当BC＝BB′时，△BCB'是等腰三角形， 如图3，当BC＝CB′时，△BCB'是等腰三角形， ∵AB＝AB′，BC＝CB′AC＝AC， ∴△ABC≌△AB′C（SSS）＜ ∴∠BAC＝∠B′AC， ∴AB与AB′重合， ∴BC与CB′重合，故不符合题意， 故若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2， 故选：C． 4．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°． 由勾股定理得：AC． ∵AB＝3，AE＝2， ∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h． ∵S△ACGAC•h． ∴当h最小时，S△ACG最小. ∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点， ∴当EG⊥AC时，GH＝h最小，此时E、G、H三点共线，如图所示． ∵sin∠BAC． ∴EH＝2． ∴h＝EH﹣EG1． ∴S△ACG． 故选：A． 5．【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4， 则B′E＝4，即B′E＝AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O＝C′O＝3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为（0，3）． 6．【解答】解：如图： ①当F、D重合时，BP的值最小； 根据折叠的性质知：AF＝PF＝6； 在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝2； ∴BP＝xmin＝6﹣2； ②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4； 故答案为：6﹣2BP≤4． 7．【解答】解：（1）①当PC∥QB时，∠O＝∠CPA， 由折叠的性质得：∠C＝∠O，OP＝CP， ∴∠CPA＝∠C， ∴OP∥QC， ∴四边形OPCQ是平行四边形， ∴四边形OPCQ是菱形， ∴OQ＝OP＝2cm； 故答案为：2cm； ②如图所示： （2）当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ． 因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形． 如图1、2、3三种情况： 当PQ＝PO时，OQOP＝2cm， 当QO＝QP时，OQOPcm， 当OQ＝OP时，OQ＝OP＝2cm． 当点C在∠AOB的外部时， 当点C在射线OB的上方时（如图4），OQ（cm） 当点C在射线OA的下方时（如图5），OQ（cm）． 综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为2cm或cm或2cm，或（）cm或（）cm． 【例题讲解】 1．【解答】解：（1）①∵k＝1， ∴AC＝BC， 又∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠B'＝45°， ∵B'C⊥AB，∠B'ED＝90°， ∴∠B'DE＝45°， ∵BC＝B'C＝6， ∵CB'⊥AB， ∴CE， ∴B'E＝6； ②如图1，当点B'在AC的右侧时： ∴B'C＝BC＝2MC，∠B'MC＝90°， ∴∠MB'C＝∠B'CB＝30°， ∴∠DCB＝∠DCB'＝15°， ∴∠CDB'＝∠BDC＝180°﹣15°﹣45°＝120°； 如图2，当点B'在AC的左侧时： 同理可得：∠CB'M＝30°， ∴∠B'CM＝60°， ∴∠B'CB＝60°+90°＝150°， ∴∠B'CD＝∠BCD＝75°，∠CB'D＝∠CBD＝45°， ∴∠B'DC＝60°； 综上所述，∠CDB′的度数为60°或120°； （2）∵k，∠ACB＝90°，BC＝6， ∴AC＝2，AB＝4，∠B＝30°，∠A＝60°， 如图3，当∠B'DE＝90°时，△EDB′是直角三角形， ∴∠BDB'＝90°， ∴∠CDB'+∠CDB＝360°﹣90°＝270°， 由折叠可得：∠CDB'＝∠CDB＝135°， ∴∠CDA＝45°， 过点C作CF⊥AB于F， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∵BC＝6， ∴CF＝DF＝3，BF， ∴BD， 如图4，当CB'⊥AB时，△EDB′是直角三角形， ∴CEBC＝3，∠ECD＝∠BCD＝30°， ∴DE，BD＝CD， 当BD＜2时，△EDB′为锐角三角形， 当BD时，△EDB′不存在； 如图5，当CB'∥AB时，不存在点E，即不存在钝角△EDB′， ∴∠ACB'＝∠CAB＝60°， ∴∠BCB'＝60°+90°＝150°， ∴∠B'CD＝∠BCD＝75°， 又∵∠B＝30°， ∴∠BDC＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴BD＝BC＝6， 当点D运动到点A时，BD的长为． ∴△EDB′为钝角三角形时，BD长度的取值范围为0＜BD或2BD或BD＜6或6＜BD≤4． 例题2．【解答】解：（1）如图，连接OO'、O'A、O'B， ∵将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得劣弧AB恰好过圆心O，圆心O关于直线AB的对称点为O′． ∴O'A＝O'B＝O'O＝OA＝OB： ∴△AOO′与△BOO′都是等边三角形， ∴∠AOO′＝∠BOO′＝60°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO'＝120°， 由折叠的性质可知， ∠AOB＝∠AO'B＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形AO'BD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠AO′B＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠AO′B＝60°， ∴∠D＝∠BOD， ∴BO＝BD； 故答案为：120°；BO＝BD， （2）BC＝BD，理由如下： 设折叠前点C的对应点C'，连接AC'、BC'，如图： ′ 由折叠可知，∠ACB＝∠AC′B， ∵四边形AC′BD是⊙O的圆内接四边形， ∴∠D+∠AC′B＝180°， ∵∠BCD+∠ACB＝180° ∴∠D＝∠BCD， ∴BC＝BD； （3）在（2）的条件下，BD＝15，CD＝10，则BC＝BD＝15． 