精品解析：山东省淄博市高新区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列函数中，一定是反比例函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键； 根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】A． 是一次函数的形式，，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B． ，当时，，它不是反比例函数，只有当时才是反比例函数，所以该函数不一定是反比例函数，故本选项不符合题意； C．函数，其中是常数且，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故本选项符合题意； D．函数，分母是，不是x，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图所示的几何体的左视图是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的特点是解题的关键． 从左面看这个几何体，会看到一个正方形，由于几何体内部有一个挖空的部分，在左视图中，挖空部分的轮廓线是不可见的，在视图中不可见的线要用虚线表示．据此判断即可． 【详解】解：A．右上角没有表示挖空部分的虚线，不符合左视图的特征，故本选项不符合题意； B．图形没有体现出挖空部分，不符合要求，故本选项不符合题意； C．虚线的位置错误，挖空部分在右上角，虚线应在右上角，故本选项不符合题意； D．是一个正方形，且右上角有两条虚线，符合从左面观察该几何体所得图形的特征，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．把抛物线解析式化为顶点式可求得答案． 详解】解：， 抛物线顶点坐标为． 故选∶C． 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数在直角三角形中的应用，特别是正弦函数的定义和应用．在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边． 【详解】解：，， ． ， ． 故选：B． 5. 如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 平行投影 B. 既是平行投影又是中心投影 C. 中心投影 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影；熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义即可解答． 【详解】解：因为太阳光可认为是平行光线，则日晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 6. 已知反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象必经过点，原选项不符合题意； B．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，原选项不符合题意； C．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，原选项不符合题意； D．若，则，故原选项符合题意． 故选D． 7. 如图，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理及逆定理，取格点，连接，，由网格可知，，，从而可得，利用余弦的定义即可求解，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 当取任何实数时，点都在抛物线上，若点在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求二次函数解析式，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．本题涉及点P和点Q在抛物线上时，需要利用点P的特性确定抛物线方程，然后通过点Q的坐标求解特定表达式的值。首先需要找到抛物线的方程，然后利用点Q在抛物线上的条件求解． 【详解】解：当a取任何实数时，点都在抛物线上， 当时，，当时，，当时，， 设抛物线的解析式为, 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ． 故选：B． 9. 如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 4海里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 【详解】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（ ） ．．． 0 2 ．．． ．．． ．．． ①，②，③，④不等式的解集为或，⑤对于任意实数，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、图象法解不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．代入得，得到，根据二次函数的对称性求出对称轴为，得到，，可判断①和②；利用二次函数对称轴，且和的函数值相同，可求出，可判断③；根据抛物线与直线的交点为和，结合开口方向可判断④；根据当时，有最小值，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：当时，，即， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， ，， ，故①正确； ，故②错误； 二次函数的对称轴为直线，且和的函数值相同， ， 解得：，故③正确； ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 抛物线开口向上， 抛物线过点和， 抛物线与直线的交点为和， 当或时，， 不等式的解集为或，故④正确； 二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，有最小值， （为任意实数）， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①③④⑤，共4个． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x＞－2 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：被开方数要大于等于零，且分数的分母不为零，即x+2＞0. 解：x+2>0 解得：x>-2 故答案为：x>-2 考点：二次根式被开方数的取值范围． 12. 下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是_____（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，明确太阳光一般看作平行光线是本题解题的关键． 根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：①阳光下沙滩上人的影子，是平行投影，不符合题意； ②晚上人走在路灯下的影子，是中心投影，符合题意； ③中午用来乘凉的树影，是平行投影，不符合题意； ④阳光下旗杆的影子，是平行投影，符合题意； 故答案为：②． 13. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值：______． 【答案】2（答案不唯一，满足或即可） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由二次函数的性质得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴取， 故答案为：2（答案不唯一，满足或即可）． 14. 如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，折叠性质，由勾股定理得，由折叠性质可知：，，通过，得，从而求出，，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，时，则， ∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质以及图形中的几何关系．根据题设，点的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数． 【详解】解：设， 轴，且点E在函数上， ， ，且点B在函数上， ， 轴，点D在函数上， ， 的面积为6， . ． 故答案为：8． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题时，首先明确题目所求，然后准确代入特殊角度的三角函数值，再通过代数运算化简求解，最后检查计算过程和结果，确保准确性．在处理涉及三角函数的问题时，熟练掌握特殊角度的三角函数值是非常关键的． （1）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可； （2）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会作垂线构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，利用平行四边形和直角三角形的性质可得，得到，进而得到，在中利用勾股定理求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点作交延长线于点，则有， 平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 18. 