延长BC交⊙O于点E，连接DE，过点B作BF⊥CD于点F，如图， 则CF＝DFCD＝5． 在Rt△BCF中，由勾股定理得，BF2＝BC2﹣CF2＝152﹣52＝200， ∵∠E＝∠A，∠CDE＝∠CBA， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∵BC平分∠ABD， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴， ∴AC＝DE， 设AC＝2k，则AB＝3k， ∴AF＝AC+CF＝2k+5， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF2+AF2＝AB2， 即200+（2k+5）2＝（3k）2， 解得k＝9或﹣5（不合题意，舍去）， ∴AB＝3k＝27． 即AB的长为27． 例题3．【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB， ∴△CED∽△BAD，∴， ∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD， ∴CE＝CA，∴． （2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知，， 又∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， ∴BC， ∴BD+CD， ∴3CD， ∴CD； ∴DE； ②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α， ∴tan∠C＝tanα， 由（1）可知，， ∴tanα， ∴BD＝CD•tanα， 又∵BC＝BD+CD＝m， ∴CD•tanα+CD＝m， ∴CD， ∴DE． 例题4．【解答】解：（1）设BM交EF与点H，连接AH，如图： 由折叠可知AE＝BE，∠3＝∠2，AH＝BH，AH＝HN，∠MNB＝∠BAM＝90°， ∴HB＝HN， ∴∠5＝∠6， ∵∠1+∠5＝90°，∠2+∠6＝90°， ∴∠1＝∠2， 又∵AD∥EF， ∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠3＝∠4， ∵∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2＝60°， ∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBC＝∠BNE＝30°， 故答案为：∠ABM，∠NBM，∠NBC． （2）△BMP是等边三角形，证明如下： 连接AN，如图： 由折叠可知：AB＝BN，EF垂直平分AB． ∴AN＝BN， ∴AN＝AB＝BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠PBN＝30°， ∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠BAM＝90°， ∴∠BMP＝60°， ∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°， ∴△BMP是等边三角形． （3）当或时，在矩形纸片上能剪出等边△BMP． 要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP， 在Rt△BNP中，BN＝BA＝a，∠PBN＝30°， ∴， ∵BC≥BP， ∴，即， 当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边△BMP． （4）解：如图7所示： △CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1， ∴∠AEF+∠CED＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD， ∴∠DCE+∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴＝， 设AE＝x，则AD＝CD＝4x， ∴DE＝AD﹣AE＝3x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42， 解得：x＝， ∴AD＝4×＝．故答案为：． 例题6．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB＝∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图1，∵PE＝BE， ∴∠EBP＝∠EPB． 又∵∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP． 即∠PBC＝∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC． ∴∠APB＝∠BPH． （2）△PHD的周长不变为定值8． 证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q． 由（1）知∠APB＝∠BPH， 在△ABP和△QBP中， ∴△ABP≌△QBP（AAS）． ∴AP＝QP，AB＝BQ． 又∵AB＝BC， ∴BC＝BQ． 又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH， ∴△BCH≌△BQH． ∴CH＝QH． ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8． （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB． 又∵EF为折痕， ∴EF⊥BP． ∴∠EFM+∠MEF＝∠ABP+∠BEF＝90°， ∴∠EFM＝∠ABP． 又∵∠A＝∠EMF＝90°， ∴△EFM≌△PBA（ASA）． ∴EM＝AP＝x． ∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2． 解得，． ∴． 又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等， ∴． 即：． 配方得，， ∴当x＝2时，S有最小值6． 【课后巩固】 1．亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 【解答】解：作不同折法的菱形的示意图如下（作出两种即可）： 图1的菱形面积为24；图2的菱形面积为36；图3的菱形面积为37.5． 2．如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由． 【解答】解：点E是AD的中点，理由是： 由题意得：BE⊥AC， ∴∠BOA＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD， ∴∠BAO+∠CAD＝90°， ∴∠ABE＝∠CAD， ∴△BAE∽△ADC， ∴＝， ∵＝， ∴设AB＝a，则AD＝a， ∴＝， ∴AE＝a， ∴AE＝AD， ∴点E是AD的中点． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12cm，OB＝6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t＜6），那么： （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式； （2）当△POQ的面积为4.5cm2时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由． 【解答】解：（1）∵OA＝12，OB＝6，由题意，得BQ＝1×t＝t，OP＝1×t＝t． ∴OQ＝6﹣t． ∴y＝×OP×OQ＝×t（6﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤6）； （2）点C不落在直线AB上，理由如下： ∵y＝﹣t2+3t， ∴当△POQ的面积为4.5cm2时，y＝﹣t2+3t＝4.5， 解得t1＝t2＝3， ∴OQ＝3，OP＝3，即△POQ是等腰直角三角形． 把△POQ沿直线PQ翻折后，四边形OPCQ是正方形． ∴点C的坐标为（3，3）． ∵A（12，0），B（0，6）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6， 当x＝3时，y＝≠3， ∴点C不落在直线AB上． 3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠F＝∠BAF， 由折叠性质可得： ∠BAF＝∠MAF， ∴∠F＝∠MAF， ∴AM＝MF， （2）∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝4， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝8， ∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝8， ∴∠F＝∠BAF， ∵∠AEB＝∠FEC， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝CF＝6， 设CM＝x， ∴AM＝MF＝x+6，DM＝6﹣x， 在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2， ∴（x+6）2＝82+（6﹣x）2， 解得：x＝， ∴CM的长为； （3）当CF＝4时，设CM＝x，应分为两种情况： 第一种情况，如图，点E在线段BC上， ∴AM＝MF＝x+4，DM＝6﹣x， 在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2， ∴（x+4）2＝82+（6﹣x）2， 解得：x＝， ∴CM的长为； 第二种情况，如图，点E在线段BC的延长线上， ∴AM＝MF＝x﹣4，DM＝x﹣6， 在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2， ∴（x﹣4）2＝82+（x﹣6）2， 解得：x＝21， ∴CM的长为21； 综上，当CF＝4时，CM的长为或21． 4、【解答】解：（1）①当PC∥QB时，∠O＝∠CPA， 由折叠的性质得：∠C＝∠O，OP＝CP， ∴∠CPA＝∠C， ∴OP∥QC， ∴四边形OPCQ是平行四边形， ∴四边形OPCQ是菱形， ∴OQ＝OP＝2cm； 故答案为：2cm； ②如图所示： （2）当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ． 因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形． 如图1、2、3三种情况： 当PQ＝PO时，OQ＝OP＝2cm， 当QO＝QP时，OQ＝OP＝cm， 当OQ＝OP时，OQ＝OP＝2cm． 当点C在∠AOB的外部时， 当点C在射线OB的上方时（如图4），OQ＝﹣（cm） 当点C在射线OA的下方时（如图5），OQ＝+（cm）． 综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为2cm或cm或2cm，或（﹣）cm或（+）cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 1 学科网（北京）股份有限公司 $$