如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）若点为轴上一动点，且，求的坐标； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意得出，，求解即可得出答案； （2）设，先得出与轴交点的坐标为，根据面积得出，求出，进而可得出答案； （3）根据图象可知，当或时，． 【小问1详解】 解：∵点和点在直线和双曲线的图象上， ∴，， 解得， ，． 【小问2详解】 设， ∵ ∴与轴交点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， 的坐标为或， 【小问3详解】 由图象可得，当时，的取值范围为：或． 19. 如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． （1）这个几何体模型最确切的名称是____________； （2）如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； （3）在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】（1）直三棱柱 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系． （1）根据展开图即可得出结果； （2）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图； （3）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积； 【小问1详解】 解：该几何体展开图的上下底面都是三角形，侧面都是矩形， 该几何体是直三棱柱； 【小问2详解】 如图所示，图中的左视图即为所求； 【小问3详解】 解：根据俯视图和主视图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴表面积为()， 答：该几何体的表面积为． 20. 已知抛物线经过点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 【答案】（1）抛物线顶点的坐标为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 21. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）与的函数关系式为 （2）当为时，日销售利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：当为时，日销售利润最大，最大利润元． 22. 如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】首先过点作于点，则四边形为矩形，根据同一时刻的太阳光线是平行的可得，根据相似三角形对应边成比例可知，设大树的高度为，根据，可得方程，解方程即可求出大树的高度． 【详解】解：如下图所示， 过点作于点， 则四边形为矩形， ，， 设，则， 根据题意知， ， ， ， ， ， ， 在处测得的俯角为， ， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大树的高度约为． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用、矩形的性质与判定、相似三角形的实际应用、三角函数，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例找到边之间的关系，再利用三角函数列方程求出大树的高度． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图②，在抛物线上有一动点，点在第一象限内且在对称轴右侧，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）如图③，若（2）中与轴交于点，连接，点在线段上，且在上方，连接、，已知，，请在③中画出图形并求此时点的坐标． 【答案】（1）；， （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，待定系数法求出直线的解析式，作轴交于，设，表示出点E坐标，得到，再根据计算即可； （3）过点作轴于，过点作于，延长交轴于，则轴，再证， 得出，继而得出，求得为等腰直角三角形，得到，进而得出为等腰直角三角形，证明，得出，推出为等腰直角三角形，表示出，得出，由平行线分线段成比例定理求出，得出答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线的表达式为：． ， ， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得：， 直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设，则点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：，即， ， 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，过点作于，延长交轴于，则轴． 则， ， ， ， 由（2）得，， ， ，，， ， ， ． 与轴的交点为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 轴， ∴， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列函数中，一定是反比例函数的是（） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图是（） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A B. C. D. 5. 如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 平行投影 B. 既是平行投影又是中心投影 C. 中心投影 D. 无法确定 6. 已知反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 7. 如图，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 当取任何实数时，点都在抛物线上，若点在抛物线上，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定 9. 如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 4海里 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表，其中，则以下结论正确的个数是（ ） ．．． 0 2 ．．． ．．． ．．． ①，②，③，④不等式的解集为或，⑤对于任意实数，． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 12. 下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是_____（填序号） 13. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值：______． 14. 如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，______． 15. 如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 18. 如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）若点为轴上一动点，且，求的坐标； （3）当时，请直接写出的取值范围． 19. 如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． （1）这个几何体模型最确切的名称是____________； （2）如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； （3）在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 20. 已知抛物线经过点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 21. 某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 22. 如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，，） 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图②，在抛物线上有一动点，点在第一象限内且在对称轴右侧，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）如图③，若（2）中与轴交于点，连接，点在线段上，且在上方，连接、，已知，，请在③中画出图形并求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $